Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân
eLib xin giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 nội dung giải bài tập SBT bài Cấp số nhân bên dưới đây, thông qua tài liệu này các em sẽ hệ thống lại toàn bộ kiến thức đã học, bên cạnh đó các em còn nắm được phương pháp giải bài tập và vận dụng vào giải các bài tập tương tự.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 3.27 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11
2. Giải bài 3.28 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11
3. Giải bài 3.29 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11
4. Giải bài 3.30 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11
5. Giải bài 3.31 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11
6. Giải bài 3.32 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11
7. Giải bài 3.33 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11
8. Giải bài 3.34 trang 132 SBT Đại số & Giải tích 11
Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân
1. Giải bài 3.27 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11
Cho dãy số (un)(un) với un=(−3)2n−1.
a) Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số;
b) Lập công thức truy hồi của dãy số
c) Hỏi số - 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số?
Phương pháp giải:
a) - Dãy số (un) là cấp số nhân thì un+1=qun với q không đổi.
- Xét hiệu un+1−un suy ra tính tăng giảm của dãy số.
b) Sử dụng định nghĩa cấp số nhân un+1=qun.
c) Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát un=u1.qn−1.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
un+1un=(−3)2(n+1)−1(−3)2n−1=(−3)2n+1(−3)2n−1=9
Suy ra (un) là cấp số nhân có u1=−3,q=9.
Xét hiệu
H=un+1−un=(−3)2n+1−(−3)2n−1=(−3)2n[(−3)1−(−3)−1]=9n(−83)<0
Vậy dãy số giảm.
b) Công thức truy hồi {u1=−3un+1=9.un với n≥1.
c) Ta có: −19683=(−3).9n−1⇔n=5.
Vậy - 19683 là số hạng thứ năm.
2. Giải bài 3.28 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11
Cấp số nhân (un) có
{u1+u5=51u2+u6=102.
a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân;
b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069?
c) Số 12288 là số hạng thứ mấy?
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát un=u1.qn−1
- Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân Sn=u1(qn−1)q−1
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
{u1+u5=51u2+u6=102⇔{u1+u1.q4=51u1q+u1q5=102⇔{u1(1+q4)=51u1q(1+q4)=102⇔{q=2u1=3
Vậy u1=3,q = 2.
b) Ta có:
Sn=u1(qn−1)q−1=3069⇔3(2n−1)2−1=3069⇔2n−1=1023⇔2n=1024⇔n=10
Vậy n = 10.
c) Ta có:
un=u1.qn−1⇔12288=3.2n−1⇔2n−1=4096⇔n−1=12⇔n=13
Vậy n = 13.
3. Giải bài 3.29 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11
Tìm số các số hạng của cấp số nhân (un), biết
a) q=2,un=96,Sn=189
b) u1=2,un=18,Sn=318
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát un=u1.qn−1
- Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân Sn=u1(qn−1)q−1
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
un=u1qn−1⇔96=u1.2n−1
Lại có:
Sn=u1(qn−1)q−1⇔189=u1(2n−1)2−1⇔189=u1(2n−1)
⇒18996=2n−12n−1⇔189.2n−1=96.2n−1.2−96⇔3.2n−1=96⇔2n−1=32⇔n−1=5⇔n=6
Vậy n = 6.
b) Ta có hệ:
{18=2.qn−1318=2(qn−1)q−1⇔{qn−1=11631(q−1)=16(q.qn−1−1)⇔{qn−1=11631(q−1)=16(116q−1)
⇔{qn−1=11630q=15⇔{q=12n−1=4⇒n=5
Vậy n = 5.
4. Giải bài 3.30 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết
a) {u5−u1=15u4−u2=6
b) {u2−u4+u5=10u3−u5+u6=20
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát un=u1.qn−1
Hướng dẫn giải:
a) Ta có hệ
{u1q4−u1=15u1q3−u1q=6hay{u1(q4−1)=15u1(q3−q)=6.(1)
Do (1) nên q≠±1, suy ra 156=q4−1q(q2−1)=q2+1q.
Biến đổi về phương trình 2q2−5q+2=0.
Giải ra được q = 2 và q=12.
Nếu q = 2 thì u1=1.
Nếu q=12 thì u1=−16.
b) Ta có:
{u1q−u1q3+u1q4=10u1q2−u1q4+u1q5=20⇔{u1q−u1q3+u1q4=10q(u1q−u1q3+u1q4)=20
⇔{q=22u1−8u1+16u1=10⇔{q=2u1=1
Vậy u1=1,q=2.
5. Giải bài 3.31 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11
Bốn số lập thành một cấp số cộng. Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta nhận được một cấp số nhân. Tìm các số đó.
Phương pháp giải:
- Gọi bốn số cần tìm là x, y, z, t .
- Lập hệ phương trình ẩn x, y, z, t và giải hệ.
- Chú ý các tính chất của cấp số cộng: uk−1+uk+1=2uk và tính chất của cấp số nhân uk−1.uk+1=u2k.
Hướng dẫn giải:
Gọi 4 số cần tìm là x, y, z, t ta có :
Cấp số cộng x, y, z, t
Cấp số nhân x - 2, y - 6, z - 7, t - 2.
Ta có hệ
{x+z=2yy+t=2z(y−6)2=(x−2)(z−7)(z−7)2=(y−6)(t−2).
Giải hệ ta được: x=5,y=12,z=19,t=26.
6. Giải bài 3.32 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11
Viết bốn số xen giữa các số 5 và 160 để được một cấp số nhân.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức un=u1qn−1
Hướng dẫn giải:
Ta có:
u1=5,u6=160⇒160=5.q5⇔q=2
Vậy u2=10,u3=20,u4=40,u5=80
Vậy bốn số cần tìm là 10, 20, 40, 80.
7. Giải bài 3.33 trang 131 SBT Đại số & Giải tích 11
Cho dãy số (un):{u1=0un+1=2un+3un+4 với n≥1.
a) Lập dãy số (xn) với xn=un−1un+3. Chứng minh dãy số (xn) là cấp số nhân.
b) Tìm công thức tính xn,un theo n.
Phương pháp giải:
a) Xét tỉ số xn+1xn và chứng minh xn+1xn=q không đổi.
b) Từ đó suy ra công thức của số hạng tổng quát xn và suy ra un.
Hướng dẫn giải:
a) Từ giả thiết có
un+1(un+4)=2un+3 hay un+1.un+4un+1=2un+3(1)
Lập tỉ số
xn+1xn=un+1−1un+1+3.un+3un−1=un+1un+3un+1−un−3un+1un−un+1+3un−3(2)
Từ (1) suy ra un+1.un=2un+3−4un+1, thay vào (2) ta được
xn+1xn=2un+3−4un+1+3un+1−un−32un+3−4un+1−un+1+3un−3=un−un+15(un−un+1)=15.
Vậy xn+1=15xn, ta có cấp số nhân (xn) với q=15 và x1=−13.
b) Ta có xn=−13(15)n−1.
Từ đó tìm được
un=3xn−11−xn=−(15)n−1−11+13(15)n−1=(15)n−1+113(15)n−1+1.
8. Giải bài 3.34 trang 132 SBT Đại số & Giải tích 11
Hãy chọn dãy số là cấp số nhân trong các dãy số (un) sau :
A. un=2n−12n+1
B. un=3n
C. un=(−3)n3
D. {u1=1un+1=√u2n+1 với n≥1
Phương pháp giải:
Dãy số (un) được gọi là cấp số nhân nếu un+1=qun.
Hướng dẫn giải:
Xét đáp án C:
un+1un=(−3)n+13:(−3)n3=−3
Nên un+1=−3un, hay (un) là cấp số nhân công bội q = - 3 , số hạng đầu u1=−1.
Vậy chọn C.
9. Giải bài 3.35 trang 132 SBT Đại số & Giải tích 11
Tổng Sn=1+2+22+...+2n bằng:
A. 2n−1−1 B. 2n+1−1
C. 2n−1 D. (1+2n)n2
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân Sn=u1(qn−1−1)q−1.
Hướng dẫn giải:
Dãy 1,2,22,...,2n là cấp số nhân gồm n + 1 số hạng với u1=1,q=2.
Khi đó Sn=1(2n+1−1)2−1=2n+1−1.
Vậy chọn B.
10. Giải bài 3.36 trang 132 SBT Đại số & Giải tích 11
Cho cấp số nhân x,−3,y,−27. Khi đó:
A. x = - 9,y = 81
B. x = 1,y = 9
C. x = 1,y = - 9
D. x = 9,y = - 15
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất của cấp số nhân u2k=uk+1.uk−1.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
{(−3)2=xyy2=(−3).(−27)⇔{xy=9y2=81⇔[{y=9x=1{y=−9x=−1
Do đó ta có hai cấp số nhân là 1, - 3, 9, - 27 và - 1, - 3, - 9, - 27 .
Vậy chọn B.