Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 5 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Nội dung giải bài tập dưới đây sẽ giúp các em học sinh ôn tập lại kiến thức một cách dễ dàng và vận dụng làm các bài tập tương tự. Sau đây mời các em cùng tham khảo.

Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 5 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 5 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

1. Giải bài 1 trang 168 SGK Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=x15x2

b) y=2x+373x

c) y=x2+2x+334x

d) y=x2+7x+3x23x

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương (uv)=uvuvv2 và bảng đạo hàm cơ bản

Hướng dẫn giải

Câu a

y=(x1).(5x2)(x1).(5x2)(5x2)2=5x2(x1).5(5x2)2=3(5x2)2

Câu b

 y=(2x+3).(73x)(2x+3).(73x)(73x)2=2(73x)(2x+3).(3)(73x)2=23(73x)2

Câu c

 y=(x2+2x+3).(34x)(x2+2x+3).(34x)(34x)2=(2x+2).(34x)(x2+2x+3).(4)(34x)2=2(2x23x9)(34x)2

Câu d

y=(x2+7x+3).(x23x)(x2+7x+3).(x23x)(x23x)2=(2x7).(x23x)(x2+7x+3).(2x3)(x23x)2=10x26x+9(x23x)2

2. Giải bài 2 trang 168 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải các bất phương trình sau:

a) y<0 với y=x2+x+2x1

b) y0 với  y=x2+3x+1

c) y>0 với  y=2x1x2+x+4

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc đạo hàm của 1 thương và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, tính đạo hàm của các hàm số và giải bất phương trình.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có y=x2+x+2x1

 y=(x2+x+2).(x1)(x2+x+2).(x1)(x1)2=x22x3(x1)2

Do đó, y'<0 ⇔ x22x3(x1)2<0 ⇔ x≠1 và x2 -2x -3 <0

{1<x<3x1

Vậy bất phương trình có nghiệm x(1;1)(1;3)

Câu b

Ta có y=x2+3x+1

y=(x2+3).(x+1)(x2+3).(x+1)(x+1)2=x2+2x3(x+1)2.

Do đó, y'≥0 ⇔ x2+2x3(x+1)2 ≥0

⇔ x≠ -1 và x2 +2x -3 ≥ 0

⇔ x≠ -1 và x ≥ 1 hoặc x ≤ -3

⇔ x ≥ 1 hoặc x ≤ -3

⇔ x(;3][1;+).

Vậy bất phương trình có nghiệm: x(;3][1;+)

Câu c

Ta có y=2x1x2+x+4

y=(2x1).(x2+x+4)(2x1).(x2+x+4)(x2+x+4)2

=2x2+2x+9(x2+x+4)

Do đó, y'>0

⇔ 2x2+2x+9(x2+x+4)>0 ⇔ -2x2 +2x +9>0 ⇔  2x2 -2x -9 <0

⇔ 1192<x<1+192

⇔ x(1192;1+192) 

Vậy bất phương trình có nghiệm x(1192;1+192).

3. Giải bài 3 trang 169 SGK Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=5sinx3cosx

b) y=sinx+cosxsinxcosx

c) y=xcotx

d) y=sinxx + xsinx

e) y=(1+2tanx)

f) y=sin(1+x2)

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức tính đạo hàm của các hàm lượng giác:

(sinx)=cosx,(cosx)=sinx,(tanx)=1cos2x,(cotx)=1sin2x

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của 1 tích, 1 thương và quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: y=(5sinx3cosx)=(5sinx)(3cosx)=5cosx+3sinx

Câu b

Ta có: y=(sinx+cosx).(sinxcosx)(sinx+cosx).(sinxcosx)(sinxcosx)2 

=(cosxsinx)(sinxcosx)(sinx+cosx)(cosx+sinx)(sinxcosx)2 

=2(sinxcosx)2=21sin2x.

Câu c

Ta có

y=(xcotx)=x.cotx+x.(cotx)=cotxxsin2x.

Câu d

Ta có

 y=(sinxx+xsinx)=(sinxx)+(xsinx)

=xcosxsinxx2+sinxxcosxsin2x=(x.cosxsinx)(1x21sin2x)

Câu e

y=(1+2tanx)=(1+2tanx)21+2tanx=2cos2x.121+2tanx=1+tan2x1+2tanx

Câu f

y=(sin1+x2)=(1+x2).cos1+x2

=(1+x2)21+x2.cos1+x2=x.cos1+x21+x2

4. Giải bài 4 trang 169 SGK Đại số & Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=(92x)(2x39x2+1)

b) y=(6x1x2)(7x3)

c) y=(x2)(x2+1)

d) y=tan2x+cotx2

e) y=cosx1+x

Phương pháp giải

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của tích, thương, quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp và bảng đạo hàm cơ bản.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có

y=[(92x)(2x39x2+1)]

=(92x)(2x39x2+1)+(92x)(2x39x2+1)

=2(2x39x2+1)+(92x)(6x218x)

=16x3+108x2162x2

Câu b

y=[(6x1x2).(7x3)]

 = =(6x1x2)(7x3)+(6x1x2)(7x3)

=(3x+2x3)(7x3)+7(6x1x2)

=6x3+7x29x+63x

Câu c

y=(x2)(x2+1)+(x2)(x2+1)

=(x2+1)+(x2).(x2+1)2x2+1

=x2+1+x(x2)x2+1=2x22x+1x2+1.

Câu d

Ta có y=(tan2xcotx2)=(tan2x)(cotx2)

=2tanx.(tanx)+(x2)sin2(x2)=2tanxcos2x+2xsin2(x2).

Câu e

y=(cosx1+x)=(x1+x).sinx1+x=(1+x)x(1+x)2.sinx1+x=1(1+x)2.sinx1+x.

5. Giải bài 5 trang 169 SGK Đại số & Giải tích 11

Tính f(1)φ(1), biết rằng f(x)=x2 và φ(x)=4x+sinπx2

Phương pháp giải

Tính đạo hàm tại 1 của hai hàm số f(x) và φ(x) sau đó tính tỉ số.

Hướng dẫn giải

Ta có:

f(x)=x2f(x)=(x2)=2xf(1)=2.1=2φ(x)=4x+sinπx2φ(x)=(4x+sinπx2)=(4x)+(sinπx2)=4+(πx2)cosπx2=4+π2cosπx2φ(1)=4+π2cosπ.12=4+π2.0=4f(1)φ(1)=24=12

6. Giải bài 6 trang 169 SGK Đại số & Giải tích 11

Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:

a) sin6x+cos6x+3sin2x.cos2x

b) cos2(π3x) + cos2(π3+x) +  cos2(2π3x)  + cos2 (2π3+x) 2sin2x

Phương pháp giải

a) Tính đạo hàm của các hàm số đã cho và rút gọn.

b) Sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích: sinxsiny=2cosx+y2sinxy2

Hướng dẫn giải

Câu a

y=sin6x+cos6x+3sin2xcos2x

y=6cosxsin5x6sinxcos5x+3(2sinxcosxcos2x2sin2xcosxsinx)

=6cosxsin5x6sinxcox5x+6sinxcos3x6cosxsin3x

=3sin4xsin2x3cos4xsin2x+3sin2xcos2x3sin2xsin2x

=3sin2x(sin4xcos4x)+3sin2x(cos2xsin2x)

=3sin2x(sin2xcos2x)(sin2x+cos2x)3sin2x(sin2xcos2x)

=3sin2x(sin2xcos2x)3sin2x(sin2xcos2x)=0

Vậy y'=0 với mọi x hay y' không phụ thuộc x

Câu b

y=1+cos(2π32x)2+1+cos(2π3+2x)2+1+cos(4π32x)2

+1+cos(4π3+2x)22sin2x

=12+12cos(2π32x) +12+12cos(2π3+2x) +12+12cos(4π32x) +12+12cos(4π3+2x) 2.1cos2x2

=1+12cos(2π32x) +12cos(2π3+2x) +12cos(4π32x) +12cos(4π3+2x) +cos2x

Do đó y=12.(2).[sin(2π32x)] +12.2.[sin(2π3+2x)] +12.(2).[sin(4π32x)] +12.2.[sin(4π3+2x)] 2sin2x

=sin(2π32x)sin(2π3+2x)+sin(4π32x) sin(4π3+2x)2sin2x

=2cos2π3.sin(2x)+2cos4π3.sin(2x)2sin2x

=sin2x+sin2x2sin2x=0,

(Vì cos2π3 = cos4π3 = 12.)

Vậy y=0 với mọi x, do đó y không phụ thuộc vào x.

7. Giải bài 7 trang 169 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải phương trình f(x)=0, biết rằng:

a) f(x)=3cosx+4sinx+5x

b) f(x)=1sin(π+x)+2cos(2π+x2)

Phương pháp giải

a) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm, tính đạo hàm của hàm số, sau đó giải phương trình lượng giác.

Phương pháp giải phương trình dạng asinx+bcosx=c: Chia cả 2 vế cho a2+b2.

b) Sử dụng mối liên hệ của các góc phụ nhau, bù nhau, hơn kém nhau π, hơn kém nhau π2 và giải phương trình lượng giác cơ bản

Hướng dẫn giải

Câu a 

f(x)=3sinx+4cosx+5. Do đó

f(x)=03sinx+4cosx+5=0

3sinx4cosx=5

35sinx45 cosx=1.    (1)

Đặt cosφ=35, (φ(0;π2))sinφ=45, ta có:

(1)   sinx.cosφcosx.sinφ=1sin(xφ)=1

xφ=π2+k2πx=φ+π2+k2π,kZ

Câu b

f(x)=(1)[sin(π+x)]+2[cos(π+x2)]=(π+x)cos(π+x)+2(π+x2).[sin(π+x2)]=cos(π+x)+2.12.[sin(π+x2)]

f(x)=cos(π+x)sin(π+x2)=cosx+sinx2

f(x)=0cosx+sinx2=0sinx2=cosx

sinx2=sin(xπ2)

[x2=xπ2+k2πx2=πx+π2+k2π

[x2=π2+k2π3x2=3π2+k2π [x=πk4πx=π+k4π3

x=π+k4π3

8. Giải bài 8 trang 169 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải bất phương trình f(x)>g(x), biết rằng:

a) f(x)=x3+x2,g(x)=3x2+x+2

b) f(x)=2x3x2+3,g(x)=x3+x223

Phương pháp giải

Tính đạo hàm f'(x), g'(x).

Giải bất phương trình f'(x)>g'(x).

Để giải bài tập này các em cần ôn lại các phương pháp giải bất phương trình đã học ở lớp 10.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: f(x)=3x2+1;g(x)=6x+1.

f(x)>g(x)3x2+1>6x+1

3x26x>0[x>2x<0

Câu b

Ta có f(x)=6x22x;g(x)=3x2+x

f(x)>g(x)6x22x>3x2+x

3x23x>0[x>1x<0

Ngày:17/08/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM