Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Giải các phương trình sau:

a) $\cos 2x -\sin x -1 = 0$

b) $\cos x\cos 2x=1+\sin x\sin 2x$

c) $4\sin x\cos x\cos 2x=-1$

d) $\tan x=3\cot x$

Phương pháp giải:

a) Dùng công thức nhân đôi biến đổi cos2x = 1−2sin²x để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác.

b) Sử dụng công thức cosin của tổng cos(a+b) = cosacosb − sinasinb để rút gọn phương trình.

c) Sử dụng công thức nhân đôi sin2x = 2sinxcosx để rút gọn phương trình.

d) - Tìm điều kiện xác định của phương trình.

- Sử dụng công thức $\cot x=\dfrac{1}{\tan x}$ để rút gọn phương trình.

Hướng dẫn giải:

a) $\cos 2x -\sin x -1 = 0$

$\Leftrightarrow 1-2{\sin}^2 x-\sin x-1=0$

$\Leftrightarrow \sin x(2\sin x+1)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\\sin x= -\dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi ,k\in\mathbb{Z}\\x= -\dfrac{\pi}{6}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

b) $\cos x\cos 2x=1+\sin x\sin 2x$

$\Leftrightarrow \cos x\cos 2x-\sin x\sin 2x=1$

$\Leftrightarrow \cos 3x=1$

$\Leftrightarrow 3x=k2\pi$

$\Leftrightarrow x=k\dfrac{2\pi}{3} ,k\in\mathbb{Z}$.

c) $4\sin x\cos x\cos 2x=-1$

$\Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x=-1$

$\Leftrightarrow \sin 4x=-1$

$\Leftrightarrow 4x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k\in\mathbb{Z}$

d) $\tan x=3\cot x$ (1)

ĐKXĐ: $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos x \ne 0\\\sin x\ne 0\end{array} \right.$

(1) $\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{3}{\tan x}$

$\Leftrightarrow {\tan}^2 x=3$

$\Leftrightarrow \tan x=\pm\sqrt{3}$

$\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình nên là nghiệm của phương trình đã cho.

Giải các phương trình:

a) $3{\cos}^2 x-2\sin x+2=0$

b) $5{\sin}^2 x+3\cos x+3=0$

c) ${\sin}^6 x+{\cos}^6 x=4{\cos}^2 2x$

d) $-\dfrac{1}{4}+{\sin}^2 x={\cos}^4 x$

Phương pháp giải:

a) b) Sử dụng công thức ${\sin}^2 x+{\cos}^2 x=1$ để rút gọn phương trình.

c) Rút gọn phương trình bằng cách:

- Thêm bớt VT để có hằng đẳng thức số 3.

- Sử dụng công thức ${\sin}^2 x+{\cos}^2 x=1$.

- Sử dụng công thức nhân đôi.

d) Sử dụng công thức nhân đôi để rút gọn phương trình.

Hướng dẫn giải:

a) $3{\cos}^2 x-2\sin x+2=0$

$\Leftrightarrow 3(1-{\sin}^2 x)-2\sin x+2=0$

$\Leftrightarrow 3{\sin}^2 x+2\sin x-5=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=1\\\sin x=-\dfrac{5}{3}\text{(vô nghiệm)}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

b) $5{\sin}^2 x+3\cos x+3=0$

$\Leftrightarrow 5(1-{\cos}^2 x)+3\cos x+3=0$

$\Leftrightarrow 5{\cos}^2 x-3\cos x-8=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=-1\\\cos x=\dfrac{8}{5}\text{(vô nghiệm)}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x=(2k+1)\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

c) ${\sin}^6 x+{\cos}^6 x=4{\cos}^2 2x$

$\Leftrightarrow {({\sin}^2 x+{\cos}^2 x)}^3-3{\sin}^2 x{\cos}^2 x({\sin}^2 x+{\cos}^2 x)=4{\cos}^2 2x$

$\Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}{\sin}^2 2x=4{\cos}^2 2x$

$\Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}(1-{\cos}^2 2x)=4{\cos}^2 2x$

$\Leftrightarrow \dfrac{13}{4}{\cos}^2 2x=\dfrac{1}{4}$

$\Leftrightarrow 13{\left({\dfrac{1+\cos 4x}{2}}\right)}=1$

$\Leftrightarrow \cos 4x=-\dfrac{11}{13}$

$\Leftrightarrow 4x=\pm\arccos {\left({-\dfrac{11}{13}}\right)}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{4}\arccos {\left({-\dfrac{11}{13}}\right)}+k\dfrac{\pi}{2} ,k\in\mathbb{Z}$

d) $-\dfrac{1}{4}+{\sin}^2 x={\cos}^4 x$

$\Leftrightarrow- \dfrac{1}{4} + \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} = {\left( {\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)^2}$

$\Leftrightarrow -1+2-2\cos 2x=1+2\cos 2x+{\cos}^2 2x$

$\Leftrightarrow {\cos}^2 2x+4\cos 2x=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x=0\\\cos 2x=-4\text{(vô nghiệm)}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2} ,k\in\mathbb{Z}$.

Giải các phương trình sau:

a) $2\tan x-3\cot x-2=0$

b) ${\cos}^2 x=3\sin 2x+3$

c) $\cot x-\cot 2x=\tan x+1$

Phương pháp giải:

a) - Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Sử dụng công thức $\cot x=\dfrac{1}{\tan x}$ để rút gọn phương trình.

b) - Sử dụng công thức nhân đôi để biến đổi phương trình.

- Ta thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế của phương trình cho cos²x để rút gọn phương trình.

- Sử dụng công thức $1+{\tan}^2 x=\dfrac{1}{{\cos}^2 x}$.

c) - Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Sử dụng công thức $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ và công thức nhân đôi để rút gọn phương trình.

Hướng dẫn giải:

a) $2\tan x-3\cot x-2=0$ (1)

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne 0\\\sin x\ne 0 \end{array} \right.$

(1) $\Leftrightarrow 2\tan x-\dfrac{3}{\tan x}-2=0$

$\Leftrightarrow 2{\tan}^2 x-3-2\tan x=0$

$\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{1\pm\sqrt{7}}{2}$

⇔$\left[ \begin{array}{l} x = \arctan{\left({\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}}\right)}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=\arctan{\left({\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}}\right)}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.

b) ${\cos}^2 x=3\sin 2x+3$

$\Leftrightarrow {\cos}^2 x=6\sin x\cos x+3$

Ta thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình.

Với cosx ≠ 0 ta chia hai vế của phương trình cho cos²x ta được:

$1=6\tan x+\dfrac{3}{{\cos}^2 x}$

$\Leftrightarrow 1=6\tan x+3(1+{\tan}^2 x)$

$\Leftrightarrow 3{\tan}^2 x+6\tan x+2=0$

$\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3}}{3}$

⇔ $\left[ \begin{array}{l} x = \arctan{\left({\dfrac{-3+\sqrt{3}}{3}}\right)}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=\arctan{\left({\dfrac{-3-\sqrt{3}}{3}}\right)}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

c) $\cot x-\cot 2x=\tan x+1$ (2)

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne 0\\\sin x\ne 0 \end{array} \right.$

(2) $\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}+1$

$\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos 2x}{2\sin x\cos x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}+1$

$\Leftrightarrow 2{\cos }^2 x-\cos 2x=2{\sin}^2 x+\sin 2x$

$\Leftrightarrow 2({\cos}^2 x-{\sin}^2 x)-\cos 2x=\sin 2x$

$\Leftrightarrow 2\cos 2x-\cos 2x=\sin 2x$

$\Leftrightarrow \cos 2x=\sin 2x$

$\Leftrightarrow \cos 2x=\cos (\dfrac{\pi}{2}-2x)$

$\Leftrightarrow 2x=\pm(\dfrac{\pi}{2}-2x)+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}-2x+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k\in\mathbb{Z}$

Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.

Giải các phương trình sau:

a) ${\cos}^2 x+2\sin x\cos x+5{\sin}^2 x=2$

b) $3{\cos}^2 x-2\sin 2x+{\sin}^2 x=1$

c) $4{\cos}^2 x-3\sin x\cos x+3{\sin}^2 x=1$

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với sin và cos: $a{\sin}^2 x+b\sin x\cos x+c{\cos}^2 x=d$

- Bước 1: Xét cosx = 0 có là nghiệm của phương trình hay không?

- Bước 2: Khi cosx ≠ 0

+ Chia cả 2 vế của phương trình cho cos²x ta được: 

$a\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+b\dfrac{\sin x}{\cos x}+c=\dfrac{d}{{\cos}^2 x}$

+ Sử dụng công thức $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $1+{\tan}^2 x=\dfrac{1}{{\cos}^2 x}$  đưa phương trình về dạng:

$a{\tan}^2 x+b\tan x+c=d(1+{\tan}^2 x)$

$\Leftrightarrow (a−d){\tan}^2 x+b\tan x+c−d=0$

+ Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan:

$\tan x=\tan \alpha\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$ và đối chiếu với điều kiện.

Hướng dẫn giải:

a)  ${\cos}^2 x+2\sin x\cos x+5{\sin}^2 x=2$

Thấy rằng cosx = 0 không thỏa mãn phương trình.

Với cosx ≠ 0, chia cả 2 vế của phương trình cho cos²x ta được: 

$1+2\dfrac{\sin x}{\cos x} +5\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}=\dfrac{2}{{\cos}^2 x}$

$\Leftrightarrow 1+2\tan x+5{\tan}^2 x=2(1+{\tan}^2 x)$

$\Leftrightarrow 3{\tan}^2 x+2\tan x-1=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = -1\\\tan x=\dfrac{1}{3}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =-\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\\x=\arctan\dfrac{1}{3}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

b) $3{\cos}^2 x-2\sin 2x+{\sin}^2 x=1$

Với cosx = 0 ta thấy VT = VP = 1. Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$.

Với cosx ≠ 0, chia cả 2 vế của phương trình cho cos²x ta được: 

$3-4\dfrac{\sin x}{\cos x} +\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}=\dfrac{1}{{\cos}^2 x}$

$\Leftrightarrow 3-4\tan x+{\tan}^2 x=1+{\tan}^2 x$

$\Leftrightarrow 4\tan x=2$

$\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x=\arctan\dfrac{1}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$ và $x=\arctan\dfrac{1}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

c) $4{\cos}^2 x-3\sin x\cos x+3{\sin}^2 x=1$

Thấy rằng cosx = 0 không thỏa mãn phương trình.

Với cosx ≠ 0, chia cả 2 vế của phương trình cho cos²x ta được: 

$4-3\dfrac{\sin x}{\cos x}+3\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}=\dfrac{1}{{\cos}^2 x}$

$\Leftrightarrow 4-3\tan x+3{\tan}^2 x=1+{\tan}^2 x$

$\Leftrightarrow 2{\tan}^2 x-3\tan x+3=0 \text{(Vô nghiệm)}$

Vậy phương trình vô nghiệm.

Giải các phương trình:

a) $2\cos x-\sin x=2$

b) $\sin 5x+\cos 5x=-1$

c) $8{\cos}^4 x-4\cos 2x+\sin 4x-4=0$

d) ${\sin}^6 x+{\cos}^6+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0$

Phương pháp giải:

a) Phương trình dạng asinx + bcosx = c:

- Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}$.

- Biến đổi VT phương trình về dạng $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)$

trong đó $\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

→ Phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Sử dụng công thức cos(a−b) = cosacosb + sinasinb để thu gọn phương trình.

b) Phương trình dạng asinx + bcosx = c:

- Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}$.

- Biến đổi VT phương trình về dạng $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)$

trong đó $\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

→ Phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Sử dụng công thức sin(a+b) = sinacosb + cosasinb để thu gọn phương trình.

c) - Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn phương trình.

- Phương trình dạng asinx + bcosx = c:

+ Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}$.

+ Biến đổi VT phương trình về dạng $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)$

trong đó $\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

→ Phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Sử dụng công thức khai triển sin của một tổng để thu gọn phương trình.

d) - Thêm bớt VT thành hằng đẳng thức.

- Sử dụng công thức nhân đôi.

- Phương trình dạng asinx + bcosx = c:

+ Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}$.

+ Biến đổi VT phương trình về dạng $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)$

trong đó $\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

→ Phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Sử dụng công thức khai triển sin của một tổng để thu gọn phương trình.

Hướng dẫn giải:

a) $2\cos x-\sin x=2$

$\Leftrightarrow \dfrac{2}{\sqrt{5}}\cos x-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sin x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

Ký hiệu α là góc mà $\cos\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ và $\sin\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

Ta thu được phương trình:

$\cos \alpha\cos x+\sin\alpha\sin x=\cos\alpha$

$\Leftrightarrow \cos (x-\alpha)=\cos\alpha$

$\Leftrightarrow x-\alpha=\pm\alpha+k2\pi,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x = 2\alpha+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 2\alpha+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và $x=k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

b) $\sin 5x+\cos 5x=-1$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos 5x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin 5x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Trong đó $\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ và $\sin {\left({-\dfrac{\pi}{4}}\right)}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Ta thu được phương trình:

$\cos \dfrac{\pi}{4}\sin 5x+\sin\dfrac{\pi}{4}\cos 5x=\sin {\left({-\dfrac{\pi}{4}}\right)}$

$\Leftrightarrow \sin (5x+\dfrac{\pi}{4})=\sin {\left({-\dfrac{\pi}{4}}\right)}$

⇔ $\left[ \begin{array}{l} 5x+\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\5x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-{\left({-\dfrac{\pi}{4}}\right)}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x= -\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{5}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x= -\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k \in \mathbb{Z}$ và $x=\dfrac{\pi}{5}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k \in \mathbb{Z}$.

c) $8{\cos}^4 x-4\cos 2x+\sin 4x-4=0$

$\Leftrightarrow 8{\left({\dfrac{1+\cos 2x}{2}}\right)}^2-4\cos 2x+\sin 4x-4=0$

$\Leftrightarrow 2(1+2\cos 2x+{\cos}^2 2x)-4\cos 2x+\sin 4x-4=0$

$\Leftrightarrow 2{\cos}^2 2x+\sin 4x-2=0$

$\Leftrightarrow 1+\cos 4x+\sin 4x-2=0$

$\Leftrightarrow \cos 4x+\sin 4x=1$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos 4x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin 4x=\sin\dfrac{\pi}{4}$

$\Leftrightarrow \sin\dfrac{\pi}{4}\cos 4x+\cos\dfrac{\pi}{4}\sin 4x=\sin\dfrac{\pi}{4}$

$\Leftrightarrow \sin{\left({4x+\dfrac{\pi}{4}}\right)}=\sin\dfrac{\pi}{4}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x+\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\4x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=k\dfrac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}$ và $x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}$.

d) ${\sin}^6 x+{\cos}^6+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0$

$\Leftrightarrow ({{\sin}^2 x+{\cos}^2 x)}^3-3{\sin}^2 x{\cos}^2 x({\sin}^2 x+{\cos}^2 x)+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0$

$\Leftrightarrow 1-3{\sin}^2 x{\cos}^2 x+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0$

$\Leftrightarrow 1-3{\left({\dfrac{\sin 2x}{2}}\right)}^2+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0$

$\Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}\dfrac{1-\cos 4x}{2}+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0$

$\Leftrightarrow 3\cos 4x+4\sin 4x=-5$

$\Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\cos 4x+\dfrac{4}{5}\sin 4x=-1$

Đặt $\dfrac{3}{5}=\sin\alpha$, $\dfrac{4}{5}=\cos\alpha$ ta được:

$\sin\alpha\cos 4x+\cos \alpha\sin 4x=-1$

$\Leftrightarrow \sin (4x+\alpha)=-1$

$\Leftrightarrow 4x+\alpha=\dfrac{3\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pi}{8}-\dfrac{\alpha}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\dfrac{3\pi}{8}-\dfrac{\alpha}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}$.

Giải các phương trình sau:

a) $1+\sin x-\cos x-\sin 2x+2\cos 2x=0$

b) $\sin x-\dfrac{1}{\sin x}={\sin}^2 x-\dfrac{1}{{\sin}^2 x }$

c) $\cos x\tan 3x=\sin 5x$

d) $2{\tan}^2 x+3\tan x+2{\cot}^2 x+3\cot x+2=0$

Phương pháp giải:

a) Ta rút gọn phương trình bằng cách:

- Sử dụng công thức ${(\sin x-\cos x)}^2=1-\sin 2x$.

- Sử dụng công thức nhân đôi cos2x = cos²x − sin²x.

b) -Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Nhóm các số hạng với nhau để có nhân tử chung.

c) -Tìm ĐKXĐ.

- Sử dụng công thức $\tan 3x=\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}$.

- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

d) - Tìm ĐKXĐ.

- Nhóm các số hạng một cách thích hợp để giải phương trình.

- Thêm bớt VT để có hằng đẳng thức.

Hướng dẫn giải:

a) $1+\sin x-\cos x-\sin 2x+2\cos 2x=0$

$\Leftrightarrow (1-\sin 2x)+(\sin x-\cos x)+2\cos 2x=0$

$\Leftrightarrow {(\sin x-\cos x)}^2+(\sin x-\cos x)+2({\cos}^2 x-{\sin}^2 x)=0$

$\Leftrightarrow (\sin x-\cos x)[\sin x-\cos x+1-2(\cos x+\sin x)]=0$

$\Leftrightarrow (\sin x-\cos x)(1-\sin x-3\cos x)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x-\cos x=0 \\1-\sin x-3\cos x=0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=\cos x \\\sin x+3\cos x=1 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=1 \text{(1)}\\\dfrac{1}{\sqrt{10}}\sin x+\dfrac{3}{\sqrt{10}}\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\text{(2)} \end{array} \right.$

$\text{(1)}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4 }+k\pi,k\in\mathbb{Z}$

Giải phương trình (2) ta đặt $\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\sin\alpha$ và $\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\cos\alpha$ ta được:

$\cos\alpha\cos x+\sin\alpha\sin x=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$

$\Leftrightarrow \cos(x-\alpha)=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$

$\Leftrightarrow x-\alpha=\pm\arccos\dfrac{1}{\sqrt{10}},k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\alpha\pm\arccos\dfrac{1}{\sqrt{10}},k\in\mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=\dfrac{\pi}{4 }+k\pi,k\in\mathbb{Z}$ và $x=\alpha\pm\arccos\dfrac{1}{\sqrt{10}},k\in\mathbb{Z}$.

b) $\sin x-\dfrac{1}{\sin x}={\sin}^2 x-\dfrac{1}{{\sin}^2 x }$ (1)

ĐKXĐ: sinx ≠ 0

(1) $\Leftrightarrow (\sin x-{\sin}^2 x)+{\left({\dfrac{1}{{\sin}^2 x}-\dfrac{1}{\sin x}}\right)}=0$

$\Leftrightarrow \sin x(1-\sin x)+\dfrac{1-\sin x}{{\sin}^2 x}=0$

$\Leftrightarrow (1-\sin x)({\sin}^3 x+1)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=1 \\\sin x=-1 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)} \\x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

c) $\cos x\tan 3x=\sin 5x$ (2)

ĐKXĐ: cos3x ≠ 0

$\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}$

(2) $\Leftrightarrow \cos x\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}=\sin 5x$

$\Leftrightarrow \cos x\sin 3x=\sin 5x\cos 3x$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(\sin 4x+\sin 2x)=\dfrac{1}{2}(\sin 8x+\sin 2x)$

$\Leftrightarrow \sin 8x=\sin 4x$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 8x=4x+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\\8x=\pi-4x+k2\pi,k\in\mathbb{Z} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{12}+ k\dfrac{\pi}{6},k\in\mathbb{Z} \end{array} \right.$

Kết hợp với ĐKXĐ ta được nghiệm của phương trình là $x=k\pi,k\in\mathbb{Z}$ và $x=\dfrac{\pi}{12}+ k\dfrac{\pi}{6},k\in\mathbb{Z}$.

d) $2{\tan}^2 x+3\tan x+2{\cot}^2 x+3\cot x+2=0$ (3)

ĐKXĐ: cos ≠ 0 và sinx ≠ 0.

(3) $\Leftrightarrow (2{\tan}^2 x+2{\cot}^2 x)+(3\tan x+3\cot x)+2=0$

$\Leftrightarrow 2[{(\tan x+\cot x)}^2-2\tan x\cot x]+3(\tan x+\cot x)+2=0$

$\Leftrightarrow 2[{(\tan x+\cot x)}^2-2]+3(\tan x+\cot x)+2=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x+\cot x=-2\\\tan x+\cot x=\dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

* $\tan x+\cot x=-2$

$\Rightarrow \tan x+\dfrac{1}{\tan x}=-2$

$\Rightarrow {\tan}^2 x+1=-2\tan x$

$\Rightarrow \tan x=-1$

$\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)}$

* $\tan x+\cot x=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \tan x+\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow 2{\tan}^2 x+2=\tan x\text{(Vô nghiệm)}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$.

Giải phương trình $\cot x-\tan x+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x}$.

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Sử dụng công thức $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ và $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ để biến đổi phương trình.

- Sử dụng công thức nhân đôi.

- Sử dụng công thức sin²x + cos²x = 1.

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 0 ⇔cos2x ≠ ±1

$\cot x-\tan x+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{\cos}^2 x-{\sin}^2 x}{\sin x\cos x}+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{\cos 2x}{\dfrac{\sin 2x}{2}}+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{2\cos 2x}{\sin 2x}+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x}$

$\Leftrightarrow 2\cos 2x+4{\sin}^2 2x=2$

$\Leftrightarrow 2\cos 2x+4(1-{\cos}^2 2x)=2$

$\Leftrightarrow 4{\cos}^2 2x-2\cos 2x+2=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x=1\text{(loại)}\\\cos 2x=-\dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow 2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$

Nghiệm của phương trình $3\cot x-\sqrt{3}=0$ là

A. $\dfrac{\pi}{6}+k\pi (k\in\mathbb{Z})$

B. $\dfrac{\pi}{3}+k\pi (k\in\mathbb{Z})$

C. $\dfrac{\pi}{4}+k\pi (k\in\mathbb{Z})$

D. $\dfrac{\pi}{6}+k2\pi (k\in\mathbb{Z})$

Phương pháp giải:

Phương trình: cotx = cotα có nghiệm là $x=\alpha+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

$3\cot x-\sqrt{3}=0$

$\Leftrightarrow \cot x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\Leftrightarrow \cot x=\cot \dfrac{\pi}{3}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

Vậy chọn đáp án B.

Nghiệm của phương trình sau ${\sin}^4 x-{\cos}^4 x=0$ là

A. $\dfrac{\pi}{2}+k\pi (k\in\mathbb{Z})$

B. $\dfrac{\pi}{3}+k\pi (k\in\mathbb{Z})$

C. $\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2} (k\in\mathbb{Z})$

D. $\dfrac{\pi}{6}+k\pi (k\in\mathbb{Z})$

Phương pháp giải:

- Khai triển phương trình theo hằng đẳng thức số 2.

- Sử dụng công thức nhân đôi cos2x = cos²x − sin²x.

- Phương trình cosx = a:

+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm

+ Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là:

$x=\pm\arccos a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Hướng dẫn giải:

${\sin}^4 x-{\cos}^4 x=0$

$\Leftrightarrow ({\sin}^2 x-{\cos}^2 x)({\sin}^2 x+{\cos}^2 x)=0$

$\Leftrightarrow-\cos 2x=0$

$\Leftrightarrow\cos 2x=0$

$\Leftrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}$

Vậy chọn đáp án C.

Cho phương trình $4{\cos}^2 2x+16\sin x\cos x-7=0$ (1)

Xét các giá trị:

$(I) \dfrac{\pi}{6}+k\pi$

$(II) \dfrac{5\pi}{12}+k\pi (k\in\mathbb{Z}).$

$(III) \dfrac{\pi}{12}+k\pi$

Trong các giá trị trên giá trị nào là nghiệm của phương trình (1) ?

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

C. Chỉ (III)

D. (II) và (III)

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức nhân đôi sin2x = 2sinxcosx.

- Sử dụng công thức sin²x + cos²x = 1 để đưa phương trình dạng phương trình bậc hai đối với hàm số sin2x.

- Phương trình sinx = a

Nếu |a|>1 phương trình vô nghiệm

Nếu |a|≤1 khi đó phương trình có nghiệm là $x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và $x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Hướng dẫn giải:

$\text{(1)}\Leftrightarrow 4(1-{\sin}^2 2x)+8\sin 2x-7=0$

$\Leftrightarrow 4{\sin}^2 2x-8\sin 2x+3=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = \dfrac{3}{2}>1\text{(loại)}\\\sin 2x=\dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi}{6}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\2x= \pi-({\dfrac{\pi}{6}})+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{12}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x= \dfrac{5\pi}{12}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy chọn đáp án D.

Nghiệm của phương trình cosxcos7x = cos3xcos5x là

A. $\dfrac{\pi}{6}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$

B. $-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}$

C. $k\dfrac{\pi}{4},k\in\mathbb{Z}$

D. $k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}$

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

- Phương trình cosx = cosα có nghiệm là $x=\pm\alpha+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

cosxcos7x = cos3xcos5x 

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\left[{\cos (7x+x)+\cos(7x-x)}\right]}=\dfrac{1}{2}{\left[{\cos (5x+3x)+\cos(5x-3x)}\right]}$

$\Leftrightarrow \cos 8x+\cos 6x=\cos 8x+\cos 2x$

$\Leftrightarrow \cos 6x=\cos 2x$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 6x =2x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\6x= -2x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\\x= k\dfrac{\pi}{4} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vì ${\left\{{k\dfrac{\pi}{2}}\right\}}\subset{\left\{{k\dfrac{\pi}{4}}\right\}}$

Vậy chọn đáp án C.

Nghiệm của phương trình 3tan2x + 6cotx = −tanx là

A. $k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}$

B. $\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

C. $\dfrac{\pi}{6}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

D. $k\dfrac{\pi}{2} ,k\in\mathbb{Z}$

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Sử dụng công thức nhân đôi của tan: $\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1-{tan}^2 x}$.

- Sử dụng công thức $\cot x=\dfrac{1}{\tan x}$.

- Phương trình: tanx = a có α thỏa mãn tanα = a có nghiệm là $x=\alpha+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: cos2x ≠ 0, sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0

⇔ cos2x ≠ 0 và sin2x ≠ 0

⇔ sin4x ≠ 0

$\Leftrightarrow 4x\ne k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x\ne k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}$

3tan2x + 6cotx = −tanx

$\Leftrightarrow 3\dfrac{2\tan x}{1-{tan}^2 x}+\dfrac{6}{\tan x}+\tan x=0$

$\Leftrightarrow 6{\tan}^2 x+6-6{\tan}^2 x+{\tan}^2 x(1-{\tan}^2 x)=0$

$\Leftrightarrow -{\tan}^4 x+{\tan}^2 x+6=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\tan}^2 x = -2<0\text{(loại)}\\{\tan}^2 x= 3\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \tan x = \pm\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Vậy chọn đáp án B.

Nghiệm của phương trình 2sinx = 3cotx là

A. $\dfrac{\pi}{6}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$

B. $k\dfrac{\pi}{2} ,k\in\mathbb{Z}$

C. $\dfrac{\pi}{4}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$

D. $\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$

- Tìm ĐKXĐ.

- Sử dụng công thức $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$

- Sử dụng công thức ${\sin}^2x+{\cos}^2x=1$

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: sinx ≠ 0 $\Leftrightarrow x\ne k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

2sinx = 3cotx

$\Leftrightarrow 2\sin x=3\dfrac{\cos x}{\sin x}$

$\Leftrightarrow 2{\sin}^2 x=3\cos x$

$\Leftrightarrow 2(1-{\cos}^2 x)-3\cos x=0$

$\Leftrightarrow 2{\cos}^2 x+3\cos x-2=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = -2<-1\text{(loại)}\\\cos x= \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)}$

Vậy chọn đáp án D.

14. Giải bài 1.38 trang 39 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho phương trình $\sqrt{3}\cos x+\sin x=2\text{(*)}$

Xét các giá trị

$(I) \dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\(II) \dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\(III) \dfrac{\pi}{6}+k2\pi$$(k\in\mathbb{Z})$

Trong các giá trị trên, giá trị nào là nghiệm của phương trình (*)?

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

C. Chỉ (III)

D. (I) và (III)

Phương pháp giải:

 Phương trình dạng asinx + bcosx = c:

- Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}$.

- Biến đổi VT phương trình về dạng $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)$

trong đó $\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

→ Phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Sử dụng công thức cos(a−b) = cosacosb + sinasinb để thu gọn phương trình.

Hướng dẫn giải:

$\text{(*)}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\dfrac{1}{2}\sin x=1$

$\Leftrightarrow \cos {\left({x-\dfrac{\pi}{6}}\right)}=1$

$\Leftrightarrow x-\dfrac{\pi}{6}=k2\pi,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}$

Vậy chọn đáp án C.