Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

\( y = - 9{x^3} + 0,2{x^2} - 0,14x + 5.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} y' = \left( { - 9{x^3} + 0,2{x^2} - 0,14x + 5} \right)'\\ = - 9.3{x^2} + 0,2.2x - 0,14.1 + 0\\ = - 27{x^2} + 0,4x - 0,14 \end{array}\)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

\( \displaystyle y = {2 \over x} - {4 \over {{x^2}}} + {5 \over {{x^3}}} - {6 \over {7{x^4}}}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {\dfrac{1}{u}} \right)' = \dfrac{{ - u'}}{{{u^2}}}\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} y' = \left( {\dfrac{2}{x} - \dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{5}{{{x^3}}} - \dfrac{6}{{7{x^4}}}} \right)'\\ = \left( {\dfrac{2}{x}} \right)' - \left( {\dfrac{4}{{{x^2}}}} \right)' + \left( {\dfrac{5}{{{x^3}}}} \right)' - \left( {\dfrac{6}{{7{x^4}}}} \right)'\\ = - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{{ - 4\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}} + \dfrac{{ - 5\left( {{x^3}} \right)'}}{{{x^6}}} - \dfrac{{ - 6\left( {{x^4}} \right)'}}{{7{x^8}}}\\ = - \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{{4.2x}}{{{x^4}}} - \dfrac{{5.3{x^2}}}{{{x^6}}} + \dfrac{{6.4{x^3}}}{{7{x^8}}}\\ = - \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{8}{{{x^3}}} - \dfrac{{15}}{{{x^4}}} + \dfrac{{24}}{{7{x^5}}} \end{array} \)

Tìm đạo hàm của hàm số sau:

\( y = \left( {9 - 2x} \right)\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right).\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\), đạo hàm của hàm hợp \(\left[ {f\left( u \right)} \right]' = u'.f'\left( u \right)\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} y' = \left( {9 - 2x} \right)'\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right)\\ + \left( {9 - 2x} \right)\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right)'\\ = - 2\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right)+ \left( {9 - 2x} \right)\left( {6{x^2} - 18x} \right)\\ = - 4{x^3} + 18{x^2} - 2+54{x^2} - 12{x^3} - 162x + 36{x^2}\\ = - 16{x^3} + 108{x^2} - 162x - 2 \end{array}\)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

\( y = {{5 - 3x - {x^2}} \over {x - 2}}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\), đạo hàm của thương \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Hướng dẫn giải: 

\( \begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {5 - 3x - {x^2}} \right)'\left( {x - 2} \right) - \left( {5 - 3x - {x^2}} \right)\left( {x - 2} \right)'}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( { - 3 - 2x} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {5 - 3x - {x^2}} \right).1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - 3x - 2{x^2} + 6 + 4x - 5 + 3x + {x^2}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - {x^2} + 4x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \end{array}\)

Tìm đạo hàm của hàm số sau:

\( y = \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\left( {uvw} \right)' = u'vw + uv'w + uvw'\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\( \begin{array}{l} y' = \left( {{x^2} + 1} \right)'{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3} + \left( {{x^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}} \right]'{\left( {{x^4} + 1} \right)^3} \\+ \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\left[ {{{\left( {{x^4} + 1} \right)}^3}} \right]' \\ = 2x{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3} + \left( {{x^2} + 1} \right)\left[ {2\left( {{x^3} + 1} \right)\left( {{x^3} + 1} \right)'} \right]{\left( {{x^4} + 1} \right)^3} \\+ \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\left[ {3{{\left( {{x^4} + 1} \right)}^2}\left( {{x^4} + 1} \right)'} \right] \\ = 2x{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3} + \left( {{x^2} + 1} \right)\left[ {2\left( {{x^3} + 1} \right).3{x^2}} \right]{\left( {{x^4} + 1} \right)^3} \\+ \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\left[ {3{{\left( {{x^4} + 1} \right)}^2}.4{x^3}} \right]\\ = 2x{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3} + 6{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^3} + 1} \right){\left( {{x^4} + 1} \right)^3} \\+ 12{x^3}\left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^2} \end{array}\)

Tìm đạo hàm của hàm số sau:

\( y = {\left( {a + {b \over x} + {c \over {{x^2}}}} \right)^4} \) (a, b, c là các hằng số).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{u^n}} \right)' = n{u^{n - 1}}u'\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} y' = 4{\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}}} \right)^3}\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}}} \right)'\\ = 4{\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}}} \right)^3}.\left( { - \dfrac{b}{{{x^2}}} + \dfrac{{ - c\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}}} \right)\\ = 4{\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}}} \right)^3}\left( { - \dfrac{b}{{{x^2}}} - \dfrac{{2cx}}{{{x^4}}}} \right)\\ = - 4{\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}}} \right)^3}\left( {\dfrac{b}{{{x^2}}} + \dfrac{{2c}}{{{x^3}}}} \right) \end{array}\)

Rút gọn: \( f\left( x \right) = \left( {{{x - 1} \over {2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + 1} \right).{2 \over {\sqrt x + 1}} :{\left( {{{\sqrt {x - 2} } \over {\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }} + {{x - 2} \over {\sqrt {{x^2} - 4} - x + 2}}} \right)^2}\)  và tìm f'(x).

Phương pháp giải:

Rút gọn f(x) và sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\), \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}f\left( x \right) = \left( {\frac{{x - 1}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + 1} \right).\frac{2}{{\sqrt x + 1}}\\:{\left( {\frac{{\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} - x + 2}}} \right)^2}\\ = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + 1} \right).\frac{2}{{\sqrt x + 1}}\\:{\left( {\frac{{\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt {x - 2} \left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} } \right)}}} \right)^2}\\ = \left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{2} + 1} \right).\frac{2}{{\sqrt x + 1}}\\:{\left( {\frac{{\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }} + \frac{{\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} }}} \right)^2}\\ = \frac{{\sqrt x - 1 + 2}}{2}.\frac{2}{{\sqrt x + 1}}\\:\left( {x - 2} \right){\left( {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} + \sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }}{{\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} } \right)\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} } \right)}}} \right)^2}\\ = \frac{{\sqrt x + 1}}{2}.\frac{2}{{\sqrt x + 1}}:\left[ {\left( {x - 2} \right).{{\left( {\frac{{2\sqrt {x + 2} }}{{x + 2 - x + 2}}} \right)}^2}} \right]\\ = 1:\left[ {\left( {x - 2} \right).{{\left( {\frac{{\sqrt {x + 2} }}{2}} \right)}^2}} \right]\\ = 1:\frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{4}\\ = \frac{4}{{{x^2} - 4}}\end{array}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - 4\left( {{x^2} - 4} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4.2x}}{{{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}}} = - \frac{{8x}}{{{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}}}\)

Cho \(f\left( x \right) = 2{x^3} + x - \sqrt 2 \); \( g\left( x \right) = 3{x^2} + x + \sqrt 2.\)

Giải bất phương trình \(f'(x) > g'\left( x \right).\)

Phương pháp giải:

Tính f'(x), g'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và giải bất phương trình.

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} f'\left( x \right) = \left( {2{x^3} + x - \sqrt 2 } \right)' = 2.3{x^2} + 1 - 0 = 6{x^2} + 1\\ g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + x + \sqrt 2 } \right)' = 3.2x + 1 + 0 = 6x + 1\\ f'\left( x \right) > g'\left( x \right)\\ \Leftrightarrow 6{x^2} + 1 > 6x + 1\\ \Leftrightarrow 6{x^2} - 6x > 0 \Leftrightarrow 6x\left( {x - 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 1\\ x < 0 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy \(S=\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)

Cho \( f\left( x \right) = 2{x^3} - {x^2} + \sqrt 3 ; g\left( x \right) = {x^3} + {{{x^2}} \over 2} - \sqrt 3.\) Giải bất phương trình \(f'(x) > g'\left( x \right).\)

Phương pháp giải:

- Tính f'(x), g'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

- Giải bất phương trình.

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} f'\left( x \right) = \left( {2{x^3} - {x^2} + \sqrt 3 } \right)' = 2.3{x^2} - 2x + 0 = 6{x^2} - 2x\\ g'\left( x \right) = \left( {{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - \sqrt 3 } \right)' = 3.{x^2} + \frac{{2x}}{2} - 0 = 3{x^2} + x\\ f'\left( x \right) > g'\left( x \right)\\ \Leftrightarrow 6{x^2} - 2x > 3{x^2} + x\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x > 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 1\\ x < 0 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy \(S=\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x - 2\sqrt {{x^2} + 12}\). Giải bất phương trình \(f'\left( x \right) \le 0.\)

(Đề thi tốt nghiệp THPT 2010)

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức tính đạo hàm \(\sqrt u = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\).

- Giải bất phương trình.

Hướng dẫn giải:

\( \eqalign{ & f'\left( x \right) = 1 - {{2x} \over {\sqrt {{x^2} + 12} }} \le 0{\rm{ }} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 12} \le 2x \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} + 12 \le 4{x^2} \hfill \cr x \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3{x^2} \ge 12 \hfill \cr x \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} \ge 4 \hfill \cr x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2. \cr}\)

Vậy \(x \in{\rm{[}}2; + \infty ).\)

Giải các bất phương trình:

a) \(f'\left( x \right) > 0\) với \(f\left( x \right) = {1 \over 7}{x^7} - {9 \over 4}{x^4} + 8x - 3\)

b) \(g'\left( x \right) \le 0\) với \(g\left( x \right) = {{{x^2} - 5x + 4} \over {x - 2}}\)

Phương pháp giải:

a) Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)  và giải bất phương trình.

b) Tính g'(x) bằng sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\), \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) và giải bất phương trình.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\( f'\left( x \right) = \dfrac{1}{7}.7{x^6} - \dfrac{9}{4}.4{x^3} + 8 = {x^6} - 9{x^3} + 8 \\ f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {x^6} - 9{x^3} + 8 > 0 \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 1} \right)\left( {{x^3} - 8} \right) > 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} > 8\\{x^3} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 1\end{array} \right.\)

Vậy x < 1 hoặc x > 2

b) Ta có:

\( \begin{array}{l}g'\left( x \right)\\ = \dfrac{{\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)'\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 5x + 4} \right)\left( {x - 2} \right)'}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 5x + 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2{x^2} - 5x - 4x + 10 - {x^2} + 5x - 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2} - 4x + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\g'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 4x + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \le 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 6 \le 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + 2 \le 0\left( {VN} \right)\\{\left( {x - 2} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy bất phương trình \(g'\left( x \right) \le 0\) vô nghiệm.

Xác định m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R

a) \(f'\left( x \right) > 0 \) với \( f\left( x \right) = {m \over 3}{x^3} - 3{x^2} + mx - 5\)

b) \( g'\left( x \right) < 0 \) với \(g\left( x \right) = {m \over 3}{x^3} - {m \over 2}{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 15.\)

Phương pháp giải:

Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)  và giải bất phương trình.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\( f'\left( x \right) = \dfrac{m}{3}.3{x^2} - 3.2x + m = m{x^2} - 6x + m\)

\( f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m > 0\\\Delta ' = 9 - {m^2} < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m > 3\)

Vậy m > 3.

b) Ta có:

\( g'\left( x \right) = \dfrac{m}{3}.3{x^2} - \dfrac{m}{2}.2x + \left( {m + 1} \right) = m{x^2} - mx + \left( {m + 1} \right)\)

\( g'\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta = {m^2} - 4m\left( {m + 1} \right) < 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 3{m^2} - 4m < 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m < - \dfrac{4}{3}\)

Vậy \(m < - \dfrac{4}{3}.\)

Cho \(f\left( x \right) = {2 \over x},g\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} - {{{x^3}} \over 3}.\)

Giải bất phương trình \(f\left( x \right) \le g'\left( x \right).\)

Phương pháp giải:

- Tính g'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

- Giải bất phương trình \(f\left( x \right) \le g'\left( x \right).\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}g'\left( x \right) = \dfrac{{2x}}{2} - \dfrac{{3{x^2}}}{3} = x - {x^2}\\f\left( x \right) \le g'\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{2}{x} \le x - {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + \dfrac{2}{x} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} - {x^2} + 2}}{x} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}}{x} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{x} \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le x < 0\end{array}\)

Do \({x^2} - 2x + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 > 0, \forall x \in \mathbb{R}.\)

Vậy \(x \in \left[ { - 1;0} \right).\)

Tính g'(1), biết rằng \(g\left( x \right) = {1 \over x} + {1 \over {\sqrt x }} + {x^2}.\)

Phương pháp giải:

Tính g'(x) và thay x = 1 tính g'(1).

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} g'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{{ - \left( {\sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}} + 2x\\ = - \dfrac{1}{x} - \dfrac{{\dfrac{1}{{2\sqrt x }}}}{x} + 2x\\ = - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{2x\sqrt x }} + 2x\\ \Rightarrow g'\left( 1 \right) = - \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{{2.1.\sqrt 1 }} + 2.1 = \dfrac{1}{2} \end{array}\)

Tính \(\varphi '\left( 2 \right)\), biết rằng \(\varphi \left( x \right) = {{\left( {x - 2} \right)\left( {8 - x} \right)} \over {{x^2}}}.\)

Phương pháp giải:

Tính \(\varphi '\left( x \right)\) rồi thay x = 2 vào.

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} \varphi \left( x \right) = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {8 - x} \right)}}{{{x^2}}}\\ = \dfrac{{ - {x^2} + 10x - 16}}{{{x^2}}}\\ = - 1 + \dfrac{{10}}{x} - \dfrac{{16}}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow \varphi '\left( x \right) = - \dfrac{{10}}{{{x^2}}} - \dfrac{{ - 16.\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}}\\ = - \dfrac{{10}}{{{x^2}}} + \dfrac{{16.2x}}{{{x^4}}} = - \dfrac{{10}}{{{x^2}}} + \dfrac{{32}}{{{x^3}}}\\ \Rightarrow \varphi '\left( 2 \right) = - \dfrac{{10}}{{{2^2}}} + \dfrac{{32}}{{{2^3}}} = \dfrac{3}{2} \end{array}\)

Chứng minh rằng nếu S(r) là diện tích hình tròn bán kính r thì S'(r) là chu vi đường tròn đó.

Phương pháp giải:

- Tính S(r).

- Tính S'(r).

Hướng dẫn giải:

Vì \(S\left( r \right) = \pi {r^2} \) nên \(S'\left( r \right) = 2\pi r\) là chu vi đường tròn.

Chứng minh rằng nếu V(R) là thể tích hình cầu bán kính R thì V'(R) là diện tích mặt cầu đó.

Phương pháp giải:

- Tính V(R).

- Tính V'(R).

Hướng dẫn giải:

Vì \(V\left( R \right) = {4 \over 3}\pi {R^3}\) nên \(V'\left( R \right) = 4\pi {R^2}\) là diện tích mặt cầu.

Giả sử V là thể tích hình trụ tròn xoay với chiều cao h và bán kính đáy r. Chứng minh rằng với r là hằng số thì đạo hàm V'(h) bằng diện tích đáy hình trụ và với h là hằng số thì đạo hàm V'(r) bằng diện tích xung quanh của hình trụ.

Phương pháp giải:

- Tính thể tích hình trụ tròn 

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(V = \pi {r^2}h\) 

\(V'\left( h \right) = \pi {r^2}\) là diện tích đáy hình trụ;

\( V'\left( r \right) = 2\pi rh\) là diện tích xung quanh của hình trụ.

Tính y', biết \(y = x^5 - 4x^3 - x^2 + \dfrac x2\)

A. y' = 5x⁴ - 12x² - 2x + 1/2

B. y' = 5x⁴ - 10x² + 1/2

C. y' = 5x⁴ - 2x

D. y' = 5x⁴ + 12x⁴ - 2x - 1/2

Phương pháp giải:

Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) 

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}y' = 5{x^4} - 4.3{x^2} - 2x + \dfrac{1}{2}\\ = 5{x^4} - 12{x^2} - 2x + \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Chọn đáp án: A

\( y = - 6\sqrt x + \dfrac{3}{x}\). Tìm y'.

A. \(y' = \dfrac{3}{{\sqrt x }}\)

B. \(y' = - \dfrac{3}{{\sqrt x }} - \dfrac{3}{{{x^2}}}\)

C. \(y' = \dfrac{3}{{\sqrt x }} - 5\)

D. \(y' = - \dfrac{3}{{\sqrt x }} + \dfrac{3}{x}\)

Phương pháp giải:

Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và \(\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}y' = - 6.\dfrac{1}{{2\sqrt x }} - \dfrac{3}{{{x^2}}}\\ = - \dfrac{3}{{\sqrt x }} - \dfrac{3}{{{x^2}}}\end{array}\)

Chọn đáp án: B

Tính đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{x + 4}}\)

A. \(y' = \dfrac{{10}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\)

B. \(y' = \dfrac{{11}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\)

C. \(y' = \dfrac{5}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\)

D. \(y' = \dfrac{{ - 11}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\)

Phương pháp giải:

Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm của thương \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x - 3} \right)'\left( {x + 4} \right) - \left( {2x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)'}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2\left( {x + 4} \right) - \left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{11}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\end{array}\)

Chọn đáp án: B

Cho hàm số \(y = x\sqrt {1 + {x^2}} \). Tính y'.

A. \(y' = \dfrac{{1 - 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)

B. \(y' = \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)

C. \(y' = \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{1 + {x^2}}}\)

D. \(y' = \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)

Phương pháp giải:

Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}y' = \left( x \right)'.\sqrt {1 + {x^2}} + x.\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \dfrac{{1 + {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\end{array}\)

Chọn đáp án: D

Cho f(x) = 5 - 3x - x². Tính f'(0), f'(-2).

A. -3; 0      B. -2; 1

C. -3; 1      D. 3; 2

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

- Thay x = 0, x = -2 vào f'(x).

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}f'\left( x \right) = - 3 - 2x\\f'\left( 0 \right) = - 3 - 2.0 = - 3\\f'\left( { - 2} \right) = - 3 - 2.\left( { - 2} \right) = 1\end{array}\)

Chọn đáp án: C

Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} \). Tìm y'.

A. \(y' = \frac{{3{x^2} - 4x}}{{\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} }}\)

B. \(y' = \frac{{3{x^2} + 4x}}{{2\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} }}\)

C. \(y' = \frac{{3{x^2} - 4x}}{{{x^3} - 2{x^2} + 1}}\)

D. \(y' = \frac{{3{x^2} - 4x}}{{2\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} }}\)

Phương pháp giải:

Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {{x^3} - 2{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} }}\\ = \dfrac{{3{x^2} - 2.2x}}{{2\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} }}\\ = \dfrac{{3{x^2} - 4x}}{{2\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} }}\end{array}\)

Chọn đáp án: D

Cho f(x) = x⁵ + x³ - 2x + 3. Tính f'(1), f'(0).

A. 6; 2      B. 6; -2

C. 6; 6      D. -2; 6

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

- Thay x = 1, x = 0 vào f'(x).

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 5{x^4} + 3{x^2} - 2\\f'\left( 1 \right) = 5 + 3 - 2 = 6\\f'\left( 0 \right) = 5.0 + 3.0 - 2 = - 2\end{array}\)

Chọn đáp án: B

Giải bất phương trình φ'(x) < 0 với \(\varphi \left( x \right) = \dfrac{{2x - 1}}{{{x^2} + 1}}\)

A. \(\left( { - \infty ;\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)\)

B. \(\left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)

C. \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

D. R

Phương pháp giải:

- Tính φ'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) và \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

- Giải bất phương trình φ'(x) < 0

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}\varphi '\left( x \right)\\ = \dfrac{{\left( {2x - 1} \right)'\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right).2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2{x^2} + 2 - 4{x^2} + 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - 2{x^2} + 2x + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\\varphi '\left( x \right) < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2{x^2} + 2x + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} < 0\\ \Leftrightarrow - 2{x^2} + 2x + 2 < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\x < \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn đáp án: A

Tính f'(1) biết \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{3}{{{x^3}}}\)

A. 6         B. 10

C. 9         D. -14

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) .

- Thay x = 1 vào f''(x).

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{{ - 2\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}} + \dfrac{{ - 3\left( {{x^3}} \right)'}}{{{x^6}}}\\ = - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{{2.2x}}{{{x^4}}} - \dfrac{{3.3{x^2}}}{{{x^6}}}\\ = - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{{x^3}}} - \dfrac{9}{{{x^4}}}\\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) = - 1 - 4 - 9 = - 14\end{array}\)

Chọn đáp án: D

Tính h'(0), biết rằng \(h\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)

A. 2      B. -1      C. 1/2      D. 4

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) và \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}h'\left( x \right)\\ = \dfrac{{\left( x \right)'.\sqrt {4 - {x^2}} - x.\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}} - x.\dfrac{{\left( {4 - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }}}}{{4 - {x^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}} - x.\dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }}}}{{4 - {x^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}}{{4 - {x^2}}}\\ = \dfrac{{4 - {x^2} + {x^2}}}{{\left( {4 - {x^2}} \right)\sqrt {4 - {x^2}} }}\\ = \dfrac{4}{{\left( {4 - {x^2}} \right)\sqrt {4 - {x^2}} }}\\ \Rightarrow h'\left( 0 \right) = \dfrac{4}{{\left( {4 - 0} \right)\sqrt {4 - 0} }} = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Chọn đáp án: C