Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 2: Dãy số

Viết 5 số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết

a) ${u_n} = {10^{1 - 2n}}$

b) ${u_n} = {3^n} - 7$

c) ${u_n} = \dfrac{{2n + 1}}{{{n^2}}}$

d) ${u_n} = \dfrac{{{3^n}\sqrt n }}{{{2^n}}}.$

Phương pháp giải:

- Thay các giá trị n = 1,...,5 và tính giá trị của ${u_n}$.

- Để xét tính tăng giảm của dãy số ta có thể xét 1 trong hai cách:

+ Cách 1: Xét tỉ số $\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ rồi so sánh với 1 .

+ Cách 2: Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$ và so sánh với 0 .

Hướng dẫn giải:

a) Ta có 5 số hạng đầu là: $\dfrac{1}{{10}},\dfrac{1}{{{{10}^3}}},\dfrac{1}{{{{10}^5}}},\dfrac{1}{{{{10}^7}}},\dfrac{1}{{{{10}^9}}}$.

Dự đoán dãy $\left( {{u_n}} \right)$ giảm.

Để chứng minh, ta xét tỉ số $\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{10}^{1 - 2\left( {n + 1} \right)}}}}{{{{10}^{1 - 2n}}}} = \dfrac{1}{{{{10}^2}}} < 1$.

Vậy dãy số giảm.

b) Ta có 5 số hạng đầu là  $- 4,2,20,74,236$.

Xét dấu của hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = {3^{n + 1}} - 7 - {3^n} + 7 = {3^{n + 1}} - {3^n} > 0$

Vậy dãy số tăng.

c) Ta có 5 số hạng đầu là $3,\dfrac{3}{4},\dfrac{3}{9},\dfrac{3}{{16}},\dfrac{3}{{25}}$.

Xét hiệu:

 ${u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{2}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}} \\= \left( {\dfrac{2}{{n + 1}} - \dfrac{2}{n}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right) \\= \dfrac{{ - 2}}{{n\left( {n + 1} \right)}} + \dfrac{{ - 2n - 1}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} < 0$

Vậy dãy số giảm.

d) Ta có 5 số hạng đầu là $\dfrac{3}{2},\dfrac{{9\sqrt 2 }}{4},\dfrac{{27\sqrt 3 }}{8},\dfrac{{81\sqrt 4 }}{{16}},\dfrac{{243\sqrt 5 }}{{32}}$.

Xét thương: 

$\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{3^{n + 1}}\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}:\dfrac{{{3^n}\sqrt n }}{{{2^n}}} \\ = \dfrac{{{3^{n + 1}}\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{{{3^n}\sqrt n }} \\ = \dfrac{{3\sqrt {n + 1} }}{{2\sqrt n }} > 1$

Vậy dãy số tăng.

Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ?

a) ${u_n} = 2n - {n^2};$

b) ${u_n} = n + \dfrac{1}{n} ;$

c) ${u_n} = \sqrt {{n^2} - 4n + 7} ;$

d) ${u_n} = \dfrac{1}{{{n^2} - 6n + 11}} .$

Phương pháp giải:

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

${u_n} \le M,\forall n \in {N^*}$

Dãy số ​$\left( {{u_n}} \right)$​ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

${u_n} \ge m,\forall n \in {N^*}$

Dãy số ​$\left( {{u_n}} \right)$​ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số M,m sao cho

$m \le {u_n} \le M,\forall n \in {N^*}$

Hướng dẫn giải:

a) Bị chặn trên vì:

${\left( {n - 1} \right)^2} = {n^2} - 2n + 1 \ge 0$

$\Leftrightarrow 1 \ge 2n - {n^2}$

hay ${u_n} \le 1,\forall n \in N^*.$

b) Bị chặn dưới vì

$n + \dfrac{1}{n} \ge 2\sqrt {n.\dfrac{1}{n}} = 2$ hay ${u_n} \ge 2,\forall n \in N^*$

c) Bị chặn dưới vì

${u_n} = \sqrt {{n^2} - 4n + 4 + 3} = \sqrt {{{\left( {n - 2} \right)}^2} + 3} \ge \sqrt 3$ hay ${u_n} \ge \sqrt 3 ,\forall n \in N^*.$

d) Bị chặn vì

${n^2} - 6n + 11 = {\left( {n - 3} \right)^2} + 2 > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{{{n^2} - 6n + 11}} > 0$

Lại có ${n^2} - 6n + 11 = {\left( {n - 3} \right)^2} + 2 \ge 2 \Rightarrow \dfrac{1}{{{n^2} - 6n + 11}} \le \dfrac{1}{2}$

Do đó $0 < {u_n} \le \dfrac{1}{2},\forall n \in N^*$.

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2{\rm{ \ với \ }} n\ge {\rm{1}}{\rm{.}}\end{array} \right.$

a) Tìm công thức tính ${u_n}$ theo n;

b) Chứng minh $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng

Phương pháp giải:

a) - Tính $u_2,u_3,...,u_{n+1}$

- Cộng vế với vế các đẳng thức, từ đó suy ra công thức tính $u_{n+1}$ theo n .

b) Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$ và suy ra kết luận.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_2} = {u_1} + 1\\{u_3} = {u_2} + 4\\{u_4} = {u_3} + 7\\{u_5} = {u_4} + 10\\...\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2\end{array}$

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:

${u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + {u_{n + 1}} \\= 5 + \left( {{u_1} + 1} \right) + \left( {{u_2} + 4} \right) + ... + \left( {{u_n} + 3n - 2} \right) \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = 5 + 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)$

Ta chứng minh $1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}$ bằng quy nạp.

Đặt ${S_n} = 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)$

+) Với n = 1 thì ${S_1} = 1$ đúng.

+) Giả sử ${S_k} = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2}$, ta chứng minh ${S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}$.

Thật vậy,

${S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 2 \\= \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2} + 3k + 1 \\= \dfrac{{3{k^2} - k + 6k + 2}}{2} \\= \dfrac{{3{k^2} + 5k + 2}}{2} \\= \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}$

Do đó ta được $1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}$

Vậy ${u_{n + 1}} = 5 + \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}$ hay ${u_n} = 5 + \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}$.

b) Xét hiệu

${u_{n + 1}} - {u_n} \\= 5 + \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2} - 5 - \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2} \\= \dfrac{{3{n^2} - n - 3{n^2} + 3n + 4n - 4}}{2} \\= \dfrac{{6n - 4}}{2} > 0,\forall n .$

Vậy dãy số đã cho tăng.

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right) \ với \ {u_n} = {n^2} - 4n + 3$.

a) Viết công thức truy hồi của dãy số;

b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới;

c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.

Phương pháp giải:

a) Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$ và suy ra công thức truy hồi.

b) Đánh giá ${u_n} \ge m,\forall n$ suy ra dãy số bị chặn dưới.

c) Nhóm các tổng thích hợp và sử dụng các tổng quen thuộc thu gọn tổng ${S_n}$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có ${u_1} = 0$.

Xét hiệu

${u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} - 4\left( {n + 1} \right) + 3 - {n^2} + 4n - 3 = 2n - 3$.

Vậy công thức truy hồi là $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0.\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 3{\rm{ \ với \ }}n \ge 1.\end{array} \right.$

b) ${u_n} = {n^2} - 4n + 3 = {\left( {n - 2} \right)^2} - 1 \ge - 1.$

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới.

c) Ta có

${S_n} = 1 + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} - 4\left( {1 + 2 + ... + n} \right) + 3n \\ {\rm{ = }}\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} - 4.\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} + 3n \\ {\rm{ = }}\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right) - 12n\left( {n + 1} \right) + 18n}}{6} \\ {\rm{ = }}\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n - 11} \right) + 18n}}{6}.$

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với $\left( {{u_n}} \right) = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}$.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Tìm công thức truy hồi;

c) Chứng minh $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Phương pháp giải:

a) Cho n nhận lần lượt các giá trị 1, 2, 3, 4, 5 suy ra 5 số hạng đầu.

b) Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$ và suy ra công thức truy hồi.

c) Xét dấu ${u_{n + 1}} - {u_n}$ và kết luận.

Hướng dẫn giải:

a) ​Ta có:

$u_1= 1 + \left( {1 - 1} \right){.2^1}=1$​

$u_2 = 1 + \left( {2 - 1} \right){.2^2}=5$

$u_3 = 1 + \left( {3 - 1} \right){.2^3}=17$

$u_4 = 1 + \left( {4 - 1} \right){.2^4}=49$

$u_5 = 1 + \left( {5 - 1} \right){.2^5}=129$

b) Ta có:

${u_{n + 1}} - {u_n} \\ = 1 + n{.2^{n + 1}} - 1 - \left( {n - 1} \right){2^n} \\ = 2n{.2^n} - \left( {n - 1} \right){2^n} \\= {2^n}\left( {n + 1} \right) \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + {2^n}\left( {n + 1} \right)$

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right){2^n}{\rm{\ với \ }}n \ge 1.\end{array} \right.$

c) Dễ thấy ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right){.2^n} > 0$ nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Do đó ${u_n} \ge {u_1} = 1,\forall n$ nên dãy đã cho bị chặn dưới.

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thoả mãn điều kiện: Với mọi $n \in N^*$ thì $0 < {u_n} < 1$ và ${u_{n + 1}} < 1 - \dfrac{1}{{4{u_n}}}$

Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.

Phương pháp giải:

Chứng minh ${u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)$ và suy ra điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải:

Vì $0 < {u_n} < 1$ với mọi n nên $1 - {u_{n + 1}} > 0$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có ${u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) \le \dfrac{1}{4}$.

Mặt khác, từ giả thiết

${u_{n + 1}} < 1 - \dfrac{1}{{4{u_n}}}$ suy ra ${u_{n + 1}}.{u_n} < {u_n} - \dfrac{1}{4}$ hay $\dfrac{1}{4} < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right).$

So sánh (1) và (2) ta có: ${u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)$ hay ${u_{n + 1}} < {u_n}$. 

Vậy dãy số đã cho là dãy giảm.

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi công thức $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 1\,\ với\ \,n \ge 1\end{array} \right.$. Số hạng ${u_4}$ là:

A. ${u_3} + 7$             B. 10

C. 12                   D. ${u_3} + 5$

Phương pháp giải:

Tính các số hạng ${u_2},{u_3}$ và suy ra ${u_4}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${u_2} = {u_1} + 1 = 1 + 1 = 2 \\ {u_3} = {u_2} + 3 = 2 + 3 = 5 \\ {u_4} = {u_3} + 5 = 5 + 5 = 10$

Chọn B.

Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau:

A. ${u_n} = {n^2} + n - 1$   

B. ${u_n} = {3^n}$

C. ${u_n} = \sin n + \cos n$

D. ${u_n} = - 3{n^2} + 1$

Phương pháp giải:

Đánh giá số hạng tổng quát của từng dãy số và nhận xét.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A: Dãy số không bị chặn trên vì hàm số bậc hai có hệ số a = 1 > 0 nên không có số M nào để ${u_n} \le M,\forall n$.

Đáp án B: Dễ thấy ${3^n} > 0$ nhưng không có số M nào để ${3^n} \le M$.

Đáp án C: Ta có: $\sin n + \cos n = \sqrt 2 \sin \left( {n + \dfrac{\pi }{4}} \right)$.

Mà $- 1 \le \sin \left( {n + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1$ nên $- \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {n + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2$.

Do đó dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn.

Đáp án D: Hàm số bậc hai có hệ số a < 0 thì không có số m nào để ${u_n} \ge m,\forall n$.

Chọn C.

Hãy chọn dãy số tăng trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau:

A. ${u_n} = - 3n + 1$    B. ${u_n} = - 2{n^2} + n$

C. ${u_n} = n + \dfrac{1}{n}$       D. ${u_n} = \cos n + 1$

Phương pháp giải:

Xét tính tăng giảm của mỗi dãy số bằng cách xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$ hoặc thương $\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A:

Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = - 3\left( {n + 1} \right) + 1 + 3n - 1 = - 3 < 0$ nên dãy số giảm.

Đáp án B:

Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = - 2{\left( {n + 1} \right)^2} + \left( {n + 1} \right) + 2{n^2} - n = - 4n - 1 < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ nên dãy số giảm.

Đáp án C:

Ta có:

${u_{n + 1}} - {u_n} \\= n + 1 + \dfrac{1}{{n + 1}} - n - \dfrac{1}{n} \\= 1 + \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{n} \\= \dfrac{{n\left( {n + 1} \right) + n - n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} \\ = \dfrac{{{n^2} + n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Do đó dãy số đã cho tăng.

Chọn C.