Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

eLib xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh nội dung giải bài tập SBT môn Hình học 11 bên dưới đây, tài liệu cung cấp cho các em hệ thống 8 bài tập trang 138, 139 với đầy đủ phương pháp và hướng dẫn giải giúp các em ôn tập và hệ thống lại toàn bộ kiến thức đã học trong bài Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng. Mời các em tham khảo!

Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

1. Giải bài 3.8 trang 138 SBT Hình học 11

Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: \( \overrightarrow {G{\rm{D}}}.\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {G{\rm{D}}}.\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {G{\rm{D}}}.\overrightarrow {GC} = 0\)

Phương pháp giải:

Đặt nhân tử chung và sử dụng công thức: G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\( \eqalign{ & \overrightarrow {G{\rm{D}}}.\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD}.\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD}.\overrightarrow {GC} \cr & = \overrightarrow {GD}.\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) \cr & = \overrightarrow {GD}.\overrightarrow 0 = 0 \cr}\)

(Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \))

2. Giải bài 3.9 trang 138 SBT Hình học 11

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AD và có MN = PQ. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Phương pháp giải:

Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\)

Hướng dẫn giải:

Ta cần chứng minh \(\displaystyle \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\)

Đặt \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \overrightarrow b,\,\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c,\,\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow d\). Ta có:

\( \displaystyle \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} \displaystyle = - {1 \over 2}\overrightarrow {AC} + {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\)

Suy ra \(\displaystyle \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow d - \overrightarrow c } \right) \)

\(\displaystyle \eqalign{ & \overrightarrow {QP} = \overrightarrow {QA} + \overrightarrow {AP} \cr & = - {1 \over 2}\overrightarrow {A{\rm{D}}} + {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c - \overrightarrow d } \right) \cr}\)

Theo giả thiết ta có: \( \displaystyle MN = PQ \Leftrightarrow {\overrightarrow {MN} ^2} = {\overrightarrow {QP} ^2}\)

\( \displaystyle \eqalign{ & {\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow d - \overrightarrow c } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c - \overrightarrow d } \right)^2} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow b.\overrightarrow d - \overrightarrow b.\overrightarrow c = \overrightarrow b.\overrightarrow c - \overrightarrow b.\overrightarrow d \cr & \Leftrightarrow 2\overrightarrow b.\overrightarrow d - 2\overrightarrow b.\overrightarrow c = 0 \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow b.\left( {\overrightarrow d - \overrightarrow c } \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}.\left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}} - \overrightarrow {AC} } \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {C{\rm{D}}} \cr}\)

Vậy AB ⊥ CD.

3. Giải bài 3.10 trang 138 SBT Hình học 11

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và \(BC = a\sqrt 2\). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \)\(\overrightarrow {SC}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\displaystyle \cos \left( {\overrightarrow {SC},\overrightarrow {AB} } \right) = {{\overrightarrow {SC}.\overrightarrow {AB} } \over {\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}}\) → \(\left( {\overrightarrow {SC},\overrightarrow {AB} } \right) \)

Hướng dẫn giải:

Ta tính côsin của góc giữa hai vectơ \(\displaystyle \overrightarrow {SC} \)\(\displaystyle \overrightarrow {AB}\). Ta có

\( \displaystyle \eqalign{ & \cos \left( {\overrightarrow {SC},\overrightarrow {AB} } \right) = {{\overrightarrow {SC}.\overrightarrow {AB} } \over {\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} \cr & = {{\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AB} } \over {{a^2}}} \cr & = {{\overrightarrow {SA}.\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB} } \over {{a^2}}} \cr} \)

Theo giả thiết ta suy ra hình chóp có các tam giác đều là SAB, SAC và các tam giác vuông là ABC vuông tại A và SBC vuông tại S.

Do đó \(\displaystyle \overrightarrow {SA}.\overrightarrow {AB} = a.a.\cos 120^\circ = - {{{a^2}} \over 2}\) và \(\displaystyle \overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB} = 0\)

Vậy \(\displaystyle \cos \left( {\overrightarrow {SC},\overrightarrow {AB} } \right) = {{ - {{{a^2}} \over 2} + 0} \over {{a^2}}} = - {1 \over 2}\)

Hay \(\displaystyle \left( {\overrightarrow {SC},\overrightarrow {AB} } \right) = {120^0}\)

Vậy góc giữa hai vectơ \(\displaystyle \overrightarrow {AB} \) và \(\displaystyle \overrightarrow {SC} \) bằng 120°.

4. Giải bài 3.11 trang 139 SBT Hình học 11

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và \(BC = a\sqrt 2\). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \( \cos \left( {\overrightarrow {SC},\overrightarrow {AB} } \right) = {{\overrightarrow {SC}.\overrightarrow {AB} } \over {\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}}\) → \(\left( {\overrightarrow {SC},\overrightarrow {AB} } \right)\)

Hướng dẫn giải:

- Cách thứ nhất

Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A nên \(\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB} = 0\) và tam giác SAB đều nên \(\left( {\overrightarrow {SA},\overrightarrow {AB} } \right) = {120^0}.\)

\( \eqalign{ & \overrightarrow {SC}.\overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AB} \cr & = \overrightarrow {SA}.\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB} \cr & \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos 120^\circ = - {{{a^2}} \over 2} \cr & \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {SC},\overrightarrow {AB} } \right) = {{\overrightarrow {SC}.\overrightarrow {AB} } \over {\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} \cr & = {{ - {{{a^2}} \over 2}} \over {{a^2}}} = - {1 \over 2} \cr}\)

Do đó góc giữa hai đường thẳng SC và  AB bằng 60°.

- Cách thứ hai

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, AC. Để tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB, ta cần tính \(\widehat {NMP}\).

Ta có

\( NB = MP = {a \over 2},S{P^2} = {{3{a^2}} \over 4},B{P^2} = {{5{a^2}} \over 4} \\P{B^2} + S{P^2} = 2N{P^2} + {{S{B^2}} \over 2} \Rightarrow N{P^2} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 4}\)

Mặt khác:

\( N{P^2} = N{M^2} + M{P^2} - 2MN.MP\cos \widehat {NMP} \\ \Rightarrow \cos \widehat {NMP} = - {{{{{a^2}} \over 4}} \over {2.{a \over 2}.{a \over 2}}} = - {1 \over 2} \Rightarrow \widehat {NMP} = {120^0}\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60°.

5. Giải bài 3.12 trang 139 SBT Hình học 11

Chứng minh rằng một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Phương pháp giải:

Chứng minh góc giữa hai đường thẳng bằng 90o.

Hướng dẫn giải:

Giả sử a // b và c \(\bot\) a. Lấy điểm O bất kì trên c, kẻ a' // a qua O suy ra \(\widehat {cOa'} = {90^0}.\)

Dễ thấy a' // b nên \(\widehat {cOa'}\) chính là góc giữa hai đường thẳng c và b, do đó c \(\bot\) b.

6. Giải bài 3.13 trang 139 SBT Hình học 11

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau (hình hộp như vậy còn được gọi là hình hộp thoi). Chứng minh rằng AC ⊥ B’D’.

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả bài 3.12: "Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia"

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết suy ra tứ giác ABCD là hình thoi, do đó AC ⊥ BD

Dễ thấy mặt chéo BDD’B’ của hình hộp đã cho là hình bình hành, do đó BD // B'D'.

Từ đó, theo bài 3.12 suy ra AC ⊥ B’D’.

7. Giải bài 3.14 trang 139 SBT Hình học 11

Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và \(\widehat {ABC} = \widehat {B'BA} = \widehat {B'BC} = {60^0}\). Chứng minh tứ giác A’B’CD là hình vuông.

Phương pháp giải:

Chứng minh A'B'CD là hình thoi có 1 góc vuông.

Hướng dẫn giải:

Trước hết dễ thấy tứ giác A’B’CD là hình bình hành, ngoài ra B'C = a = CD nên nó là hình thoi.

Ta chứng minh hình thoi A’B’CD là hình vuông. Ta có:

\( \eqalign{ & \overrightarrow {CB'}.\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BB'} } \right).\overrightarrow {BA} \cr & = \overrightarrow {CB}.\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BB'}.\overrightarrow {BA} \cr & = - {{{a^2}} \over 2} + {{{a^2}} \over 2} = 0 \cr} \)

Vậy tứ giác A’B’CD là hình vuông.

8. Giải bài 3.15 trang 139 SBT Hình học 11

Cho tứ diện ABCD trong đó \(AB \bot AC,AB \bot B{\rm{D}}\). Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau.

Phương pháp giải:

Kiểm tra tích vô hướng \(\overrightarrow {PQ}.\overrightarrow {AB}=0\) và kết luận.

Hướng dẫn giải:

\( \eqalign{ & \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CQ} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr & \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} + \overrightarrow {DQ} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr}\)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có:

\( 2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} \)

Suy ra \(2\overrightarrow {PQ}.\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{\rm{D}}}.\overrightarrow {AB} = 0\)

Hay \(\overrightarrow {PQ}.\overrightarrow {AB} = 0\), tức là PQ \(\bot\) AB.

Ngày:23/10/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM