Giải bài tập SGK Toán 11 Ôn tập chương 3: Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân

Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?

Phương pháp giải

Dựa vào định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm.

– Dãy số Un được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n ε N* 

– Dãy số Un được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi n ε N* 

Hướng dẫn giải

Xét cấp số cộng  \((u_n)\) với \(u_{n+1}= u_n+ d\), ta có: \(u_{n+1}– u_n= d\)

+) \(u_{n+1}> u_n\) nếu \(d > 0\)

+)  \(u_{n+1}< u_n\) nếu \(d < 0\)

Vậy cấp số cộng \((u_n)\)

+) Tăng nếu \(d > 0\)

+) Giảm nếu \(d < 0\).

Cho cấp số nhân có u1 < 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:

a) q > 0

b) q < 0

Phương pháp giải

SHTQ của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\) với \(u_1\) là số hạng đầu của CSN và \(q\) là công bội của CSN.

Hướng dẫn giải

Câu a

Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng không? Vì sao? Cho ví dụ minh họa.

Phương pháp giải

Cho \(u_1\) là số hạng đầu của CSC và \(d\) là công sai của CSC đó, ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = d = const\)

Hướng dẫn giải

Gọi (u_n) và (a_n) là hai cấp số cộng có công sai lần lượt là d1 và d₂ và có cùng n số hạng

Ta có:

u_n = u₁ + (n -1)d₁

a_n = a₁ + (n – 1)d₂

⇒ u_n + a_n = u₁ + a₁ + (n – 1).(d₁ + d₂)

Do đó u_n + a_n là cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ + a₁ và công sai là d₁ + d₂

Ví dụ:

1, 3, 5, 7,.... là cấp số cộng có công sai d₁ = 2

0, 5, 10, 15,.... là cấp số cộng có công sai d₂ = 5

⇒ 1, 8, 15, 22,... là cấp số cộng có công sai là d = d₁ + d₂ = 2 + 5 = 7

Vậy tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng

Cho hai cấp số nhân có cùng có các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.

Phương pháp giải

Định nghĩa CSN: \((u_n)\) là CSN công bội q thì \({u_{n + 1}} = q{u_n}\)

Hướng dẫn giải

Gọi (a_n); (b_n) là cấp số nhân

Ta có:

a_n= a₁. q₁^n-1, q₁ là hằng số

b_n= b₁. q₁^n-1, q₂ là hằng số

Khi đó: a_n.b_n = = a₁. q₁^n-1. b₁. q₁^n-1 = (a₁b₁)(q₁q₂)^n-1

Vậy dãy số a_nb_n là một cấp số nhân có công bội: q = q₁.q₂

Ví dụ:

1, 2, 4,... là cấp số nhân có công bội q₁ = 2

3, 9, 27, .... là cấp số nhân có công bội q₂ = 3

⇒ Suy ra: 3, 8, 108.. là cấp số nhân có công bội: q = q₁.q₂ = 2.3 = 6

Vậy tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân

Chứng minh rằng với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), ta có:

a) \(13^n-1\) chia hết cho \(6\)

b) \(3n^3+ 15n\) chia hết cho \(9\)

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Hướng dẫn giải

Câu a

Với \(n = 1\), ta có: \(13^1– 1 = 13– 1 = 12 \,\,⋮\,\, 6\)

Giả sử: \(13^k- 1\) \( ⋮ \) \(6\) với mọi \(k ≥ 1\)

Ta chứng minh: \(13^{k+1}– 1\) chia hết cho \(6\)

Thật vậy:

\({13^{k + 1}}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{13^{k + 1}}-{\rm{ }}{13^k} + {\rm{ }}{13^k} - 1{\rm{ }} \)

\(\begin{array}{l}
= \left( {{{13}^{k + 1}} - {{13}^k}} \right) + \left( {{{13}^k} - 1} \right)\\
= {13^k}\left( {13 - 1} \right) + \left( {{{13}^k} - 1} \right)
\end{array}\)

\(= {\rm{ }}{12.13^k} + {13^k}-{\rm{ }}1\)

Vì : \(12.13^k\) \(⋮\) \(6\) và \(13^k– 1\) \(⋮\) \(6\) (theo giả thiết quy nạp)

Nên : \(13^{k+1}– 1\) \(⋮\) \(6\)

Vậy \(13^n-1\) chia hết cho \(6\) với mọi \(n \in N^*\).

Câu b

Với \(n = 1\), ta có: \(3.1^3+ 15.1 = 18\) \(⋮\) \(9\)

Giả sử:  \(3k^3+ 15k\) \(⋮\) \(9\) \(\forall k \ge 1\).

Ta chứng minh: \(3(k + 1)^3+ 15(k + 1)\) \(⋮\) \(9\)

Thật vậy:

\(3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right) \)

\(= 3.{\rm{ }}({k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k + 1) + 15\left( {k + 1} \right)\)

\(= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18\)

\(= (3k^3+ 15k ) + 9(k^2+ k + 2)\)

Vì \(3k^3 + 15k\) \(⋮ \) \(9\) (theo giả thiết quy nạp) và \(9(k^2+ k + 2)\) \(⋮\) \(9\)

Nên: \(3(k + 1)^3+ 15(k + 1)\) \(⋮\) \(9\)

Vậy: \(3n^3+ 15n\) chia hết cho \(9\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)

Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_1= 2, u_{n+1} =2u_n– 1\) (với \(n ≥ 1\))

a) Viết năm số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh: \(u_n= 2^{n-1}+ 1\) bằng phương pháp quy nạp.

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

\(\begin{array}{l}
{u_1} = 2\\
{u_2} = 2{u_1} - 1 = 3\\
{u_3} = 2{u_2} - 1 = 5\\
{u_4} = 2{u_3} - 1 = 9\\
{u_5} = 2{u_4} - 1 = 17
\end{array}\)

Câu b: Với \(n = 1\), ta có: \(u_1= 2^{1-1}+ 1 = 2\) công thức đúng

Giả sử công thức đúng với mọi \(n = k\ge 1\). Nghĩa là: \({u_k} = {\rm{ }}{2^{k - 1}} + {\rm{ }}1\)

Ta chứng minh công thức cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta phải chứng minh:

\({u_{k + 1}} = {\rm{ }}{2^{\left( {k + 1} \right) - 1}} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^k} + {\rm{ }}1\)

Ta có: \({u_{k + {\rm{ }}1}} = 2{u_k} - 1 = 2({2^{k{\rm{ }} - 1}} + {\rm{ }}1) - 1 \)\(= {2.2^{k{\rm{ }} - 1}} + {\rm{ }}2-1 = {2^k} + 1\) (đpcm)

Vậy \(u_n= 2^{n-1}+ 1\) với mọi  \(n\in {\mathbb N}^*\)

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:

a) \(u_n=n+\frac{1}{n}\)

b) \(u_n=(-1)^{n-1}sin\frac{1}{n}\)

c) \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Phương pháp giải

*) Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\).

Nếu hiệu trên dương thì dãy số là dãy số tăng.

Nếu hiệu trên âm thì dãy số là dãy số giảm.

Nếu hiệu trên bằng 0 thì dãy số là dãy không đổi.

*) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \({u_n} \le M\,\,\forall n \in {N^*}\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho \({u_n} \ge m\,\,\forall n \in {N^*}\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M,m\) sao cho \(m \le {u_n} \le M\,\,\forall n \in {N^*}\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,{u_{n + 1}} - {u_n}\\
= \left( {n + 1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {n + \frac{1}{n}} \right)\\
= n + 1 + \frac{1}{{n + 1}} - n - \frac{1}{n}\\
= 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n}\\
= \frac{{{n^2} + n + n - n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{n^2} + n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0\,\,\forall n \in {N^*}
\end{array}\)

Do \(n^2+n-1 \ge 1^2+1-1=1>0\) và n(n+1) > 0 với \(\forall n\in N^*\)

Suy ra: \(u_n\) là dãy số tăng.

Mặt khác: \({u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}}  = 2,\forall n \in {N^*}\) \(\Rightarrow u_n\) là dãy số bị chặn dưới.

Khi \(n\) càng lớn thì \(u_n\) càng lớn nên \(u_n\) là dãy số không bị chặn trên.

Vậy \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Câu b: Ta có

 \(u_1= (-1)^{1-1}\sin 1 = \sin 1 > 0\)

\(\eqalign{& {u_2} = {\left( { - 1} \right)^{2-1}}.\sin {1 \over 2} = - \sin {1 \over 2} < 0 \cr & {u_3} = {( - 1)^{3-1}}.\sin {1 \over 3} = \sin {1 \over 3} > 0 \cr} \)

\(⇒ u_1> u_2\) và \(u_2< u_3\)

Vậy \(u_n\) là dãy số không tăng không giảm.

Ta lại có: \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\sin \frac{1}{n}} \right| = \left| {\sin \frac{1}{n}} \right| \le 1 \)\(\Leftrightarrow  - 1 \le {u_n} \le 1\)

Vậy \(u_n\) là dãy số bị chặn.

Câu c: Ta có

\({u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  \) \( = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \)\(= {{n + 1 - n} \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \) \(= {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\)

Xét hiệu:

\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {1 \over {\sqrt {(n + 1) + 1} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr 
& = {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr} \) 

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
\sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr 
\sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right. \)

\(\Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n \)

\( \Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \)

\(\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\)

⇒ \(u_n\) là dãy số giảm.

Mặt khác: \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N^*\) \(\Rightarrow\) un là dãy số bị chặn dưới.

Ta lại có: với n ≥ 1 thì \(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n  \ge \sqrt 2  + 1\)

\(\Rightarrow {u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2  + 1}}\)

Suy ra: \(u_n\) là dãy số bị chặn trên.

Vậy \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn.

Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của các cấp số cộng (un) biết:

a) \(\left\{\begin{matrix} 5u_1+10u_n=0\\ s_4=14 \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} u_7+u_{15}=60\\ u_{4}^{2}+u_{12}^{2}=1170 \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức 

\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\
{S_n} = \frac{{\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)n}}{2}
\end{array}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Theo bài ra ta có: \(\left\{\begin{matrix} 5u_1+10(u_1+4d)=0\\ 4u_1+\frac{4.3.d}{2}=14 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 15u_1+40d=0\\ 4u_1+6d=14 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=8\\ d=-3 \end{matrix}\right.\)

Câu b

Theo bài ra ta có: 

\(\left\{\begin{matrix} u_1+6d+u_1+14d=60\\ (u_1+3d)^2+(u_1+11d)^2=1170 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1+10d=30\\ (u_1+3d)^2+(u_1+11d)^2=1170 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=30-10d\\ (30-10d+3d^2)+(30-10d+11d)^2=1170 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u-1=30-10d\\ (30-7d)^2+(30+d)^2=1170 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u-1=30-10d\\ 50d^2-360d^2+630=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=30-10d\\ \bigg \lbrack \begin{matrix} d=3\\ d=4,2 \end{matrix} \end{matrix}\right.\)

Khi \(d=3\Rightarrow u_1=0\)

Khi \(d=4.2\Rightarrow u_1=-12\)

Tóm lại có hai cặp thoả mãn là: \(\left\{\begin{matrix} u_1=0\\ d=3 \end{matrix}\right.\) và \(\left\{\begin{matrix} u_1=-12\\ d=4,2 \end{matrix}\right.\)

Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của các cấp số nhân (un) biết: 

a) \(\left\{\begin{matrix} u_6=192\\ u_7=384 \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} u_1-u_2=72\\ u_5-u_3=144 \end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{\begin{matrix} u_2+u_5-u_4=10\\ u_3+u_6-u_5=20 \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSN: \( {u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Theo bài ra ta có:

\(\left\{\begin{matrix} u_6=192\\ u_7=384 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1.q^5=192 \ (1)\\ u_1.q^6=384 \ (2) \end{matrix}\right.\)

Lấy (2) chia cho (1) ta có \(q=2\Rightarrow u_1=\frac{192}{32}=6\)

Câu b

Theo bài ra ta có:

\(\left\{\begin{matrix} u_4-u-2=72\\ u_5-u_3=144 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1(q^3-q)=72 \ (1)\\ u_1(q^4-q^2)=144 \ \ (2) \end{matrix}\right.\)

Lấy (2) chia cho (1) ta có \(\frac{q^4-q^2}{q^3-q}=2 \ \ (q\neq 0, q\neq \pm 1)\Leftrightarrow \frac{q^2(q^2-1)}{q(q^2-1)}=2\)

⇒ q = 2

⇒ u1 = 12.

Câu c

Theo bài ra ta có: 

\(\left\{\begin{matrix} u_2+u_5-u_4=10\\ u_3+u_6-u_5=20 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1(q+q^4-q^3)=10 \ (1)\\ u_1(q^2+q^5-q^4)=20 \ (2) \end{matrix}\right.\)

Lấy (2) chia cho (1) ta có: \(\frac{q^2+q^5-q^4}{q+q^4-q^3}=2\) \((q\neq 0; 1+q^3-q^2\neq 0)\)

\(\Leftrightarrow \frac{q^2(1+q^3-q^2)}{q(1+q^3-q^2)}=2 \Leftrightarrow q=2 \Rightarrow u_1=1.\)

Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp 4 lần góc A. Tính các góc của tứ giác.

Phương pháp giải

Sử dụng công thức SHTQ: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có: \(A, B, C, D\) là một cấp số cộng và \(\widehat C = 5\widehat A\)            

Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: \(d\). Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

\(\widehat B=\widehat A+d\), \(\widehat C=\widehat A+2d\), \(\widehat D=\widehat A+3d\)

\(\Rightarrow \widehat A+2d= 5\widehat A\)

\(\Leftrightarrow 4\widehat A-2d=0\)    (1)

Mà tổng bốn góc của tứ giác bằng \(360^0\) nên:

\(\widehat A+\widehat B+ \widehat C+\widehat D=360^0 \)

\( \Leftrightarrow \widehat A + \left( {\widehat A + d} \right) + \left( {\widehat A + 2d} \right) + \left( {\widehat A + 3d} \right) = {360^0}\)

\(\Leftrightarrow 4\widehat A +6d=360^0\) (2)      

Lấy \((2)-(1)\) ta được: \(8d=360^0\Rightarrow d=45^0\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 4\widehat A - {2.45^0} = 0\\
\Leftrightarrow \widehat A = 22,{5^0} = {22^0}30'\\
\widehat B = \widehat A + {45^0} = {67^0}30'\\
\widehat C = \widehat A + {2.45^0} = {112^0}30'\\
\widehat D = \widehat A + {3.45^0} = {157^0}30'
\end{array}\)

Biết rằng ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Phương pháp giải

Sử dụng công thức SHTQ và tính chất của CSC và CSN.

Hướng dẫn giải

Giả sử ba số \(x, y, z\) lập thành một cấp số nhân với công bội \(q\) ta có: \(y = x.q\) và \(z = y.q = x.q^2\).

Ba số \(x, 2y, 3z\) lập thành một cấp số cộng nên:

\(x + 3z = 2. 2y \)

\(⇔ x + 3.(xq^2) = 4.(xq)\)

\( \Leftrightarrow x + 3x{q^2} - 4xq = 0\)

\(⇔ x. (1 + 3q^2– 4q) = 0 \)

\(⇔ x = 0\) hoặc \(3q^2– 4q + 1 = 0\)

Nếu \(x = 0\) thì \(x = y= z= 0\), \(q\) không xác định (loại)

Nếu \(x ≠ 0\) thì \(3q^2- 4q + 1 = 0⇔\left[ \matrix{q = 1 \hfill \cr q = {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Người ta thiết kế một tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là \(12 288\) \(m^2\). Tính diện tích mặt trên cùng.

Phương pháp giải

Diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân. Sử dụng công thức SHTQ của CSN: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\).

Hướng dẫn giải

Gọi diện tích đáy tháp là S0; diện tích mặt trên của tầng 1; tầng 2; tầng 3; … lần lượt là S1; S2; S3; …; S11.

Ta có:

Diện tích đế tháp: \({S_0} = 12288\,{m^2}\)

Diện tích tầng 1: \({S_1} = \frac{1}{2}{S_0} = \frac{1}{2}.12288\,{m^2} = 6144\,{m^2}\)

Theo giả thiết diện tích của bề mặt trên mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới.

Do đó \((S_n)\) là CSN có số hạng đầu \({S_1} = 6144\,{m^2}\) công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Diện tích tầng 11 là \({S_{11}} = {S_1}{q^{10}} = 6144.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{10}} = 6\,{m^2}\)

Chứng minh rằng nếu các số \({a^2},{b^2},{c^2}\) lập thành một cấp số cộng \((abc ≠ 0)\) thì các số \(\displaystyle{1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\) cũng lập thành một cấp số cộng.

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của CSC: Nếu ba số x, y, z là ba số liên tiếp của CSC thì: \(x + z = 2y\).

Hướng dẫn giải

Ta phải chứng minh: \(\displaystyle {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}} \)

Thật vậy,

\(\eqalign{
& {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}} \cr
& \Leftrightarrow {{c + a - b - c} \over {(c + a)(b + c)}} = {{a + b - c - a} \over {(c + a)(a + b)}} \cr
& \Leftrightarrow {{a - b} \over {b + c}} = {{b - c} \over {a + b}}\cr & \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = \left( {b + c} \right)\left( {b - c} \right)\cr &\Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = {b^2} - {c^2}\cr} \)

(đúng do \(a^2, b^2,c^2\) lập thành CSC)

Vậy (1) đúng nên \(\displaystyle{1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\) là cấp số cộng.

Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n= 3^n\). Hãy chọn phương án đúng:

a) Số hạng \(u_{n+1}\) bằng:

A. \(3^n+1\)                         B. \(3^n+ 3\)

C. \(3^n.3\)                             D. \(3(n+1)\)

b) Số hạng \(u_{2n}\) bằng:

A. \(2.3^n\)                              B. \(9^n\)

C. \(3^n+ 3\)                          D. \(6n\)

c) Số hạng \(u_{n-1}\)bằng :

A. \(3^n-1\)                         B. \({1\over 3}.3^n\)

C. \(3^n– 3\)                           D. \(3n – 1\)

d) Số hạng \(u_{2n-1}\) bằng:

A. \(3^2.3^n-1\)                    B. \(3^n.3^{n-1}\)

C. \(3^{2n}- 1\)                        D. \(3^{2(n-1)}\)

Phương pháp giải

a) Thay \(n\) bằng \(n+1\).

b) Thay \(n\) bằng \(2n\).

c) Thay \(n\) bằng \(n-1\).

d) Thay \(n\) bằng \(2n-1\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: \({u_{n + 1}} = {\rm{ }}{3^{n + 1}} = {\rm{ }}{3^n}.3\)

Chọn đáp án C.

Câu b

Ta có: \({u_{2n}} = {\rm{ }}{3^{2n}} = {\rm{ }}{({3^2})^n} = {\rm{ }}{9^n}\),

Chọn đáp án B.

Câu c

Ta có: \({u_{n - 1}} = {3^{n - 1}} = {3^n}{.3^{ - 1}} = {{{3^n}} \over 3}\)

Chọn đáp án B.

Câu d

Ta có: \({u_{2n - 1}} = {\rm{ }}{3^{2n - 1}}=3^n.3^{n-1}\)

Chọn đáp án B.

Hãy cho biết dãy số (un) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát un của nó là:

(A) \((-1)^{n+1}.sin\frac{\pi }{2}\)

(B) \((-1)^{2n}.(5^n+1)\)

(C) \(\frac{1}{\sqrt{n+1}+n}\)

(D) \(\frac{n}{n^2+1}\)

Phương pháp giải

Dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng nếu ta có \(u_{n+1} > u_n\) với mọi \(n \in N^*\)

Hướng dẫn giải

Ta có \(u_n=(-1)^{2n}(5^n+1)=5^n+1\) ta dễ dàng chứng minh được dãy số này tăng

Dãy \((-1)^{n+1}.sin\frac{\pi }{2}\) không tăng, không giảm

Dãy \(\frac{1}{\sqrt{n+1}+n}\) và \(\frac{n}{n^2+1}\) là hai dãy số giảm

Vậy đáp án đúng là (B)

Cho cấp số cộng -2, x, 6, y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

(A )x = -6, y = -2

(B) x = 1, y = 7

(C) x = 2, y = 8

(D) x = 2, y = 10

Phương pháp giải

Tính chất CSC: Nếu ba số x, y, z là ba số hạng liên tiếp của CSC thì \(x+z=2y\).

Hướng dẫn giải

Do -2, x, 6, y lập thành một cấp số cộng nên ta có:

\(\left\{\begin{matrix} 2x=-2+6\\ 12=x+y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=10 \end{matrix}\right.\)

Vậy (D) là đáp án đúng

Cho cấp số nhân -4, x, -9. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

(A) x = 36

(B) x = -6,5

(C) x = 6

(D) x -36.

Phương pháp giải

Tính chất CSN: Nếu ba số \(x;y;z\) là ba số liên tiếp của CSN thì \(xz=y^2\).

Hướng dẫn giải

Do -4,x,y,-9 là cấp số nhân nên ta có: \(x=\sqrt{(-4).(-9)}\Leftrightarrow x=6\)

Vậy (C) là đáp án đúng

Cho cấp số cộng (un). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

(A) \(\frac{u_{10}+u_{20}}{2}=u_5+u_{10}\)

(B) \(u_{90}+u_{210}=2 u_{150}\)

(C) \(u_{10}.u_{30}=u_{20}\)

(D) \(\frac{u_{10}.u_{30}}{2}=u_{20}\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức SHTQ của CSC: \(u_n=u_1+(n-1)d\)

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức: \(\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}=u_{k}\), ta thấy công thức \(u_{90}+u_{210}=2 u_{150}\) là công thức đúng

Vậy (B) là đáp án đúng

Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:
(A) \(\left\{\begin{matrix} u_1=2\\ u_{n+1}=u^2_n \end{matrix}\right.\)

(B) \(\left\{\begin{matrix} u_1=-1\\ u_{n+1}=3u_n \end{matrix}\right.\)

(C) \(\left\{\begin{matrix} u_1=3\\ u_{n+1}=u_n+1 \end{matrix}\right.\)

(D) \(7,77,777,...,\underbrace{77...7}_{n \ chu \ so \ 7}\)

Phương pháp giải

Định nghĩa CSN: \((u_n)\) là CSN công bội q thì \({u_{n + 1}} = q{u_n}\)

Hướng dẫn giải

Xét dãy số \((u_n)\) thoả \(\left\{\begin{matrix} u_1=-1\\ u_{n+1}=3u_n \end{matrix}\right.\)

Ta có \(u_1=-1, u_2=-3, u_3=-9,u_4=-27,...\)

Như vậy \((u_n)\) là cấp số nhân có \(u_1=-1\) và q = 3. Ta dễ kiểm tra được các dãy còn lại không phải là cấp số nhân

Vậy (B) là đáp án đúng