Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

Tìm tập xác định của các hàm số.

a) $y = \cos {{2x} \over {x – 1}}$;

b) $y = \tan {x \over 3}$;

c) $y = \cot 2x$;

d) $y = \sin {1 \over {{x^2} – 1}}$.

Phương pháp giải:

a) d)  Phân thức xác định khi mẫu số khác 0.

b) Hàm số $y = \tan \frac{x}{3} = \frac{{\sin \frac{x}{3}}}{{\cos \frac{x}{3}}}$ xác định khi ${\cos \frac{x}{3}}\ne 0$.

c) Hàm số $y = \cot 2x = \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}$ xác định khi $\sin 2x \ne 0$.

Hướng dẫn giải:

a) $y = \cos {{2x} \over {x – 1}}$

Điều kiện xác định:

x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1
Vậy $D = R\backslash \left\{ 1 \right\}$.

b) $y = \tan {x \over 3}$

Điều kiện xác định:

$cos {x \over 3} \ne 0 \\ \Leftrightarrow {x \over 3} \ne {\pi \over 2} + k\pi \\\Leftrightarrow x \ne {{3\pi } \over 2} + k3\pi ,k \in Z$

Vậy ${\rm{ D = R\backslash }}\left\{ {{{3\pi } \over 2} + k3\pi ,{\rm{ }}k \in Z} \right\}$.

c) $y = \cot 2x$

Điều kiện xác định: 

$\sin 2x \ne 0 \\ \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \\ \Leftrightarrow x \ne k{\pi \over 2},k \in Z$

Vậy ${\rm{D = R\backslash }}\left\{ {k{\pi \over 2},k \in Z} \right\}$.

d) $y = \sin {1 \over {{x^2} – 1}}$

Điều kiện xác định:

${x^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm 1$

Vậy $D{\rm{ = R\backslash }}\left\{ { – 1;1} \right\}$.

Tìm tập xác định của các hàm số.

a) $y = \sqrt {\cos x + 1}$;

b) $y = {3 \over {{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x}}$;

c) $y = {2 \over {\cos x – \cos 3x}}$;

d) $y = \tan x + \cot x$.

Phương pháp giải:

a) Hàm số $y = \sqrt {f\left( x \right)}$ xác định khi $f\left( x \right) \ge 0$.

b) c) Phân thức xác định khi mẫu số khác 0.

d) Hàm số $y = \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}$ xác định khi ${\cos x}\ne 0$.

Hàm số $y = \cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}$ xác định khi $\sin x \ne 0$.

Hướng dẫn giải:

a) $y = \sqrt {\cos x + 1}$

Điều kiện xác định:

$\cos x + 1 \ge 0,\forall x \in R.{\rm{ }}$

Vậy D = R.

b) $y = {3 \over {{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x}}$

Điều kiện xác định:

${\sin ^2}x – {\cos ^2}x = – \cos 2x \ne 0 \\ \Leftrightarrow 2x \ne {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z \\ \Leftrightarrow x \ne {\pi \over 4} + k{\pi \over 2},k \in Z.{\rm{ }}$

Vậy ${\rm{D = R\backslash }}\left\{ {{\pi \over 4} + k{\pi \over 2},k \in Z} \right\}$.

c) $y = {2 \over {\cos x – \cos 3x}}$

Ta có:

$\cos x – \cos 3x = – 2\sin 2x\sin ( – x) = 4{\sin ^2}x\cos x$

Điều kiện xác định:

$\cos x – \cos 3x \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 0$ và $\cos x \ne 0$

$\Leftrightarrow x \ne k\pi$ và $x \ne {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z$

Vậy $D = R\backslash \left\{ {{{k\pi } \over 2},k \in Z} \right\}.$

d) $y = \tan x + \cot x$

tan x và cot x có nghĩa khi sin x ≠ 0 và cos x ≠ 0

Vậy $D = R\backslash \left\{ {{{k\pi } \over 2},k \in Z} \right\}$.

3. Giải bài 1.3 trang 12 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) $y = 3 – 2\left| {\sin x} \right|$;

b) $y = \cos x + \cos \left( {x – {\pi \over 3}} \right)$;

c) $y = {\cos ^2}x + 2\cos 2x$;

d) $y = \sqrt {5 – 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}$.

a) Hàm số y = sinx có $- 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in R$

$\Leftrightarrow 0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1,\forall x \in R$.

b) Áp dụng công thức phân tích tổng thành tích thu gọn hàm số.

Áp dụng lí thuyết $- 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in R$ để tìm GTLN, GTNN.

c) Áp dụng công thức nhân đôi để thu gọn hàm số.

Áp dụng lí thuyết $- 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in R$ để tìm GTLN, GTNN.

d) Áp dụng công thức nhân đôi để thu gọn hàm số.

 Hàm số y = sinx có $- 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in R$

$\Leftrightarrow 0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1,\forall x \in R$

$\Leftrightarrow 0 \le {\sin ^2}x \le 1,\forall x \in R$.

Hướng dẫn giải:

a) $y = 3 – 2\left| {\sin x} \right|$

Ta có: $0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 \ge - 2\left| {\sin x} \right| \ge - 2\\ \Leftrightarrow 3 \ge 3 - 2\left| {\sin x} \right| \ge 1\\ \Leftrightarrow 3 \ge y \ge 1 \end{array}$

Vậy GTLN của hàm số y là 3, đạt được khi sin x = 0 $\Leftrightarrow x = k\pi ,k \in Z$.

GTNN của hàm số y là 1, đạt được khi sin x = ± 1 $\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z$.

b) $y = \cos x + \cos \left( {x – {\pi \over 3}} \right)$

$= 2\cos \left( {x – {\pi \over 6}} \right)\cos {\pi \over 6}$

$= \sqrt 3 \cos \left( {x – {\pi \over 6}} \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l} - 1 \le \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow - \sqrt 3 \le \sqrt 3 \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow - \sqrt 3 \le y \le \sqrt 3 \end{array}$

Vậy GTLN của hàm số y là $\sqrt3$, đạt được khi $\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in Z$.

GTNN của hàm số y là $-\sqrt3$, đạt được khi $\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = -1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} =\pi+ k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{7\pi }{6} + k2\pi ,k \in Z$.

c) $y = {\cos ^2}x + 2\cos 2x$

$= {{1 + \cos 2x} \over 2} + 2\cos 2x$

$= {{1 + 5\cos 2x} \over 2}$

Ta có:

$\begin{array}{l} - 1 \le \cos 2x \le 1\\ \Leftrightarrow - 4 \le 1 + 5\cos 2x \le 6\\ \Leftrightarrow - 2 \le y \le 3 \end{array}$

Vậy GTLN của hàm số y là 3, đạt được khi $\cos 2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in Z.$

GTNN của hàm số y là $-2$, đạt được khi $\cos 2x = -1 \Leftrightarrow x =\frac{\pi}{2} +k\pi ,k \in Z.$

d) $y = \sqrt {5 – 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}$

Ta có: $5 – 2{\cos ^2}x{\sin ^2}x = 5 – {1 \over 2}{\sin ^2}2x$.

Vì $0 \le {\sin ^2}2x \le 1{\rm{ }} \Leftrightarrow \ – {1 \over 2} \le – {1 \over 2}{\sin ^2}2x \le 0{\rm{ }} \Leftrightarrow \frac{9}{2} \le 5 – {1 \over 2}{\sin ^2}2x \le 5$

$\Rightarrow {\rm{ }}{{3\sqrt 2 } \over 2} \le y \le \sqrt 5$

Vậy GTLN của hàm số y là $\sqrt5$, đạt được khi ${\sin ^2}2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in Z$.

GTNN của hàm số y là $\frac{3\sqrt 2} 2$, đạt được khi ${\sin ^2}2x = 1 \Leftrightarrow \sin 2x = \pm 1 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z$.

Với những giá trị nào của x, ta có mỗi đẳng thức sau?

a) ${1 \over {\tan x}} = \cot x$;

b) ${1 \over {1 + {{\tan }^2}x}} = {\cos ^2}x$;

c) ${1 \over {{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x$;

d) $\tan x + \cot x = {2 \over {\sin 2x}}$.

Phương pháp giải:

- Biến đổi VT = VP, từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.

- Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.

Hướng dẫn giải:

a) ${1 \over {\tan x}} = \cot x$

Ta có:

$VT = \frac{1}{{\tan x}} = \frac{1}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \cot x = VP$

Do đó VT = VP nếu hai vế xác định.

Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{array}{l} \sin \ne 0\\ \cos \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in Z$

Vậy đẳng thức xảy ra khi $x \ne k{\pi \over 2},k\in Z$.

b) ${1 \over {1 + {{\tan }^2}x}} = {\cos ^2}x$

Ta có:

$VT = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{1}{{1 + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \frac{1}{{\frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}} = {\cos ^2}x = VP$

Do đó VT = VP nếu hai vế xác định.

Điều kiện xác định:

$\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z$

Vậy đẳng thức xảy ra khi $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z$.

c) ${1 \over {{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x$

Ta có:

$VP = 1 + {\cot ^2}x = 1 + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = VT$

Do đó VT = VP nếu hai vế xác định.

Điều kiện xác định:

$\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in Z$

Vậy đẳng thức xảy ra khi $x \ne k\pi ,k \in Z$.

d) $\tan x + \cot x = {2 \over {\sin 2x}}$

$VT = \tan x + \cot x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = \frac{1}{{\sin x\cos x}}$

$VP = \frac{2}{{\sin 2x}} = \frac{2}{{2\sin x\cos x}} = \frac{1}{{\sin x\cos x}}$

⇒ VT = VP

Do đó VT = VP nếu hai vế xác định.

Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos x \ne 0\\ \sin x \ne 0\\ \sin 2x \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k\in Z$

Vậy đẳng thức xảy ra khi $x \ne \frac{{k\pi }}{2},k\in Z$.

Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số:

a) $y = {{\cos 2x} \over x}$;

b) $y = x – \sin x$;

c) $y = \sqrt {1 – \cos x}$;

d) $y = 1 + \cos x\sin \left( {{{3\pi } \over 2} – 2x} \right)$.

Phương pháp giải:

Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu x ∈ D thì −x ∈ D và f(−x) = f(x).

Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu x ∈ D thì −x ∈ D và f(−x) = −f(x).

- Bước 1: tìm TXĐ D, chứng minh D  là tập đối xứng.

- Bước 2: lấy x ∈ D ⇒ −x ∈ D.

- Bước 3: xét f(−x).

Nếu f(−x) = f(x) hàm số chẵn

Nếu f(−x) = −f(x) hàm số lẻ.

Hướng dẫn giải:

a) $y =f(x)= {{\cos 2x} \over x}$

TXĐ: D = R \ {0} là tập đối xứng.

$f\left( { - x} \right) = \frac{{\cos \left( {2\left( { - x} \right)} \right)}}{{ - x}} = \frac{{\cos \left( { - 2x} \right)}}{{ - x}} = \frac{{\cos 2x}}{{ - x}} = - f\left( x \right)$

Vậy $y = {{\cos 2x} \over x}$ là hàm số lẻ.

b) $y = f(x)=x – \sin x$

TXĐ D = R là tập đối xứng.

$f\left( { - x} \right) = \left( { - x} \right) - \sin \left( { - x} \right) = - \left( {x - \sin x} \right) = - f\left( x \right)$

Vậy $y = x – \sin x$ là hàm số lẻ.

c) $y = f(x)=\sqrt {1 – \cos x}$

TXĐ D = R là tập đối xứng.

$f\left( { - x} \right) = \sqrt {1 - \cos \left( { - x} \right)} = \sqrt {1 - \cos x} = f\left( x \right)$

Vậy $y = \sqrt {1 – \cos x}$ là hàm số chẵn.

d) $y =f(x)= 1 + \cos x\sin \left( {{{3\pi } \over 2} – 2x} \right)$

Ta có: $y = 1 + \cos x\sin \left( {{{3\pi } \over 2} – 2x} \right)$

$= 1 + \cos x\sin \left( { - \frac{\pi }{2} + 2x} \right) \\= 1 - \cos x\sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) \\= 1 - \cos x\cos 2x$

TXĐ D = R là tập đối xứng.

$f\left( { - x} \right) = 1 - \cos \left( { - x} \right)\cos \left( {2\left( { - x} \right)} \right) = 1 - \cos x\cos 2x = f\left( x \right)$

Vậy $y = 1 + \cos x\sin \left( {{{3\pi } \over 2} – 2x} \right)$ là hàm số chẵn.

a) Chứng minh rằng $\cos 2\left( {x + k\pi } \right) = \cos 2x,k \in Z$. Từ đó đồ thị hàm số y = cos 2x.

b) Từ đồ thị hàm số y = cos 2x, hãy vẽ đồ thị hàm số y = |cos 2x|.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức $\cos \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \cos \alpha$.

b) Cách dựng đồ thị hàm số y=|f(x)| từ đồ thị hàm số y=f(x):

- Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox của đồ thị hàm số y=f(x).

- Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox của đồ thị y=f(x) qua Ox.

- Xóa phần đồ thị phía dưới trục Ox của đồ thị hàm số y=f(x).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\cos 2(x + k\pi ) = \cos (2x + k2\pi ) = \cos 2x,k \in Z$

Vậy hàm số y = cos 2x là hàm số chẵn, tuần hoàn, có chu kì là π.

Đồ thị hàm số y = cos 2x đi qua các điểm $\left( {0;1} \right),\left( { - \frac{\pi }{4};0} \right),\left( {\frac{\pi }{4};0} \right),\left( { - \frac{\pi }{2}; - 1} \right),\left( {\frac{\pi }{2};1} \right)$

b) Đồ thị hàm số y = |cos 2x| gồm:

+ Phần đồ thị phía trên trục Oxcủa đồ thị hàm số y=cos2x.

+ Phần đồ thị có được từ việc lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox của đồ thị hàm số y=cos2x.

Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {1 + 2\cos x}$ là:

A. $\left[ { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right]$;

B. $\left[ { - \frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right]$;

C. $\left[ { - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \right]$;

D. $\left[ { - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\frac{\pi }{4} + k2\pi } \right]$.

Phương pháp giải:

Hàm số $y = \sqrt {f\left( x \right)}$ xác định khi $f\left( x \right) \ge 0$.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định:

$\begin{array}{l} 1 + 2\cos x \ge 0\\ \Leftrightarrow \cos x \ge - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le x \le \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in Z \end{array}$

Vậy chọn đáp án A.

Tập xác định của hàm số $y = \frac{{1 - \sin x}}{{2\cot x}}$ là:

A. $R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}$;

B. $R\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2}} \right\}$;

C. $R\backslash \left\{ {k\pi } \right\}$;

D. $R\backslash \left\{ {k2\pi } \right\}$

Phương pháp giải:

Phân thức xác định khi mẫu số khác 0.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \sin x \ne 0\\ \cos x \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \sin x\cos x \ne 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x \ne 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0\\ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in Z \end{array}$

Vậy chọn đáp án B.

Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{{1 + \tan x}}{{\sqrt {1 - \sin x} }}$ là:

A. $R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \right\}$;

B. $\left[ {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right]$

C. $R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\}$;

D. $R\backslash \left[ {\dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \right]$

Phương pháp giải:

- Hàm số $y = \dfrac{{f(x)}}{{g(x)}}$ xác định khi $g(x) \ne 0$.

- Hàm số $y = \sqrt {f(x)}$ xác định khi $f(x) \ge 0$.

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: 

$\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\1 - \sin x > 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\1 - \sin x \ne 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi\\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi$

Vậy $x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ hay $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Vậy chọn đáp án C.

Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {1 - 2\cos x} }}{{\sqrt 3 - \tan x}}$ là:

A. $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\}$;

B. $\mathbb{R}\backslash \left( { - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \right)$;

C. $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \right\} \cup \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \right\}} \right\}$;

D. $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\left( { - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \right] \cup \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\}} \right\}$

Phương pháp giải:

- Phân thức xác định khi mẫu số khác 0.

- Hàm số $y = \sqrt {f(x)}$ xác định khi $f(x) \ge 0$.

Hướng dẫn giải:

Hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {1 - 2\cos x} }}{{\sqrt 3 - \tan x}}$ không xác định khi:

$\left\{ \begin{array}{l}1 - 2\cos x < 0\\\tan x = \sqrt 3 \\\cos x = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi < x < \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Suy ra tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\left( { - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \right] \cup \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\}} \right\}$

Vậy chọn đáp án D.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 1 - \cos x - \sin x$ là:

A. $- \dfrac{1}{2}$

B. $-1$

C. $1 - \sqrt 2$

D. $- \sqrt 2$

Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức phân tích tổng thành tích để rút gọn hàm số.

- Hàm số $y=\cos x$ có $\cos x\le 1$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$y = 1 - \cos x - \sin x$

$=1-(\cos x + \sin x)$

$=1-[ \cos x + \cos (\dfrac{\pi }{2} - x)]$

$=1 - 2\cos \dfrac{\pi }{4}\cos (x - \dfrac{\pi }{4})$

$=1- \sqrt 2 \cos (x - \dfrac{\pi }{4})$

Mà $\cos (x - \dfrac{\pi }{4})\le 1$

$\Leftrightarrow y\ge 1-\sqrt2$

Suy ra GTNN của hàm số y là $1 - \sqrt 2$.

Vậy chọn đáp án C.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = 2 + \left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right|$ là:

A. 2

B. $2 + \sqrt 2$

C. $\dfrac{3}{2}$

D. $3 - \sqrt 2$

Phương pháp giải:

- Hàm số $y = 2 + \left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right|$ đạt GTLN khi $\left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right|$ đạt GTLN.

- Hàm số $y=\sin 2x$ có $\sin 2x\le 1$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {\left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right|} \right)^2}\\ = {\cos ^2}x + {\sin ^2}x + 2\left| {\cos x\sin x} \right|\\ = 1 + \left| {\sin 2x} \right| \le 2\\ \Leftrightarrow \left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right| \le \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 2 + \left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right| \le 2 + \sqrt 2 \end{array}$

Suy ra GTLN của hàm số y là $2 + \sqrt 2$.

Vậy chọn đáp án B.

Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số $y = {\cos ^6}x + {\sin ^6}x$ tương ứng là:

A. $\dfrac{1}{4}$ và 1

B. $\dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{3}{4}$

C. $\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

D. $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

Phương pháp giải:

- Biến đổi ${\cos ^6}x + {\sin ^6}x$ về dạng biểu thức chỉ chứa sin⁡f(x) hoặc cosf(x).

- Ta có |sinf(x)| ≤ 1 và |cosf(x)| ≤ 1 từ đó suy ra được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${\cos ^6}x + {\sin ^6}x \\=({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)({\cos ^4}x - {\cos ^2}x{\sin ^2}x + {\sin ^4}x)$

$={({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)^2} - 3{\cos ^2}x{\sin ^2}x$

$= 1 - 3{(\dfrac{{\sin 2x}}{2})^2} = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x$

$= \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x$

Mà $\dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x \le 1$ $\Rightarrow \dfrac{1}{4} \le y \le 1$

Vậy chọn đáp án A.