Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 5 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) \(f(x)=(x+10)^6, f''(2)\)

b) \(f(x)=sin3x,f'(-\frac{\pi }{2}),f''(0),f''(\frac{\pi }{18})\)

Phương pháp giải

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số (đạo hàm hai lần), sau đó tính đạo hàm cấp hai tại điểm bất kì.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: \(f'(x)=((x+10)^6)'=6.(x+10)^5\)

\(f''(x)=(6(x+10)^5)'=30.(x+10)^4\)

Suy ra \(f''(2)=30.12^4\)

Câu b

Ta có: \(f'(x)=(sin3x)'=(3x)'.cos3x=3cos3x\)

\(f''(x)=(f'(x))'=(3.cos3x)'=-3.(3x)'.sin3x=-9sin3x.\)

Suy ra: \(f''(-\frac{\pi }{2})=-9.sin(3.(-\frac{\pi }{2}))=-9.sin\left ( -\frac{3\pi }{2} \right )=-9\)

\(f''(0)=-9.sin 0 =0;\)

\(f''\left ( \frac{\pi }{18} \right )=-9.sin \frac{\pi }{6}=-9.\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}\)

Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) \(y=\frac{1}{1-x}\)

b) \(y=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\)

c) \(y= tanx\)

d) \(y= cos^2x\)

Phương pháp giải

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: \(y'=\left (\frac{1}{1-x} \right )'=\frac{-(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-x)^2}.\)

\(y''=(y')'=\left ( \frac{1}{(1-x)^2} \right )'= \frac{-((1-x)^2)'}{(1-x)^4}\)

\(=\frac{-2.(1-x).(1-x)'}{(1-x)^4}=\frac{2}{(1-x)^3}.\)

Câu b

\(y=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\Rightarrow y'=\left ( \frac{1}{\sqrt{1-x}} \right )'= \frac{-(\sqrt{1-x})'}{1-x}\)

\(=\frac{-(1-x)'}{2\sqrt{1-x}.(1-x)}=\frac{1}{2\sqrt{(1-x)^3}}.\)

\(y''=\left ( \frac{1}{2\sqrt{(1-x)^3}} \right )'= \frac{-(2\sqrt{(1-x)}^3)'}{4(1-x)^3}\)

\(=\frac{-2((1-x)^3)'}{2\sqrt{(1-x)^3}.(1-x)^3}= \frac{6.(1-x)^2}{8.\sqrt{(1-x)^8}.(1-3)^3}\)

\(=\frac{3}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-x)^5}}.\)

Câu c

Ta có: \(y=tanx\Rightarrow y'=(tanx)'=\frac{1}{cos^2x}\)

\(\Rightarrow y''=\left ( \frac{1}{cos^2x} \right )'=\frac{-(cos^2x)'}{cos^4x}= \frac{-2.cosx.(cosx)'}{cos^4x}=\frac{2sinx}{cos^3x}\)

Câu d

Ta có \(y=cos^2x\)

\(\Rightarrow y'=(cos^2x)'=-2sinx.cosx=-sin2x.\)

\(y''=(-sin2x)'=-(2x)'.cos2x=-2cos2x.\)