Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 3 Bài 4: Cấp số nhân

Chứng minh các dãy số \((\frac{3}{5}. 2^n)\) , \((\frac{5}{2^{n}})\), \(((-\frac{1}{2})^{n})\) là các cấp số nhân

Phương pháp giải

Chứng minh \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) là một số không đổi.

Hướng dẫn giải

Xét \((u_n)\) với \(u_n=\frac{3}{5}.2^n\), ta có \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{3}{5}.2^{n+1}}{\frac{3}{5}.2^n}=2\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1}=2.u_n\Rightarrow (u_n)\) là cấp số nhân có \(u_1=\frac{6}{5}\) và  q = 2.

Xét \((u_n)\) với \(u_n=\frac{5}{2^n}\), ta có \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{5}{2}.2^{n+1}}{\frac{5}{2^n}}= \frac{5.2^n}{5.2^{n+1}}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1}=\frac{1}{2}\Rightarrow (u_n)\) là cấp số nhân có \(u_1=\frac{5}{2}\) và \(q=\frac{1}{2}.\)

Xét \((u_n)\) với \(u_n=\left ( -\frac{1}{2} \right )^n\), ta có \(\frac{u_{n+1}}{n}= \frac{\left ( -\frac{1}{2} \right )^{n+1}}{\left ( -\frac{1}{2} \right )^{n}}=-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1}=-\frac{1}{2}.(u_n)\Rightarrow (u_n)\) là cấp số nhân có \(u_1=-1\) và \(q=-\frac{1}{2}.\)

Cho cấp số nhân với công bội q

a) Biết \(u_1 = 2, u_6 = 486\). Tìm q

b) Biết  \(q =\frac{2}{3}\),  \(u_4 =\frac{8}{21}\). Tìm \(u_1\)

c) Biết \(u_1 = 3, q = -2\). Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?

Phương pháp giải

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Theo bài ra ta có: \(\left\{\begin{matrix} u_1=2\\ u_6=486 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=2\\ u_1.q^5=486 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=2\\ q^5=243 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=2\\ q=3 \end{matrix}\right.\) Vậy q = 3.

Câu b

Theo bài ra ta có: \(\left\{\begin{matrix} q=\frac{2}{3}\\ u_4=\frac{8}{21} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} q=\frac{2}{3}\\ u_1.q^3=\frac{8}{21} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} q=\frac{2}{3}\\ u_1.\frac{8}{27}=\frac{8}{21} \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} q=\frac{2}{3}\\ \\ u_1=\frac{27}{21} \end{matrix}\right.\)

Vậy \(u_1=\frac{27}{21}=\frac{9}{7}.\)

Câu c

Theo đề bài ta có \(192=u_1.q^{n-1}\Rightarrow 192=3.(-2)^{n-1}\Rightarrow (-2)^{n-1}=64\)

\(\Leftrightarrow (-2)^{n-1}=(-2)^6\Rightarrow n=7.\) Vậy số 192 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

Tìm các số hạng của cấp số nhân có năm số hạng, biết:

a) \(u_3 = 3\) và \(u_5 = 27\)

b) \(u_4 - u_2 = 25\) và \(u_3 - u_1 = 50\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Theo bài ra ta có: \(\left\{\begin{matrix} u_3=3\\ u_5=27 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1.q^2=3 (1)\\ u_1.q^4=27 (2) \end{matrix}\right.\)

Lấy (1) chia cho (2) ta được \(\frac{1}{q^2}=\frac{1}{-9}\Rightarrow q=\pm 3\)

Khi \(q=-3\Rightarrow u_1=\frac{1}{3}\) (do (1))

Vậy 5 số hạng của cấp số nhân là: \(\frac{1}{3},-1,3,-9,27\)

Khi \(q=3\Rightarrow u_1=\frac{1}{3}\) (do (1))

Vậy 5 số hạng của cấp số nhân là: \(\frac{1}{3},1,3,9,27\)

Câu b

Ta có:  \(\left\{\begin{matrix} u_4-u_2=25\\ u_3-u_1=50 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3}-u_{1}q= 25\\ u_{1}q^{2}-u_{1}=50 \end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1(q^3-q)=25 \ (1)\\ u_1(q^2-1)=50 \ (2) \end{matrix}\right.\)       

Lấy (1) chia cho (2) ta được \(\frac{q^3-q}{q^2-1}=\frac{1}{2}(q\neq \pm 1)\Leftrightarrow q=\frac{1}{2}.\)

Vậy 5 số hạng của cấp số nhân là: \(\frac{-200}{3},\frac{-100}{3},\frac{-50}{3},\frac{-25}{3},\frac{-25}{6}\)

Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62

Phương pháp giải

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSN: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\) và công thức tổng n số hạng đầu tiên của CSN: \({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).

Hướng dẫn giải

Gọi cấp số nhân tìm là (un) có số hạng đầu là (u1) và công bội là q.

Nhân hai vế của (1) với q, ta có:

\({u_1}q + {u_2}q + {u_3}q + {u_4}q + {u_5}q = 31q\)

Hay: \({u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 31q\)

Suy ra: \(31q = 62 \Rightarrow q = 2\)

Vì

\(\begin{array}{l}{S_5} = 31 = \frac{{{u_1}(1 - {q^5})}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}(1 - {2^5})}}{{ - 1}}\\ \Rightarrow {u_1} = 1.\end{array}\)

Vậy sáu số hạng của cấp số nhân cần tìm là: 1, 2, 4, 8, 16, 32.   

Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?

Phương pháp giải

Số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân, với \({u_1} = 1,8,\,\,q = 1 + 1,4\%  = 1,014\).

Sử dụng công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân: \(u_n=u_1.q^{n-1}\)

Hướng dẫn giải

Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là \(N\). Vì tỉ lệ tăng dân số là \(1,4\%\) nên sau một năm, số dân tăng thêm là \(1,4\%.N\).

Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là 

\(N + 1,4\%.N = 101,4\%.N \) \(=\dfrac{101,4}{100}.N\).

Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân.

Hiện tại: \(u_1=N\)

Sau 1 năm: \(u_2 = \dfrac{101,4}{100}.N\)

Sau 2 năm: \(u_3 = (\dfrac{101,4}{100})^{2}.N\); ...

Vậy nếu \(N = 1,8\) triệu người

Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân thì:

Sau \(5\) năm số dân của tỉnh là \( u_6 = (\dfrac{101,4}{100})^{5}.1,8 ≈ 1,9\) (triệu người)

Sau \(10\) năm số dân của tỉnh là \( u_{11} = (\dfrac{101,4}{100})^{10}.1,8 ≈ 2,1\) (triệu người).

Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C₂ (hình bên). Từ hình vuông C₂ lại tiếp tục như trên để được hình vuông C₃… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C₁, C₂, C₃, …,C_n

Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông C_n. Chứng minh dãy số (a_n) là một cấp số nhân.

Phương pháp giải

Tính \(a_{n+1}\) theo \(a_n\)

Để chứng minh một dãy số là cấp số nhân, ta chứng minh \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) có giá trị không đổi với mọi n

Hướng dẫn giải

Hình vuông C₁ có cạnh a₁ = 4. Từ đó ta tính được hình vuông C₂ có cạnh \(a_2=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\), hình vuông C₃ có cạnh \(a_3=\frac{5}{2}\), hình vuông C₄ có cạnh là \(a_4=\frac{5\sqrt{10}}{8}\)

Từ đó  ⇒ \((a_n)\) là cấp số nhân có a₁ = 4 và công bội \(q=\frac{\sqrt{10}}{4}.\)