Giải bài tập SGK Toán 11 Ôn tập chương 1: Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác
Giải bài tập SGK Toán 11 Bài Ôn tập chương 1 Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác giúp các em học sinh sẽ dễ dàng ôn tập lại các kiến thức đã học, rèn luyện khả năng tính toán nhanh và chính xác. Sau đây mời các em cùng tham khảo lời giải tương ứng với từng bài tập SGK.
Mục lục nội dung
1.1. Giải bài 1 trang 40 SGK ĐS & GT 11
1.2. Giải bài 2 trang 40 SGK ĐS & GT 11
1.3. Giải bài 3 trang 41 SGK ĐS & GT 11
1.4. Giải bài 4 trang 41 SGK ĐS & GT 11
1.5. Giải bài 5 trang 41 SGK ĐS & GT 11
2.1. Giải bài 6 trang 41 SGK ĐS & GT 11
2.2. Giải bài 7 trang 41 SGK ĐS & GT 11
2.3. Giải bài 8 trang 41 SGK ĐS & GT 11
Giải bài tập SGK Toán 11 Ôn tập chương 1: Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác
1. Bài tập tự luận
1.1. Giải bài 1 trang 40 SGK Đại số & Giải tích 11
a) Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không? Tại sao?
b) Hàm số y=tan(x+π5) có phải là hàm số lẻ không? Tại sao?
Phương pháp giải
- Hàm số y=f(x) là hàm số chẵn nếu thỏa cả 2 điều kiện sau:
- Gọi D là tập xác định thì: ∀x∈D thì −x∈D.
- ∀x∈D thì f(−x)=f(x).
- Hàm số y=f(x) là hàm số lẻ nếu thỏa cả 2 điều kiện sau:
- Gọi D là tập xác định thì: ∀x∈D thì −x∈D.
- ∀x∈D thì f(−x)=−f(x).
Hướng dẫn giải
Câu a
Hàm số y = cos3x là hàm số chẵn. Thật vậy:
Tập xác định của hàm số: D = R.
+ ∀x∈R⇒−x∈R
+ ∀x∈R⇒y(−x)=cos(−3x)=cos3x=y(x)
⇒ hàm số y = cos3x là hàm số chẵn.
Câu b
Hàm số y=tan(x+π5) không phải là hàm số lẻ. Thật vậy:
Với x=π5⇒f(−x)=tan(−π5+π5)
=tan0=0≠−f(x)=−tan2π5
⇒ Hàm số y=tan(x+π5) không phải là hàm số lẻ.
1.2. Giải bài 2 trang 40 SGK Đại số & Giải tích 11
Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sin x, tìm các giá trị của x trên đoạn [−3π2;2π] để hàm số đó:
a) Nhận giá trị bằng -1
b) Nhận giá trị âm
Phương pháp giải
Vẽ đồ thị hàm số y=sinx và dựa vào đồ thị hàm số.
Hướng dẫn giải
Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sin x, trên đoạn [−3π2;2π], ta có:
Câu a
sinx = -1 khi x=−π2;x=3π2.
Câu b
sin x < 0 khi x∈(−π;0)∪(π;2π).
1.3. Giải bài 3 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số
a) y=√2(1+cosx)+1
b) y=3sin(x−π6)−2
Phương pháp giải
Dựa vào tính chất: −1≤sinx≤1;−1≤cosx≤1
Hướng dẫn giải
Câu a
Ta có: −1≤cosx≤1 ∀x∈R
⇒2(1+cosx)≤2(1+1)=4⇒√2(1+cosx)+1≤3
Dấu "=" xảy ra ⇔cosx=1⇔x=k2π.
Vậy Max y = 3 khi x=k2π
Câu b
Ta có sin(x−π6)≤1⇒3sin(x−π6)−2≤3.1−2=1
Dấu "=" xảy ra ⇔sin(x−π6)=1⇔x=2π3+k2π.
Vậy Max y = 1 khi x=2π3+k2π.
1.4. Giải bài 4 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) sin(x+1)=23
b) sin22x=12
c) cot2x2=13
d) tan(x12+12x)=−√3
Phương pháp giải
Giải phương trình lượng giác cơ bản của hàm sin, cos, tan cot
Sử dụng công thức hạ bậc
Hướng dẫn giải
Câu a
sin(x+1)=23
⇔[x+1=arcsin23+k2π x+1=π−arcsin23+k2π⇔[x=−1+arcsin23+k2π x=−1+π−arcsin23+k2π
Câu b
sin22x=12⇔sin2x=±1√2
* sin2x=1√2⇔sin2x=sinπ4⇔[2x=π4+k2π 2x=3π4+k2π ⇔[x=π8+kπ x=3π8+kπ
* sin2x=−1√2⇔sin2x=sin(−π4)⇔[2x=−π4+k2π 2x=5π4+k2π ⇔[x=−π8+kπ x=5π8+kπ
Câu c
cot2x2=13⇔cotx2=±√33.
* cotx2=√33⇔cotx2=cotπ3⇔x=2π3+k2π.
* cotx2=−√33⇔cotx2=cot2π3⇔x=4π3+k2π.
Câu d
tan(π12+12x)=−√3
tan(12x+π12)=tan2π3⇔12x+π12=2π3+kπ
⇔x=7π144+kπ12.
1.5. Giải bài 5 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) 2cos2x–3cosx+1=0
b) 25sin2x+15sin2x+9cos2x=25
c) 2sinx+cosx=1
d) sinx+1,5cotx=0
Phương pháp giải
a) Đặt t=cosx, đưa về phương trình bậc hai ẩn t.
b) Đưa phương trình về dạng phương trình tích.
c) Phương trình dạng asinx+bcosx=c, chia cả 2 vế cho √a2+b2
d) Biến đổi, quy đồng, đưa phương trình về dạng phương trình bậc cao đối với 1 hàm số lượng giác.
Hướng dẫn giải
Câu a
2cos2x−3cosx+1=0
Đặt t=cosx,−1≤t≤1⇒2t2−3t+1=0⇔[t=1t=12 (Thỏa điều kiện)
* Với t=1⇒cosx=1⇔x=k2π
* Với t=12⇒cosx=12⇔x=±π3+k2π
Câu b
25sin2x+15sin2x+9cos2x=25 (2)
Nhận thấy cosx=0⇔x=π2+kπ là nghiệm của phương trình vì 25sin2x=25⇔sin2x=1 luôn đúng.
Với cosx≠0. Khi đó:
(2)⇔25tan2x+30tanx+9=25(1+tan2x)
⇔30tanx=16
⇔tanx=815⇔x=arctan815+kπ
Vậy phương trình có nghiệm x=π2+kπ;x=arctan815+kπ
Câu c
2sinx+cosx=1⇔2√5sinx+1√5cosx=1√5
Đặt cosα=2√5;sinx=1√5.
Suy ra sin(x+α)=1√5⇔sin(x+α)=sinα⇔[x=k2πx=π−2α+k2π
Câu d
sinx+1,5cotx=0
⇔sin2x+32cosx=0⇔1−cos2x+32cosx=0
⇔2cos2x−3cosx−2=0
Đặt t=cosx,−1≤t≤1⇒2t2−3t−2=0⇔[t=2(loai)t=−12
Với t=−12⇒cosx=−12⇔cosx=cos2π3⇔x=±3π3+k2π
2. Bài tập trắc nghiệm
2.1. Giải bài 6 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Phương trình cosx=sinx có số nghiệm thuộc đoạn [−π,π] là
(A). 2 (B). 4
(C). 5 (D). 6
Phương pháp giải
Đưa phương trình về dạng phương trình cơ bản của hàm tan.
Hướng dẫn giải
Ta có cosx=sinx⇔sin(x−π4)=0⇔x−π4=kπ⇔x=π4+kπ. mà x∈[−π;π]⇒−π≤π4+kπ≤π⇔−54≤k≤34 mà k∈Z
⇒k=0;k=−1
⇒ trên [−π;π] phương trình có hai nghiệm.
Vậy A là đáp án cần tìm.
2.2. Giải bài 7 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Phương trình cos4xcos2x=tan2x có số nghiệm thuộc khoảng (0;π2) là:
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
Phương pháp giải
+) Sử dụng công thức tan2x=sin2xcos2x, quy đồng, bỏ mẫu.
+) Sử dụng công thức nhân đôi: cos4x=1−2sin22x
+) Giải phương trình bậc hai của sin2x.
+) Giải phương trình lượng giác cơ bản của hàm sin.
Hướng dẫn giải
cos4xcos2x=tan2x⇔cos4x=sin2x⇔cos4x=cos(π2−2x)
⇔[4x=π2−2x+k2π4x=2x−π2+l2π⇔[x=π12+kπ3x=−π4+lπ
mà x∈(0;π2)⇒[0<π12+kπ3<π20<−π4+lπ<π2⇔[−14<k<5414<l<34.
mà k,l∈Z⇒k=0,l=1.
Phương trình có hai nghiệm thuộc (0;π2)
Vậy (A) là đáp án cần tìm.
2.3. Giải bài 8 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sinx+sin2x=cosx+2cos2x là:
A. π6 B. 2π3
C. π4 D. π3
Phương pháp giải
Đưa phương trình về dạng tích, sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản, sử dụng công thức nhân đôi sin2x=2sinxcosx.
Sau khi tìm được các họ nghiệm, đối với mỗi họ nghiệm ta tìm nghiệm dương nhỏ nhất và chọn đáp án đúng.
Hướng dẫn giải
sinx+sin2x=cosx+2cos2x
⇔(1+2cosx).sinx=cosx(1+2cosx)
⇔(2cosx+1).(sinx−cosx)=0
⇔[2cosx+1=0sinx−cosx=0⇔[cosx=−12sin(x−π4)=0⇔[x=±2π3+k2πx=π4+kπ
mà x dương nhỏ nhất suy ra: x=π4.
Vậy (C) là đáp án cần tìm.
2.4. Giải bài 9 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2tan2x+5tanx+3=0 là:
A. −π3 B. −π4
C. −π6 D. −5π6
Phương pháp giải
Giải phương trình bậc hai của hàm tan. Sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản và biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác.
Hướng dẫn giải
Ta có 2tan2x+5tanx+3=0⇔[tanx=−1tanx=−34⇔[x=−π4+kπx=arctan(−32)+kπ
Mà x là âm lớn nhất ⇒x=−π4
(arctan(−32)≈−56019′)
Vậy (B) là đáp án cần tìm.
2.5. Giải bài 10 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Phương trình 2tanx–2cotx–3=0 có số nghiệm thuộc khoảng (−π2,π) là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Phương pháp giải
Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai của tanx, sử dụng công thức cotx=1tanx.
Hướng dẫn giải
Xét phương trình: 2tanx−2cotx−3=0
Điều kiện: tanx.cotx≠0
Khi đó nhân 2 vế cho tanx ta có:
2tanx−2cotx−3=0 ⇔2tan2x−3tanx−2=0
⇔[tanx=2tanx=−12⇔[x=arctan2+kπx=arctan(−12)+kπ
mà x∈(−π2;π)⇒ trên (−π2;π) phương trình có 3 nghiệm.
Vậy (C) là đáp án cần tìm.