Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 2: Dãy số

Viết 5 số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số \( \left( {{u_n}} \right)\), biết

a) \({u_n} = {10^{1 - 2n}}\)

b) \( {u_n} = {3^n} - 7 \)

c) \( {u_n} = \dfrac{{2n + 1}}{{{n^2}}} \)

d) \( {u_n} = \dfrac{{{3^n}\sqrt n }}{{{2^n}}}. \)

Phương pháp giải:

- Thay các giá trị n = 1,...,5 và tính giá trị của \({u_n} \).

- Để xét tính tăng giảm của dãy số ta có thể xét 1 trong hai cách:

+ Cách 1: Xét tỉ số \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) rồi so sánh với 1 .

+ Cách 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và so sánh với 0 .

Hướng dẫn giải:

a) Ta có 5 số hạng đầu là: \(\dfrac{1}{{10}},\dfrac{1}{{{{10}^3}}},\dfrac{1}{{{{10}^5}}},\dfrac{1}{{{{10}^7}}},\dfrac{1}{{{{10}^9}}}\).

Dự đoán dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm.

Để chứng minh, ta xét tỉ số \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{10}^{1 - 2\left( {n + 1} \right)}}}}{{{{10}^{1 - 2n}}}} = \dfrac{1}{{{{10}^2}}} < 1\).

Vậy dãy số giảm.

b) Ta có 5 số hạng đầu là  \(- 4,2,20,74,236\).

Xét dấu của hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = {3^{n + 1}} - 7 - {3^n} + 7 = {3^{n + 1}} - {3^n} > 0\)

Vậy dãy số tăng.

c) Ta có 5 số hạng đầu là \(3,\dfrac{3}{4},\dfrac{3}{9},\dfrac{3}{{16}},\dfrac{3}{{25}}\).

Xét hiệu:

 \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{2}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}} \\= \left( {\dfrac{2}{{n + 1}} - \dfrac{2}{n}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right) \\= \dfrac{{ - 2}}{{n\left( {n + 1} \right)}} + \dfrac{{ - 2n - 1}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} < 0\)

Vậy dãy số giảm.

d) Ta có 5 số hạng đầu là \(\dfrac{3}{2},\dfrac{{9\sqrt 2 }}{4},\dfrac{{27\sqrt 3 }}{8},\dfrac{{81\sqrt 4 }}{{16}},\dfrac{{243\sqrt 5 }}{{32}}\).

Xét thương: 

\(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{3^{n + 1}}\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}:\dfrac{{{3^n}\sqrt n }}{{{2^n}}} \\ = \dfrac{{{3^{n + 1}}\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{{{3^n}\sqrt n }} \\ = \dfrac{{3\sqrt {n + 1} }}{{2\sqrt n }} > 1\)

Vậy dãy số tăng.

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ?

a) \({u_n} = 2n - {n^2};\)

b) \({u_n} = n + \dfrac{1}{n} ;\)

c) \( {u_n} = \sqrt {{n^2} - 4n + 7} ;\)

d) \( {u_n} = \dfrac{1}{{{n^2} - 6n + 11}} .\)

Phương pháp giải:

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

\( {u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\)

Dãy số ​\(\left( {{u_n}} \right)\)​ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

\( {u_n} \ge m,\forall n \in {N^*}\)

Dãy số ​\(\left( {{u_n}} \right)\)​ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số M,m sao cho

\( m \le {u_n} \le M,\forall n \in {N^*}\)

Hướng dẫn giải:

a) Bị chặn trên vì:

\( {\left( {n - 1} \right)^2} = {n^2} - 2n + 1 \ge 0 \)

\(\Leftrightarrow 1 \ge 2n - {n^2}\)

hay \({u_n} \le 1,\forall n \in N^*. \)

b) Bị chặn dưới vì

\(n + \dfrac{1}{n} \ge 2\sqrt {n.\dfrac{1}{n}} = 2 \) hay \( {u_n} \ge 2,\forall n \in N^*\)

c) Bị chặn dưới vì

\({u_n} = \sqrt {{n^2} - 4n + 4 + 3} = \sqrt {{{\left( {n - 2} \right)}^2} + 3} \ge \sqrt 3 \) hay \({u_n} \ge \sqrt 3 ,\forall n \in N^*.\)

d) Bị chặn vì

\({n^2} - 6n + 11 = {\left( {n - 3} \right)^2} + 2 > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{{{n^2} - 6n + 11}} > 0\)

Lại có \({n^2} - 6n + 11 = {\left( {n - 3} \right)^2} + 2 \ge 2 \Rightarrow \dfrac{1}{{{n^2} - 6n + 11}} \le \dfrac{1}{2}\)

Do đó \(0 < {u_n} \le \dfrac{1}{2},\forall n \in N^*\).

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2{\rm{ \ với \ }} n\ge {\rm{1}}{\rm{.}}\end{array} \right.\)

a) Tìm công thức tính \({u_n}\) theo n;

b) Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng

Phương pháp giải:

a) - Tính \(u_2,u_3,...,u_{n+1} \)

- Cộng vế với vế các đẳng thức, từ đó suy ra công thức tính \(u_{n+1}\) theo n .

b) Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và suy ra kết luận.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\( \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_2} = {u_1} + 1\\{u_3} = {u_2} + 4\\{u_4} = {u_3} + 7\\{u_5} = {u_4} + 10\\...\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2\end{array}\)

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:

\( {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + {u_{n + 1}} \\= 5 + \left( {{u_1} + 1} \right) + \left( {{u_2} + 4} \right) + ... + \left( {{u_n} + 3n - 2} \right) \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = 5 + 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)\)

Ta chứng minh \(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2} \) bằng quy nạp.

Đặt \({S_n} = 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)\)

+) Với n = 1 thì \({S_1} = 1\) đúng.

+) Giả sử \({S_k} = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2} \), ta chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2} \).

Thật vậy,

\( {S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 2 \\= \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2} + 3k + 1 \\= \dfrac{{3{k^2} - k + 6k + 2}}{2} \\= \dfrac{{3{k^2} + 5k + 2}}{2} \\= \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\)

Do đó ta được \(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\)

Vậy \({u_{n + 1}} = 5 + \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\) hay \({u_n} = 5 + \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}\).

b) Xét hiệu

\({u_{n + 1}} - {u_n} \\= 5 + \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2} - 5 - \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2} \\= \dfrac{{3{n^2} - n - 3{n^2} + 3n + 4n - 4}}{2} \\= \dfrac{{6n - 4}}{2} > 0,\forall n .\)

Vậy dãy số đã cho tăng.

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right) \ với \ {u_n} = {n^2} - 4n + 3\).

a) Viết công thức truy hồi của dãy số;

b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới;

c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.

Phương pháp giải:

a) Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và suy ra công thức truy hồi.

b) Đánh giá \({u_n} \ge m,\forall n\) suy ra dãy số bị chặn dưới.

c) Nhóm các tổng thích hợp và sử dụng các tổng quen thuộc thu gọn tổng \({S_n} \).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có \({u_1} = 0\).

Xét hiệu

\({u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} - 4\left( {n + 1} \right) + 3 - {n^2} + 4n - 3 = 2n - 3\).

Vậy công thức truy hồi là \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0.\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 3{\rm{ \ với \ }}n \ge 1.\end{array} \right. \)

b) \( {u_n} = {n^2} - 4n + 3 = {\left( {n - 2} \right)^2} - 1 \ge - 1. \)

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.

c) Ta có

\( {S_n} = 1 + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} - 4\left( {1 + 2 + ... + n} \right) + 3n \\ {\rm{ = }}\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} - 4.\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} + 3n \\ {\rm{ = }}\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right) - 12n\left( {n + 1} \right) + 18n}}{6} \\ {\rm{ = }}\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n - 11} \right) + 18n}}{6}. \)

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right) \) với \(\left( {{u_n}} \right) = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Tìm công thức truy hồi;

c) Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Phương pháp giải:

a) Cho n nhận lần lượt các giá trị 1, 2, 3, 4, 5 suy ra 5 số hạng đầu.

b) Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và suy ra công thức truy hồi.

c) Xét dấu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và kết luận.

Hướng dẫn giải:

a) ​Ta có:

\(u_1= 1 + \left( {1 - 1} \right){.2^1}=1\)​

\(u_2 = 1 + \left( {2 - 1} \right){.2^2}=5\)

\(u_3 = 1 + \left( {3 - 1} \right){.2^3}=17\)

\(u_4 = 1 + \left( {4 - 1} \right){.2^4}=49\)

\(u_5 = 1 + \left( {5 - 1} \right){.2^5}=129\)

b) Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} \\ = 1 + n{.2^{n + 1}} - 1 - \left( {n - 1} \right){2^n} \\ = 2n{.2^n} - \left( {n - 1} \right){2^n} \\= {2^n}\left( {n + 1} \right) \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + {2^n}\left( {n + 1} \right) \)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right){2^n}{\rm{\ với \ }}n \ge 1.\end{array} \right. \)

c) Dễ thấy \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right){.2^n} > 0\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Do đó \({u_n} \ge {u_1} = 1,\forall n\) nên dãy đã cho bị chặn dưới.

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn điều kiện: Với mọi \(n \in N^*\) thì \(0 < {u_n} < 1 \) và \( {u_{n + 1}} < 1 - \dfrac{1}{{4{u_n}}}\)

Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.

Phương pháp giải:

Chứng minh \({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)\) và suy ra điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải:

Vì \(0 < {u_n} < 1\) với mọi n nên \(1 - {u_{n + 1}} > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có \({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) \le \dfrac{1}{4}\).

Mặt khác, từ giả thiết

\( {u_{n + 1}} < 1 - \dfrac{1}{{4{u_n}}} \) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} < {u_n} - \dfrac{1}{4} \) hay \( \dfrac{1}{4} < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right).\)

So sánh (1) và (2) ta có: \({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)\) hay \({u_{n + 1}} < {u_n}\). 

Vậy dãy số đã cho là dãy giảm.

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 1\,\ với\ \,n \ge 1\end{array} \right. \). Số hạng \({u_4}\) là:

A. \({u_3} + 7\)             B. 10

C. 12                   D. \({u_3} + 5\)

Phương pháp giải:

Tính các số hạng \({u_2},{u_3}\) và suy ra \({u_4} \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({u_2} = {u_1} + 1 = 1 + 1 = 2 \\ {u_3} = {u_2} + 3 = 2 + 3 = 5 \\ {u_4} = {u_3} + 5 = 5 + 5 = 10\)

Chọn B.

Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau:

A. \({u_n} = {n^2} + n - 1 \)   

B. \({u_n} = {3^n}\)

C. \({u_n} = \sin n + \cos n\)

D. \({u_n} = - 3{n^2} + 1\)

Phương pháp giải:

Đánh giá số hạng tổng quát của từng dãy số và nhận xét.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A: Dãy số không bị chặn trên vì hàm số bậc hai có hệ số a = 1 > 0 nên không có số M nào để \({u_n} \le M,\forall n \).

Đáp án B: Dễ thấy \({3^n} > 0\) nhưng không có số M nào để \({3^n} \le M \).

Đáp án C: Ta có: \(\sin n + \cos n = \sqrt 2 \sin \left( {n + \dfrac{\pi }{4}} \right) \).

Mà \(- 1 \le \sin \left( {n + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1 \) nên \( - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {n + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \).

Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Đáp án D: Hàm số bậc hai có hệ số a < 0 thì không có số m nào để \({u_n} \ge m,\forall n \).

Chọn C.

Hãy chọn dãy số tăng trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau:

A. \({u_n} = - 3n + 1\)    B. \({u_n} = - 2{n^2} + n\)

C. \({u_n} = n + \dfrac{1}{n}\)       D. \({u_n} = \cos n + 1\)

Phương pháp giải:

Xét tính tăng giảm của mỗi dãy số bằng cách xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) hoặc thương \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án A:

Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = - 3\left( {n + 1} \right) + 1 + 3n - 1 = - 3 < 0\) nên dãy số giảm.

Đáp án B:

Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = - 2{\left( {n + 1} \right)^2} + \left( {n + 1} \right) + 2{n^2} - n = - 4n - 1 < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên dãy số giảm.

Đáp án C:

Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} \\= n + 1 + \dfrac{1}{{n + 1}} - n - \dfrac{1}{n} \\= 1 + \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{n} \\= \dfrac{{n\left( {n + 1} \right) + n - n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} \\ = \dfrac{{{n^2} + n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Do đó dãy số đã cho tăng.

Chọn C.