Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

Tìm tập xác định của các hàm số.

a) \(y = \cos {{2x} \over {x – 1}} \);

b) \(y = \tan {x \over 3}\);

c) \(y = \cot 2x\);

d) \(y = \sin {1 \over {{x^2} – 1}}\).

Phương pháp giải:

a) d)  Phân thức xác định khi mẫu số khác 0.

b) Hàm số \(y = \tan \frac{x}{3} = \frac{{\sin \frac{x}{3}}}{{\cos \frac{x}{3}}}\) xác định khi \({\cos \frac{x}{3}}\ne 0\).

c) Hàm số \(y = \cot 2x = \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}\) xác định khi \(\sin 2x \ne 0\).

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \cos {{2x} \over {x – 1}} \)

Điều kiện xác định:

x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1
Vậy \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\).

b) \(y = \tan {x \over 3}\)

Điều kiện xác định:

\(cos {x \over 3} \ne 0 \\ \Leftrightarrow {x \over 3} \ne {\pi \over 2} + k\pi \\\Leftrightarrow x \ne {{3\pi } \over 2} + k3\pi ,k \in Z\)

Vậy \({\rm{ D = R\backslash }}\left\{ {{{3\pi } \over 2} + k3\pi ,{\rm{ }}k \in Z} \right\}\).

c) \(y = \cot 2x\)

Điều kiện xác định: 

\(\sin 2x \ne 0 \\ \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \\ \Leftrightarrow x \ne k{\pi \over 2},k \in Z\)

Vậy \({\rm{D = R\backslash }}\left\{ {k{\pi \over 2},k \in Z} \right\}\).

d) \(y = \sin {1 \over {{x^2} – 1}}\)

Điều kiện xác định:

\({x^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm 1\)

Vậy \(D{\rm{ = R\backslash }}\left\{ { – 1;1} \right\}\).

Tìm tập xác định của các hàm số.

a) \(y = \sqrt {\cos x + 1}\);

b) \(y = {3 \over {{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x}}\);

c) \(y = {2 \over {\cos x – \cos 3x}}\);

d) \(y = \tan x + \cot x\).

Phương pháp giải:

a) Hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) xác định khi \(f\left( x \right) \ge 0\).

b) c) Phân thức xác định khi mẫu số khác 0.

d) Hàm số \(y = \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\) xác định khi \({\cos x}\ne 0\).

Hàm số \(y = \cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\) xác định khi \(\sin x \ne 0\).

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \sqrt {\cos x + 1}\)

Điều kiện xác định:

\(\cos x + 1 \ge 0,\forall x \in R.{\rm{ }}\)

Vậy D = R.

b) \(y = {3 \over {{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x}}\)

Điều kiện xác định:

\({\sin ^2}x – {\cos ^2}x = – \cos 2x \ne 0 \\ \Leftrightarrow 2x \ne {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z \\ \Leftrightarrow x \ne {\pi \over 4} + k{\pi \over 2},k \in Z.{\rm{ }}\)

Vậy \({\rm{D = R\backslash }}\left\{ {{\pi \over 4} + k{\pi \over 2},k \in Z} \right\}\).

c) \(y = {2 \over {\cos x – \cos 3x}}\)

Ta có:

\(\cos x – \cos 3x = – 2\sin 2x\sin ( – x) = 4{\sin ^2}x\cos x\)

Điều kiện xác định:

\( \cos x – \cos 3x \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 0\) và \(\cos x \ne 0\)

\(\Leftrightarrow x \ne k\pi\) và \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z\)

Vậy \(D = R\backslash \left\{ {{{k\pi } \over 2},k \in Z} \right\}.\)

d) \(y = \tan x + \cot x\)

tan x và cot x có nghĩa khi sin x ≠ 0 và cos x ≠ 0

Vậy \(D = R\backslash \left\{ {{{k\pi } \over 2},k \in Z} \right\}\).

3. Giải bài 1.3 trang 12 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) \(y = 3 – 2\left| {\sin x} \right|\);

b) \(y = \cos x + \cos \left( {x – {\pi \over 3}} \right)\);

c) \(y = {\cos ^2}x + 2\cos 2x\);

d) \(y = \sqrt {5 – 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}\).

a) Hàm số y = sinx có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in R\)

\(\Leftrightarrow 0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1,\forall x \in R\).

b) Áp dụng công thức phân tích tổng thành tích thu gọn hàm số.

Áp dụng lí thuyết \( - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in R\) để tìm GTLN, GTNN.

c) Áp dụng công thức nhân đôi để thu gọn hàm số.

Áp dụng lí thuyết \( - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in R\) để tìm GTLN, GTNN.

d) Áp dụng công thức nhân đôi để thu gọn hàm số.

 Hàm số y = sinx có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in R\)

\(\Leftrightarrow 0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1,\forall x \in R\)

\( \Leftrightarrow 0 \le {\sin ^2}x \le 1,\forall x \in R\).

Hướng dẫn giải:

a) \(y = 3 – 2\left| {\sin x} \right|\)

Ta có: \( 0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 \ge - 2\left| {\sin x} \right| \ge - 2\\ \Leftrightarrow 3 \ge 3 - 2\left| {\sin x} \right| \ge 1\\ \Leftrightarrow 3 \ge y \ge 1 \end{array}\)

Vậy GTLN của hàm số y là 3, đạt được khi sin x = 0 \( \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in Z\).

GTNN của hàm số y là 1, đạt được khi sin x = ± 1 \( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z\).

b) \(y = \cos x + \cos \left( {x – {\pi \over 3}} \right)\)

\(= 2\cos \left( {x – {\pi \over 6}} \right)\cos {\pi \over 6}\)

\(= \sqrt 3 \cos \left( {x – {\pi \over 6}} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} - 1 \le \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow - \sqrt 3 \le \sqrt 3 \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow - \sqrt 3 \le y \le \sqrt 3 \end{array}\)

Vậy GTLN của hàm số y là \(\sqrt3\), đạt được khi \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in Z\).

GTNN của hàm số y là \(-\sqrt3\), đạt được khi \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = -1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} =\pi+ k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{7\pi }{6} + k2\pi ,k \in Z\).

c) \(y = {\cos ^2}x + 2\cos 2x\)

\(= {{1 + \cos 2x} \over 2} + 2\cos 2x\)

\(= {{1 + 5\cos 2x} \over 2}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} - 1 \le \cos 2x \le 1\\ \Leftrightarrow - 4 \le 1 + 5\cos 2x \le 6\\ \Leftrightarrow - 2 \le y \le 3 \end{array}\)

Vậy GTLN của hàm số y là 3, đạt được khi \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in Z.\)

GTNN của hàm số y là \(-2\), đạt được khi \(\cos 2x = -1 \Leftrightarrow x =\frac{\pi}{2} +k\pi ,k \in Z.\)

d) \(y = \sqrt {5 – 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}\)

Ta có: \(5 – 2{\cos ^2}x{\sin ^2}x = 5 – {1 \over 2}{\sin ^2}2x\).

Vì \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1{\rm{ }} \Leftrightarrow \ – {1 \over 2} \le – {1 \over 2}{\sin ^2}2x \le 0{\rm{ }} \Leftrightarrow \frac{9}{2} \le 5 – {1 \over 2}{\sin ^2}2x \le 5\)

\(\Rightarrow {\rm{ }}{{3\sqrt 2 } \over 2} \le y \le \sqrt 5\)

Vậy GTLN của hàm số y là \(\sqrt5\), đạt được khi \({\sin ^2}2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in Z\).

GTNN của hàm số y là \(\frac{3\sqrt 2} 2\), đạt được khi \({\sin ^2}2x = 1 \Leftrightarrow \sin 2x = \pm 1 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z\).

Với những giá trị nào của x, ta có mỗi đẳng thức sau?

a) \({1 \over {\tan x}} = \cot x\);

b) \({1 \over {1 + {{\tan }^2}x}} = {\cos ^2}x\);

c) \({1 \over {{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\);

d) \(\tan x + \cot x = {2 \over {\sin 2x}}\).

Phương pháp giải:

- Biến đổi VT = VP, từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.

- Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.

Hướng dẫn giải:

a) \({1 \over {\tan x}} = \cot x\)

Ta có:

\(VT = \frac{1}{{\tan x}} = \frac{1}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \cot x = VP\)

Do đó VT = VP nếu hai vế xác định.

Điều kiện xác định:

\(\left\{ \begin{array}{l} \sin \ne 0\\ \cos \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in Z\)

Vậy đẳng thức xảy ra khi \(x \ne k{\pi \over 2},k\in Z\).

b) \({1 \over {1 + {{\tan }^2}x}} = {\cos ^2}x\)

Ta có:

\(VT = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{1}{{1 + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \frac{1}{{\frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}} = {\cos ^2}x = VP\)

Do đó VT = VP nếu hai vế xác định.

Điều kiện xác định:

\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\)

Vậy đẳng thức xảy ra khi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\).

c) \({1 \over {{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\)

Ta có:

\(VP = 1 + {\cot ^2}x = 1 + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = VT\)

Do đó VT = VP nếu hai vế xác định.

Điều kiện xác định:

\(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in Z\)

Vậy đẳng thức xảy ra khi \(x \ne k\pi ,k \in Z\).

d) \(\tan x + \cot x = {2 \over {\sin 2x}}\)

\(VT = \tan x + \cot x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = \frac{1}{{\sin x\cos x}}\)

\(VP = \frac{2}{{\sin 2x}} = \frac{2}{{2\sin x\cos x}} = \frac{1}{{\sin x\cos x}}\)

⇒ VT = VP

Do đó VT = VP nếu hai vế xác định.

Điều kiện xác định:

\(\left\{ \begin{array}{l} \cos x \ne 0\\ \sin x \ne 0\\ \sin 2x \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k\in Z\)

Vậy đẳng thức xảy ra khi \(x \ne \frac{{k\pi }}{2},k\in Z\).

Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số:

a) \(y = {{\cos 2x} \over x}\);

b) \(y = x – \sin x\);

c) \(y = \sqrt {1 – \cos x}\);

d) \(y = 1 + \cos x\sin \left( {{{3\pi } \over 2} – 2x} \right)\).

Phương pháp giải:

Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu x ∈ D thì −x ∈ D và f(−x) = f(x).

Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu x ∈ D thì −x ∈ D và f(−x) = −f(x).

- Bước 1: tìm TXĐ D, chứng minh D  là tập đối xứng.

- Bước 2: lấy x ∈ D ⇒ −x ∈ D.

- Bước 3: xét f(−x).

Nếu f(−x) = f(x) hàm số chẵn

Nếu f(−x) = −f(x) hàm số lẻ.

Hướng dẫn giải:

a) \(y =f(x)= {{\cos 2x} \over x}\)

TXĐ: D = R \ {0} là tập đối xứng.

\(f\left( { - x} \right) = \frac{{\cos \left( {2\left( { - x} \right)} \right)}}{{ - x}} = \frac{{\cos \left( { - 2x} \right)}}{{ - x}} = \frac{{\cos 2x}}{{ - x}} = - f\left( x \right)\)

Vậy \(y = {{\cos 2x} \over x}\) là hàm số lẻ.

b) \(y = f(x)=x – \sin x\)

TXĐ D = R là tập đối xứng.

\(f\left( { - x} \right) = \left( { - x} \right) - \sin \left( { - x} \right) = - \left( {x - \sin x} \right) = - f\left( x \right)\)

Vậy \(y = x – \sin x\) là hàm số lẻ.

c) \(y = f(x)=\sqrt {1 – \cos x}\)

TXĐ D = R là tập đối xứng.

\(f\left( { - x} \right) = \sqrt {1 - \cos \left( { - x} \right)} = \sqrt {1 - \cos x} = f\left( x \right)\)

Vậy \(y = \sqrt {1 – \cos x}\) là hàm số chẵn.

d) \(y =f(x)= 1 + \cos x\sin \left( {{{3\pi } \over 2} – 2x} \right)\)

Ta có: \(y = 1 + \cos x\sin \left( {{{3\pi } \over 2} – 2x} \right)\)

\(= 1 + \cos x\sin \left( { - \frac{\pi }{2} + 2x} \right) \\= 1 - \cos x\sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) \\= 1 - \cos x\cos 2x\)

TXĐ D = R là tập đối xứng.

\(f\left( { - x} \right) = 1 - \cos \left( { - x} \right)\cos \left( {2\left( { - x} \right)} \right) = 1 - \cos x\cos 2x = f\left( x \right)\)

Vậy \(y = 1 + \cos x\sin \left( {{{3\pi } \over 2} – 2x} \right)\) là hàm số chẵn.

a) Chứng minh rằng \(\cos 2\left( {x + k\pi } \right) = \cos 2x,k \in Z\). Từ đó đồ thị hàm số y = cos 2x.

b) Từ đồ thị hàm số y = cos 2x, hãy vẽ đồ thị hàm số y = |cos 2x|.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức \(\cos \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \cos \alpha \).

b) Cách dựng đồ thị hàm số y=|f(x)| từ đồ thị hàm số y=f(x):

- Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox của đồ thị hàm số y=f(x).

- Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox của đồ thị y=f(x) qua Ox.

- Xóa phần đồ thị phía dưới trục Ox của đồ thị hàm số y=f(x).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\cos 2(x + k\pi ) = \cos (2x + k2\pi ) = \cos 2x,k \in Z\)

Vậy hàm số y = cos 2x là hàm số chẵn, tuần hoàn, có chu kì là π.

Đồ thị hàm số y = cos 2x đi qua các điểm \(\left( {0;1} \right),\left( { - \frac{\pi }{4};0} \right),\left( {\frac{\pi }{4};0} \right),\left( { - \frac{\pi }{2}; - 1} \right),\left( {\frac{\pi }{2};1} \right)\)

b) Đồ thị hàm số y = |cos 2x| gồm:

+ Phần đồ thị phía trên trục Oxcủa đồ thị hàm số y=cos2x.

+ Phần đồ thị có được từ việc lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox của đồ thị hàm số y=cos2x.

Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {1 + 2\cos x} \) là:

A. \(\left[ { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right]\);

B. \(\left[ { - \frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right]\);

C. \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \right]\);

D. \(\left[ { - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\frac{\pi }{4} + k2\pi } \right]\).

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) xác định khi \(f\left( x \right) \ge 0\).

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định:

\(\begin{array}{l} 1 + 2\cos x \ge 0\\ \Leftrightarrow \cos x \ge - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le x \le \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in Z \end{array}\)

Vậy chọn đáp án A.

Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{1 - \sin x}}{{2\cot x}}\) là:

A. \(R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\);

B. \(R\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2}} \right\}\);

C. \(R\backslash \left\{ {k\pi } \right\}\);

D. \(R\backslash \left\{ {k2\pi } \right\}\)

Phương pháp giải:

Phân thức xác định khi mẫu số khác 0.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \sin x \ne 0\\ \cos x \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \sin x\cos x \ne 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x \ne 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0\\ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in Z \end{array}\)

Vậy chọn đáp án B.

Tập xác định của hàm số \(y = \dfrac{{1 + \tan x}}{{\sqrt {1 - \sin x} }} \) là:

A. \(R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \right\} \);

B. \(\left[ {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right]\)

C. \(R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\);

D. \(R\backslash \left[ {\dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \right] \)

Phương pháp giải:

- Hàm số \(y = \dfrac{{f(x)}}{{g(x)}}\) xác định khi \(g(x) \ne 0\).

- Hàm số \(y = \sqrt {f(x)} \) xác định khi \(f(x) \ge 0\).

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: 

\(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\1 - \sin x > 0\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\1 - \sin x \ne 0\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi\\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)

Vậy \(x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) hay \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Vậy chọn đáp án C.

Tập xác định của hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {1 - 2\cos x} }}{{\sqrt 3 - \tan x}}\) là:

A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\);

B. \(\mathbb{R}\backslash \left( { - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \right)\);

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \right\} \cup \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \right\}} \right\}\);

D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\left( { - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \right] \cup \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\}} \right\}\)

Phương pháp giải:

- Phân thức xác định khi mẫu số khác 0.

- Hàm số \(y = \sqrt {f(x)}\) xác định khi \(f(x) \ge 0\).

Hướng dẫn giải:

Hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {1 - 2\cos x} }}{{\sqrt 3 - \tan x}}\) không xác định khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 - 2\cos x < 0\\\tan x = \sqrt 3 \\\cos x = 0\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi < x < \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Suy ra tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\left( { - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \right] \cup \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\}} \right\}\)

Vậy chọn đáp án D.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 1 - \cos x - \sin x\) là:

A. \(- \dfrac{1}{2}\)

B. \(-1\)

C. \(1 - \sqrt 2\)

D. \(- \sqrt 2\)

Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức phân tích tổng thành tích để rút gọn hàm số.

- Hàm số \(y=\cos x\) có \(\cos x\le 1\).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(y = 1 - \cos x - \sin x\)

\(=1-(\cos x + \sin x)\)

\(=1-[ \cos x + \cos (\dfrac{\pi }{2} - x)]\)

\(=1 - 2\cos \dfrac{\pi }{4}\cos (x - \dfrac{\pi }{4})\)

\(=1- \sqrt 2 \cos (x - \dfrac{\pi }{4})\)

Mà \(\cos (x - \dfrac{\pi }{4})\le 1\)

\(\Leftrightarrow y\ge 1-\sqrt2\)

Suy ra GTNN của hàm số y là \(1 - \sqrt 2\).

Vậy chọn đáp án C.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2 + \left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right|\) là:

A. 2

B. \(2 + \sqrt 2\)

C. \(\dfrac{3}{2}\)

D. \(3 - \sqrt 2\)

Phương pháp giải:

- Hàm số \(y = 2 + \left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right|\) đạt GTLN khi \(\left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right|\) đạt GTLN.

- Hàm số \(y=\sin 2x\) có \(\sin 2x\le 1\).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right|} \right)^2}\\ = {\cos ^2}x + {\sin ^2}x + 2\left| {\cos x\sin x} \right|\\ = 1 + \left| {\sin 2x} \right| \le 2\\ \Leftrightarrow \left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right| \le \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 2 + \left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right| \le 2 + \sqrt 2 \end{array}\)

Suy ra GTLN của hàm số y là \(2 + \sqrt 2\).

Vậy chọn đáp án B.

Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y = {\cos ^6}x + {\sin ^6}x\) tương ứng là:

A. \(\dfrac{1}{4}\) và 1

B. \(\dfrac{3}{5}\) và \(\dfrac{3}{4}\)

C. \(\dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

D. \(\dfrac{2}{3}\) và \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Phương pháp giải:

- Biến đổi \( {\cos ^6}x + {\sin ^6}x\) về dạng biểu thức chỉ chứa sin⁡f(x) hoặc cosf(x).

- Ta có |sinf(x)| ≤ 1 và |cosf(x)| ≤ 1 từ đó suy ra được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\( {\cos ^6}x + {\sin ^6}x \\=({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)({\cos ^4}x - {\cos ^2}x{\sin ^2}x + {\sin ^4}x)\)

\(={({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)^2} - 3{\cos ^2}x{\sin ^2}x\)

\(= 1 - 3{(\dfrac{{\sin 2x}}{2})^2} = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x\)

\(= \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x\)

Mà \(\dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x \le 1\) \(\Rightarrow \dfrac{1}{4} \le y \le 1\)

Vậy chọn đáp án A.