Giải bài tập SGK Toán 11 Bài 5: Xác suất của biến cố

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần

a) Hãy mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố sau

A: "Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10"

B: "Mặt % chấm xuất hiện ít nhất một lần"

c) Tính P(A), P(B)

Phương pháp giải

a) Tính số phần tử của không gian mẫu n(Ω).

b) Liệt kê và đếm số phần tử của biến cố A: n(A), n(B).

c) Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n(A)}}{{n(Ω) }}\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Phép thử \(T\) được xét là "Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần".

\(Ω = \left\{{(i, j) \mid i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}\right\}\).

Số phần tử của không gian mẫu là \(n(Ω) = 36\).

Câu b

\(A\) = {(6, 4), (4, 6), (5, 5), (6, 5), (5, 6), (6, 6)} \( \Rightarrow n(A) = 6\)

\(B\) = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)} \( \Rightarrow n(B) = 11\).

Câu c

\(P(A)= \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\)= \(\frac{6}{36}\) = \(\frac{1}{6}\);

\(P(B)\) \( = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\) = \(\frac{11}{36}\).

Có bốn tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên ba tấm.

a) Hãy mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố sau:

A: "Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 8"

B: "Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp"

c) Tính P(A), P(B)

Phương pháp giải

Liệt kê và đếm số phần tử

Hướng dẫn giải

Câu a

Không gian mẫu:

Ω = {(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)}.

Câu b

A: "Tổng các số trên ba tầm bìa bẳng 8" là A = {(1, 3, 4)};

B: "Các số trên ba tầm bìa là các số tự nhiên liên tiếp" là: B = {(1, 2, 3), (2, 3, 4)}

Câu c

Từ trên dễ có \(P(A)=\frac{1}{4};P(B)=\frac{1}{2}.\)

Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu.

• Tính số phần tử của biến cố: "Hai chiếc chọn được tạo thành một đôi".
• Tính xác suất của biến cố.

Hướng dẫn giải

Phép thử \(T\) được xét là: "Lấy ngẫu nhiên \(2\) chiếc giày từ \(4\) đôi giày có cỡ khác nhau".

Số cách lấy ra \(2\) trong \(8\) chiếc giày là \(n(Ω) = C_8^2= 28\).

Gọi \(A\) là biến cố: "Lấy được hai chiếc giày tạo thành một đôi".

Vì chỉ có \(4\) đôi giày nên số cách lấy được \(1\) trong \(4\) đôi giày là \(n(A) = 4\).

Vậy \(P(A) \)= \(\dfrac{4}{28}\) = \(\dfrac{1}{7}\).

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\). Tính xác suất sao cho:

a) Phương trình có nghiệm

b) Phương trình vô nghiệm.

c) Phương trình có nghiệm nguyên.

Phương pháp giải

Phương trình bậc hai có nghiệm \(\left( {\Delta  \ge 0} \right)\).

Phương trình bậc hai vô nghiệm \(\left( {\Delta  < 0} \right)\)Điều kiện cần để phương trình bậc hai có nghiệm nguyên là \(\Delta \) là số chính phương.

Hướng dẫn giải

Câu a

Phương trình (1) có nghiệm

⇔ Δ ≥ 0 ⇔ b ≥ 2√2

⇒ b ∈ {3; 4; 5; 6}.

⇒ A = {3, 4, 5, 6}

⇒ n(A) = 4

\(P(A)\) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\).

Câu b

(1) vô nghiệm

⇔ Δ < 0 ⇔ b ≤ 2√2

⇒ b ∈ {1; 2}

⇒ B = {1, 2}

⇒ n(B) = 2

\(P(B)\) \(=\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)

Câu c

\(C\) là biến cố: "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm nguyên" 

Phương trình (1) có nghiệm

⇔ b ∈ {3; 4; 5; 6}.

Thử các giá trị của b ta thấy:

Khi \(b=3\) thì phương trình trở thành \({x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)

Do đó \(C = \left\{{3}\right\} \Rightarrow n\left( C \right) = 1\).

Vậy \(P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{1}{6}.\)

Từ cỗ bài tứ lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con. Tính xác suất sao cho:

a) Cả bốn con đều là át

b) Được ít nhất một con át

c) Được hai con át và hai con K.

Phương pháp giải

Để tính xác suất của biến cố A.

• Tính số phần tử của không gian mẫu \({n\left( \Omega  \right)}\).
• Tính số phần tử của biến cố A: \(n(A)\)
• Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n(A)}}{{n( \Omega )}}\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Phép thử \(T\) được xét là: "Từ cỗ bài tú lơ khơ \(52\) con bài, rút ngẫu nhiên \(4\) con bài".

Mỗi kết quả có thể có là một tổ hợp chập \(4\) của \(52\) con bài. Do đó \(n(Ω) =C_{52}^4 = 270725\).

Gọi biến cố \(A\): "Rút được bốn con át", \(n(A) = 1\).

Suy ra \(P(A)\) = \(\dfrac{1}{270725}\)  \(≈ 0,0000037\).

Câu b

Gọi biến cố \(B\): "Rút được ít nhất một con át". Ta có

\(\overline{B}\) = "Rút được \(4\) con bài đều không là át".

Mỗi kết quả có thể thuận lợi cho \(\overline{B}\) là một tổ hợp chập \(4\) của \(48\) con bài không phải là át.

Suy ra số các kết quả có thể có thuận lợi cho \(\overline{B}\) là \(n(\overline{B} )=C_{48}^4= 194580\).

\( \Rightarrow  P(\overline{B}\)) = \(\dfrac{194580}{270725}\) \(≈ 0,7187\).

\(\Rightarrow P(B) = 1\) - P(\(\overline{B}\)) \(≈ 0,2813\).

Câu c

Gọi \(C\) là biến cố: "Rút được hai con át và hai con \(K\)".

Mỗi kết quả có thể có thuận lợi cho \(C\) là một tổ hợp gồm \(2\) con át và \(2\) con K.

Áp dụng quy tắc nhân tính được số các kết quả có thể có thuận lợi cho \(C\) là

\(n(C) = C_4^2.C_4^2 = 6 . 6 = 36\).

Vậy \(P(C)\) = \(\dfrac{36}{270725}\) \(≈ 0,000133\).

Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho:

a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau

b) Nữ ngồi đối diện nhau.

Phương pháp giải

a) Mỗi cách xếp \(4\) bạn vào \(4\) chỗ ngồi là một hoán vị của \(4\) phần tử. Tính số phần tử của không gian mẫu.

Gọi A là biến cố: "Nam, nữ ngồi đối diện nhau" \( \Rightarrow \overline A \) là biến cố: "Nam đối diện nam, nữ đối diện nữ".

Tính xác suất của biến cố \( \Rightarrow \overline A \) và sử dụng công thức \(P\left( A \right) + P\left( {\overline A } \right) = 1\).

b) Vì chỉ có \(4\) người: \(2\) nam và \(2\) nữ nên nếu \(2\) nữ ngồi đối diện nhau thì \(2\) nam cũng ngồi đối diện nhau chính là biến cố \(\overline A \) ở câu a).

Hướng dẫn giải

Câu a

Mỗi cách xếp \(4\) bạn vào \(4\) chỗ ngồi là một hoán vị của \(4\) phần tử, vì vậy không gian mẫu có \(4! = 24\) phần tử.

Gọi A là biến cố: "Nam, nữ ngồi đối diện nhau" 

\( \Rightarrow \overline A \) là biến cố: "Nam đối diện nam, nữ đối diện nữ".

+) Có \(4\) chỗ để cho bạn nữ thứ nhất chọn.

+) Có \(1\) cách chọn chỗ (đối diện) cho bạn nữ thứ hai.

+) Sau khi bai bạn nữ đã chọn chỗ ngồi (đối diện nhau) thì còn lại \(2\) chỗ (đối diện nhau) để xếp cho \(2\) bạn nam và có \(2!\) cách xếp chỗ cho \(2\) bạn này.

Vi vậy theo quy tắc nhân có \(4 . 1 .2! = 8\) cách xếp chỗ cho nam nữ không ngồi đối diện nhau.

\(P\)(\(\overline{A}\)) = \(\dfrac{8}{24}\) = \(\dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow P(A) = 1 - P\)(\(\overline{A}\)) = \(\dfrac{2}{3}\).

Câu b

Vì chỉ có \(4\) người: \(2\) nam và \(2\) nữ nên nếu \(2\) nữ ngồi đối diện nhau thì \(2\) nam cũng ngồi đối diện nhau. Do đó biến cố này chính là biến cố \(\overline{A}\): "Nữ ngồi đối diện nhau".

Xác suất xảy ra biến cố này là \(P\)(\(\overline{A}\)) = \(\dfrac{1}{3}\).

Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả trằng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trằng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

A là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ nhất trằng";

B là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ hai trắng".

a) Xét xem A và B có độc lập không.

b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.

c) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.

Phương pháp giải

a) Định nghĩa hai biến cố độc lập: Hai biến cố A, B được gọi là độc lập với nhau nếu sự xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra biến cố B. A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi \(P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).

b) Gọi C là biến cố: "Hai quả cầu lấy ra cùng màu" ta có \(C = A . B\) + \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\). Với \(\overline A ;\,\,\overline B \) lần lượt là các biến cố đối của biến cố A và B.

c) Gọi D là biến cố: "Hai quả cầu lấy ra khác màu" ta có \(D = \overline C \).

Hướng dẫn giải

Câu a

Phép thử \(T\) được xét là: "Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu".

Không gian mẫu là kết quả của việc lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu ở hộp thứ nhất và một quả cầu ở hộp thứ hai

+ Có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 1 và có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 2. Nên số phần tử của không gian mẫu là;

⇒ n(Ω) = 10.10 = 100.

A: “ Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất trắng”

⇒ Có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 10 cách lấy quả cầu ở hộp B

⇒ n(A) = 6.10 = 60.

Suy ra \(P(A) \)= \(\frac{60}{100}\) = \(0,6\).

B: “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai trắng”

⇒ Có 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B và 10 cách lấy quả cầu ở hộp A

⇒ n(B) = 4.10 = 40.

Suy ra \(P(B)\) = \(\frac{40}{100}\) = \(0,4\).

A.B: “Cả hai quả cầu lấy ra đều trắng”

⇒ Có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B

⇒ n(A.B) = 6.4 = 24.

Suy ra: \(P(A . B)\) = \(\frac{24}{100}\) = \(0,24 = 0,6 . 0,4 = P(A) . P(B)\).

Như vậy, ta có \(P(A . B) = P(A) . P(B)\).

Suy ra \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập với nhau.

Câu b

Gọi \(C\) là biến cố: "Lấy được hai quả cầu cùng màu". Ta có

\(C = A . B\) + \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\).

Trong đó \(\overline{A}\) = "Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu đen" và \(P\)(\(\overline{A}\)) = \(0,4\).

\(\overline{B}\): "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu đen" và P(\(\overline{B}\)) = \(0,6\).

Và ta có \(A . B\) và \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\) là hai biến cố xung khắc với nhau.

\(A\) và \(B\) độc lập với nhau, nên \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\) cũng độc lập với nhau.

Qua trên suy ra

\(P(C) = P\)(\(A . B\) + \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\))

\(=P(A . B)\) + \(P\)( \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\)) = \(P(A) . P(B)\) + \(P\)(\(\overline{A}\)) . \(P\)(\(\overline{B}\))

\(=0,6 . 0,4 + 0,4 . 0,6 = 0,48\).

Câu c

Gọi \(D\) là biến cố: "Lấy được hai quả cầu khác màu". Ta có

\(D= \overline{C}\Rightarrow P(D) = 1 - P(C) = 1 - 0,48 = 0,52\).