Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

eLib xin giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 nội dung giải bài tập SBT bài Cấp số nhân bên dưới đây, thông qua tài liệu này các em sẽ hệ thống lại toàn bộ kiến thức đã học, bên cạnh đó các em còn nắm được phương pháp giải bài tập và vận dụng vào giải các bài tập tương tự.

Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

1. Giải bài 3.27 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {\left( { - 3} \right)^{2n - 1}}\).

a) Chứng minh dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số;

b) Lập công thức truy hồi của dãy số

c) Hỏi số  - 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số?

Phương pháp giải:

a) - Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \({u_{n + 1}} = q{u_n}\) với q không đổi.

- Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) suy ra tính tăng giảm của dãy số.

b) Sử dụng định nghĩa cấp số nhân \({u_{n + 1}} = q{u_n}\).

c) Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^{2\left( {n + 1} \right) - 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2n - 1}}}} = \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^{2n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2n - 1}}}} = 9\)

Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({u_1} = - 3,q = 9\).

Xét hiệu

\(H = {u_{n + 1}} - {u_n} \\= {\left( { - 3} \right)^{2n + 1}} - {\left( { - 3} \right)^{2n - 1}} \\={\left( { - 3} \right)^{2n}}\left[ {{{\left( { - 3} \right)}^1} - {{\left( { - 3} \right)}^{ - 1}}} \right] \\= {9^n}\left( { - \dfrac{8}{3}} \right) < 0\)

Vậy dãy số giảm.

b) Công thức truy hồi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 3\\{u_{n + 1}} = 9.{u_n}{\rm{ \ với \ }}n \ge 1.\end{array} \right.\)

c) Ta có:  \(- 19683 = \left( { - 3} \right){.9^{n - 1}} \Leftrightarrow n = 5 .\)

Vậy  - 19683 là số hạng thứ năm.

2. Giải bài 3.28 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11

Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)

\( \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102.\end{array} \right.\)

a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân;

b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069?

c) Số 12288 là số hạng thứ mấy?

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \)

- Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân \({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\( \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}.{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\\{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 3\end{array} \right.\)

Vậy \({u_1} = 3\),q = 2.

b) Ta có:

\({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}} = 3069 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{3\left( {{2^n} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 3069 \\ \Leftrightarrow {2^n} - 1 = 1023 \\ \Leftrightarrow {2^n} = 1024 \\ \Leftrightarrow n = 10\)

Vậy n = 10.

c) Ta có:

\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \\ \Leftrightarrow 12288 = {3.2^{n - 1}} \\ \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = 4096 \\ \Leftrightarrow n - 1 = 12 \\ \Leftrightarrow n = 13\)

Vậy n = 13.

3. Giải bài 3.29 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm số các số hạng của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết

a) \(q = 2,{u_n} = 96,{S_n} = 189\)

b) \( {u_1} = 2,{u_n} = \dfrac{1}{8},{S_n} = \dfrac{{31}}{8} \)

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \)

- Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân \({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 

\({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} \\ \Leftrightarrow 96 = {u_1}{.2^{n - 1}}\)

Lại có: 

\({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}} \\ \Leftrightarrow 189 = \dfrac{{{u_1}\left( {{2^n} - 1} \right)}}{{2 - 1}} \\ \Leftrightarrow 189 = {u_1}\left( {{2^n} - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{189}}{{96}} = \dfrac{{{2^n} - 1}}{{{2^{n - 1}}}} \\ \Leftrightarrow {189.2^{n - 1}} = {96.2^{n - 1}}.2 - 96 \\ \Leftrightarrow {3.2^{n - 1}} = 96 \\ \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = 32 \\ \Leftrightarrow n - 1 = 5 \\ \Leftrightarrow n = 6\)

Vậy n = 6.

b) Ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{8} = 2.{q^{n - 1}}\\\dfrac{{31}}{8} = \dfrac{{2\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{{16}}\\31\left( {q - 1} \right) = 16\left( {q.{q^{n - 1}} - 1} \right)\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{{16}}\\31\left( {q - 1} \right) = 16\left( {\dfrac{1}{{16}}q - 1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{{16}}\\30q = 15\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \dfrac{1}{2}\\n - 1 = 4\end{array} \right. \\ \Rightarrow n = 5\)

Vậy n = 5. 

4. Giải bài 3.30 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right) \), biết

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} - {u_1} = 15\\{u_4} - {u_2} = 6\end{array} \right.\)

b) \( \left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_4} + {u_5} = 10\\{u_3} - {u_5} + {u_6} = 20\end{array} \right. \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^4} - {u_1} = 15\\{u_1}{q^3} - {u_1}q = 6\end{array} \right. hay \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {{q^4} - 1} \right) = 15\\{u_1}\left( {{q^3} - q} \right) = 6.\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Do (1) nên \(q \ne \pm 1\), suy ra \(\dfrac{{15}}{6} = \dfrac{{{q^4} - 1}}{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}} = \dfrac{{{q^2} + 1}}{q}.\)

Biến đổi về phương trình \(2{q^2} - 5q + 2 = 0\).

Giải ra được q = 2 và \(q = \dfrac{1}{2}\).

Nếu q = 2 thì \({u_1} = 1\).

Nếu \(q = \dfrac{1}{2}\) thì \({u_1} = - 16\).

b) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}q - {u_1}{q^3} + {u_1}{q^4} = 10\\{u_1}{q^2} - {u_1}{q^4} + {u_1}{q^5} = 20\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q - {u_1}{q^3} + {u_1}{q^4} = 10\\q\left( {{u_1}q - {u_1}{q^3} + {u_1}{q^4}} \right) = 20\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\2{u_1} - 8{u_1} + 16{u_1} = 10\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 1\end{array} \right.\)

Vậy \({u_1} = 1,q = 2. \)

5. Giải bài 3.31 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11

Bốn số lập thành một cấp số cộng. Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta nhận được một cấp số nhân. Tìm các số đó.

Phương pháp giải:

- Gọi bốn số cần tìm là x, y, z, t .

- Lập hệ phương trình ẩn x, y, z, t và giải hệ.

- Chú ý các tính chất của cấp số cộng: \({u_{k - 1}} + {u_{k + 1}} = 2{u_k}\) và tính chất của cấp số nhân \({u_{k - 1}}.{u_{k + 1}} = u_k^2 \).

Hướng dẫn giải:

Gọi 4 số cần tìm là x, y, z, t ta có :

Cấp số cộng x, y, z, t

Cấp số nhân x - 2, y - 6, z - 7, t - 2.

Ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x + z = 2y\\y + t = 2z\\{\left( {y - 6} \right)^2} = \left( {x - 2} \right)\left( {z - 7} \right)\\{\left( {z - 7} \right)^2} = \left( {y - 6} \right)\left( {t - 2} \right).\end{array} \right.\)

Giải hệ ta được: \(x = 5, y = 12,z = 19,t = 26.\)

6. Giải bài 3.32 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11

Viết bốn số xen giữa các số 5 và 160 để được một cấp số nhân.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

\({u_1} = 5,{u_6} = 160 \\ \Rightarrow 160 = 5.{q^5} \\\Leftrightarrow q = 2\)

Vậy \({u_2} = 10,{u_3} = 20,{u_4} = 40,{u_5} = 80\)

Vậy bốn số cần tìm là 10, 20, 40, 80.

7. Giải bài 3.33 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 4}}{\rm{\ với \ }}n \ge 1.\end{array} \right.\)

a) Lập dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}\). Chứng minh dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là cấp số nhân.

b) Tìm công thức tính \({x_n},{u_n}\) theo n.

Phương pháp giải:

a) Xét tỉ số \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\) và chứng minh \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = q\) không đổi.

b) Từ đó suy ra công thức của số hạng tổng quát \({x_n}\) và suy ra \({u_n} \).

Hướng dẫn giải:

a) Từ giả thiết có

\( {u_{n + 1}}\left( {{u_n} + 4} \right) = 2{u_n} + 3 \) hay \( {u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Lập tỉ số

\(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}} - 1}}{{{u_{n + 1}} + 3}}.\dfrac{{{u_n} + 3}}{{{u_n} - 1}} = \dfrac{{{u_{n + 1}}{u_n} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{{u_{n + 1}}{u_n} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Từ (1) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} = 2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1,}}\) thay vào (2) ta được

\( \dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} \\ = \dfrac{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}} \\ = \dfrac{{{u_n} - {u_{n + 1}}}}{{5\left( {{u_n} - {u_{n + 1}}} \right)}} = \dfrac{1}{5}.\)

Vậy \({x_{n + 1}} = \dfrac{1}{5}{x_n}\), ta có cấp số nhân \(\left( {{x_n}} \right)\) với \(q = \dfrac{1}{5} \) và \({x_1} = - \dfrac{1}{3}\).

b) Ta có \({x_n} = - \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{n - 1}}.\)

Từ đó tìm được

\({u_n} = \dfrac{{3{x_n} - 1}}{{1 - {x_n}}} = \dfrac{{ - {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{n - 1}} - 1}}{{1 + \dfrac{1}{3}{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{n - 1}}}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{n - 1}} + 1}}{{\dfrac{1}{3}{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{n - 1}} + 1}}.\)

8. Giải bài 3.34 trang 132 SBT Đại số & Giải tích 11

Hãy chọn dãy số là cấp số nhân trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau :

A. \({u_n} = \dfrac{{{2^n} - 1}}{{{2^n} + 1}} \)

B. \({u_n} = 3n\)

C. \({u_n} = \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^n}}}{3}\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 1} \, \ với \ \,n \ge 1\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là cấp số nhân nếu \({u_{n + 1}} = q{u_n} \).

Hướng dẫn giải:

Xét đáp án C:

\( \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^{n + 1}}}}{3}:\dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^n}}}{3} = - 3\)

Nên \({u_{n + 1}} = - 3{u_n}\), hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân công bội q = - 3 , số hạng đầu \({u_1} = - 1 \).

Vậy chọn C.

9. Giải bài 3.35 trang 132 SBT Đại số & Giải tích 11

Tổng \({S_n} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n}\) bằng:

A. \({2^{n - 1}} - 1\)        B. \({2^{n + 1}} - 1\)

C. \({2^n} - 1\)           D. \(\dfrac{{\left( {1 + {2^n}} \right)n}}{2}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân \({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {{q^{n - 1}} - 1} \right)}}{{q - 1}} \).

Hướng dẫn giải:

Dãy \(1,2,{2^2},...,{2^n}\) là cấp số nhân gồm n + 1 số hạng với \({u_1} = 1,q = 2 \).

Khi đó \({S_n} = \dfrac{{1\left( {{2^{n + 1}} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = {2^{n + 1}} - 1 \).

Vậy chọn B.

10. Giải bài 3.36 trang 132 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho cấp số nhân \(x, - 3,y, - 27 \). Khi đó:

A. x = - 9,y = 81

B. x = 1,y = 9

C. x = 1,y = - 9

D. x = 9,y = - 15

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của cấp số nhân \(u_k^2 = {u_{k + 1}}.{u_{k - 1}} \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 3} \right)^2} = xy\\{y^2} = \left( { - 3} \right).\left( { - 27} \right)\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 9\\{y^2} = 81\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 9\\x = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = - 9\\x = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Do đó ta có hai cấp số nhân là 1, - 3, 9, - 27 và  - 1, - 3, - 9, - 27 .

Vậy chọn B.

Ngày:20/10/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM