Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Sử dụng định nghĩa, hãy tìm đạo hàm của các hàm số sau: 

a) y = 3x - 5;

b) \( y = 4{x^2} - 0,6x + 7\);

c) \(y = 4x - {x^2}\);

d) \( y = \sqrt {3x + 1}\);

e) \(y = {1 \over {x - 2}}\)

f) \( y = {{1 + \sqrt x } \over {1 - \sqrt x }}.\)

Phương pháp giải:

- Bước 1. Với ∆x là số gia của số đối tại \(x_0\), tính \( ∆y = f(x_0+∆x)- f(x_0);\)

- Bước 2. Lập tỉ số \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x};\)

- Bước 3. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

Hướng dẫn giải:

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại x ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = 3\left( {x + \Delta x} \right) - 5 - \left( {3x - 5} \right)\\ = 3x + 3\Delta x - 5 - 3x + 5\\ = 3\Delta x\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3\end{array}\)

b) Với ∆x là số gia của đối số tại x ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \left[ {4{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} - 0,6\left( {x + \Delta x} \right) + 7} \right]\\ - \left( {4{x^2} - 0,6x + 7} \right)\\ = 8x\Delta x + 4{\left( {\Delta x} \right)^2} - 0,6\Delta x\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 8x + 4\Delta x - 0,6\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 8x - 0,6\end{array}\)

c) Với ∆x là số gia của đối số tại x ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \left[ {4\left( {x + \Delta x} \right) - {{\left( {x + \Delta x} \right)}^2}} \right] - \left( {4x - {x^2}} \right)\\ = 4\Delta x - 2x\Delta x - {\left( {\Delta x} \right)^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 4 - 2x - \Delta x\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 4 - 2x\end{array}\)

d) Với ∆x là số gia của đối số tại x ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} - \sqrt {3x + 1} \\ = \dfrac{{3\left( {x + \Delta x} \right) + 1 - \left( {3x + 1} \right)}}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{{3\Delta x}}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + 0} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }}\end{array}\)

e) Với ∆x là số gia của đối số tại x ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \dfrac{1}{{x + \Delta x - 2}} - \dfrac{1}{{x - 2}}\\ = \dfrac{{x - 2 - x - \Delta x + 2}}{{\left( {x + \Delta x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{ - \Delta x}}{{\left( {x + \Delta x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x + \Delta x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x + \Delta x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x + 0 - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

f) Ta có: \(y = \dfrac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} = \dfrac{{2 - \left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{1 - \sqrt x }} = \dfrac{2}{{1 - \sqrt x }} - 1\)

Với ∆x là số gia của đối số tại x ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \dfrac{2}{{1 - \sqrt {x + \Delta x} }} - 1 - \left( {\dfrac{2}{{1 - \sqrt x }} - 1} \right)\\ = \dfrac{2}{{1 - \sqrt {x + \Delta x} }} - \dfrac{2}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right) - 2\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt {x + \Delta x} - \sqrt x } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {x + \Delta x - x} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{{2\Delta x}}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{2}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{2}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{2}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt x {{\left( {1 - \sqrt x } \right)}^2}}}\end{array}\)

Cho \(f\left( x \right) = \root 3 \of {x - 1}\).  Tính \(f'\left( 0 \right);f'\left( 1 \right).\)

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm f'(x) và thay x = 0, x = 1 vào công thức vừa tính xong.

Hướng dẫn giải:

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0=0\) ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {0 + \Delta x} \right) - f\left( 0 \right)\\ = \sqrt[3]{{0 + \Delta x - 1}} - \sqrt[3]{{0 - 1}}\\ = \sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{\sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1}}{{\Delta x}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta x - 1 + 1}}{{\Delta x\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{\Delta x - 1}}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{\Delta x - 1}}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1}}\\ = \dfrac{1}{{1 + 1 + 1}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow f'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0=1\) ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\ = \sqrt[3]{{1 + \Delta x - 1}} - \sqrt[3]{{1 - 1}}\\ = \sqrt[3]{{\Delta x}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{\sqrt[3]{{\Delta x}}}}{{\Delta x}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{\Delta x}}} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{\Delta x}}} \right)}^2}}} = + \infty \end{array}\)

Do đó không tồn tại f'(1).

Cho \(\varphi \left( x \right) = {8 \over x}\). Chứng minh rằng \(\varphi '\left( { - 2} \right) = \varphi '\left( 2 \right)\).

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm và thay x = -2, x = 2.

Hướng dẫn giải:

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại x ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \dfrac{8}{{x + \Delta x}} - \dfrac{8}{x}\\ = \dfrac{{8\left[ {x - \left( {x + \Delta x} \right)} \right]}}{{x.\left( {x + \Delta x} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 8\Delta x}}{{x.\left( {x + \Delta x} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 8}}{{x.\left( {x + \Delta x} \right)}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{ - 8}}{{x.\left( {x + \Delta x} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 8}}{{x\left( {x + 0} \right)}} = \dfrac{{ - 8}}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow \varphi '\left( x \right) = - \dfrac{8}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow \varphi '\left( 2 \right) = - \dfrac{8}{{{2^2}}} = - 2\\\varphi '\left( { - 2} \right) = - \dfrac{8}{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}} = - 2\\ \Rightarrow \varphi '\left( 2 \right) = \varphi '\left( { - 2} \right)\end{array}\)

Chứng minh rằng hàm số y = |x - 1| không có đạo hàm tại x = 1 nhưng liên tục tại điểm đó.

Phương pháp giải:

Hàm số y = f(x) liên tục tại \({x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại \({x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) tồn tại hữu hạn.

Hướng dẫn giải: 

Ta có:

\( \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\left| {x - 1} \right| - 0}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x - 1}}{{x - 1}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left| {x - 1} \right| - 0}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{ - x + 1}}{{x - 1}} = - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)

Do đó không tồn tại f'(1).

Lại có:

\( \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left| {x - 1} \right|\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 1 - 1 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left| {x - 1} \right|\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - x + 1} \right) = - 1 + 1 = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 0 = f\left( 1 \right)\end{array}\)

Do đó hàm số liên tục tại x = 1

Vậy ta có đpcm.

Chứng minh rằng hàm số \( y = {\rm{sign}}x = \left\{ \matrix{ 1,\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x > 0{\rm{ }} \hfill \cr 0,\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x = 0 \hfill \cr - 1,\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.\) không có đạo hàm tại x = 0.

Phương pháp giải:

Chứng minh hàm số không liên tục tại x = 0 và suy ra kết luận.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\( \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} 1 = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - 1} \right) = - 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\end{array}\)

Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\) nên hàm số không liên tục tại x = 0.

Do đó không có đạo hàm tại x = 0.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm (-1; -2) 

b) \( y = {x^4} - 2{x^2}\) tại điểm có hoành độ x = -2.

(Đề thi tốt nghiệp THPT 2008)

c) \( y = {{2x + 1} \over {x - 2}} \) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5

(Đề thi tốt nghiệp THPT 2009)

Phương pháp giải:

a) Công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

b) - Tìm hoành độ y₀.

- Thay vào công thức phương trình tiếp tuyến \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

c) - Tìm tọa độ tiếp điểm M(x₀; y₀)

- Thay vào công thức phương trình tiếp tuyến \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\( f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x \Rightarrow f'\left( { - 1} \right) = 9\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) là:

\( y = f'\left( { - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - 2 \\ \Leftrightarrow y = 9\left( {x + 1} \right) - 2 \\ \Leftrightarrow y = 9x + 7\)

b) Ta có:

\( f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x \Rightarrow f'\left( { - 2} \right) = 4.{\left( { - 2} \right)^3} - 4.\left( { - 2} \right) = - 24 \\ x = - 2 \Rightarrow y = f\left( { - 2} \right) = 8\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (-2; 8) là:

\( y = f'\left( { - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + 8 = - 24\left( {x + 2} \right) + 8 = - 24x - 40\)

Vậy y = - 24x - 40.

c) Ta có: \(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

Gọi điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm, khi đó \(f'\left( {{x_0}} \right) = k = - 5\)

\( \begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 5}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} = - 5\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 2 = 1\\{x_0} - 2 = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 7\\{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Tại điểm (3; 7) ta có phương trình tiếp tuyến: \(y = - 5\left( {x - 3} \right) + 7\) hay y = - 5x + 22

Tại điểm (1; -3) ta có phương trình tiếp tuyến: \(y = - 5\left( {x - 1} \right) - 3\) hay y = - 5x + 2

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = - 5x + 2;y = - 5x + 22.

Cho \(f(x) = 3x2 - 4x + 9\)

Tìm \(\dfrac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}}\) tại x = 1.

A. 2 - 3Δx       B. 2 + 3Δx

C. 1 + 3Δx       D. -2 + 5Δx

Phương pháp giải:

Tính Δf(1) ⇒ \(\dfrac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}}\)

Hướng dẫn giải:

Tại x = 1 ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta f\left( 1 \right) = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\ = 3{\left( {1 + \Delta x} \right)^2} - 4\left( {1 + \Delta x} \right) + 9\\ - \left( {{{3.1}^2} - 4.1 + 9} \right)\\ = 6\Delta x + 3{\left( {\Delta x} \right)^2} - 4\Delta x\\ = 2\Delta x + 3{\left( {\Delta x} \right)^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta f\left( x \right)}}{{\Delta x}} = \dfrac{{2\Delta x + 3{{\left( {\Delta x} \right)}^2}}}{{\Delta x}}\\ = 2 + 3\Delta x\end{array}\)

Chọn đáp án: B

Cho hàm số y = sin2x. Tìm \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) tại \(x = \dfrac{\pi }{4}\)

A. \( - \dfrac{{2{{\sin }^2}\Delta x}}{{\Delta x}}\)

B. \(\dfrac{{\sin \Delta x}}{{\Delta x}}\)

C. \(\dfrac{{2{{\sin }^2}\Delta x}}{{\Delta x}}\)

D. \(\dfrac{{3{{\sin }^2}\Delta x}}{{\Delta x}}\)

Phương pháp giải:

Tính Δy tại \(x = \dfrac{\pi }{4}\) ⇒ \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Hướng dẫn giải:

Tại \(x = \dfrac{\pi }{4}\) ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = f\left( {\dfrac{\pi }{4} + \Delta x} \right) - f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\\ = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + 2\Delta x} \right) - \sin \dfrac{\pi }{2}\\ = \cos \left( {2\Delta x} \right) - 1\\ = 1 - 2{\sin ^2}\Delta x - 1\\ = - 2{\sin ^2}\Delta x\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 2{{\sin }^2}\Delta x}}{{\Delta x}}\end{array}\)

Chọn đáp án: A

Cho hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}x\, \ nếu \,x < 0\\{x^2}\,\ nếu \,x \ge 0\end{array} \right.\)

Hãy tính:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} \) tại x = 0;

b) \( \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) tại x = 0.

A. a) -1; b) 1       B. a) 1; b) 1

C. a) 0; b) 0       D. a) 0; b) 1

Phương pháp giải:

Tính Δy tại x = 0 ⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} \) và \( \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

Hướng dẫn giải:

a) Với x > 0 thì y = x²

Tại x = 0 ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = {\left( {0 + \Delta x} \right)^2} - {0^2} = {\left( {\Delta x} \right)^2}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \dfrac{{{{\left( {\Delta x} \right)}^2}}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \left( {\Delta x} \right) = 0\end{array}\)

b) Với x < 0 thì y = x

Tại x = 0 ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta y = 0 + \Delta x - 0 = \Delta x\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \dfrac{{\Delta x}}{{\Delta x}} = 1\end{array}\)

Chọn đáp án: D

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{x + 2}}\) tại điểm có hoành độ x = 0

A. \(y = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{5}{2}\)

B. \(y = x + \dfrac{5}{2}\)

C. \(y = \dfrac{3}{4}x + 1\)

D. \(y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{2}\)

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến: y = f’(x_o)(x - x_o) + y_o.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(y = \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{x + 2}} \\= \dfrac{{\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 1}}{{x + 2}} \\= \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1}}{{x + 2}} \\= x + 2 + \dfrac{1}{{x + 2}}\)

\( \Rightarrow y' = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Tại x = 0 thì \(y'\left( 0 \right) = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {0 + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{4}\) và \(y\left( 0 \right) = 0 + 2 + \dfrac{1}{{0 + 2}} = \dfrac{5}{2}\)

Phương trình tiếp tuyến: \(y = \dfrac{3}{4}\left( {x - 0} \right) + \dfrac{5}{2} \) hay \( y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{2}.\)

Chọn đáp án: D

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \sqrt {2x + 1}\), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(\dfrac13\).

A. \(y = \dfrac{x}{2} + \dfrac{5}{3}\)

B. \(y = \dfrac{x}{3} - \dfrac{5}{3}\)

C. \(y = \dfrac{x}{3} + \dfrac{5}{3}\)

D. y = x - 1

Phương pháp giải:

- Giải phương trình \(y'=\dfrac13\) để tìm tọa độ tiếp điểm.

- Phương trình tiếp tuyến: y = f’(x_o)(x - x_o) + y_o.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(y' = \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm, ta có

\( \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = k = \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {2{x_0} + 1} }} = \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \sqrt {2{x_0} + 1} = 3\\ \Leftrightarrow 2{x_0} + 1 = 9\\ \Leftrightarrow {x_0} = 4\\ \Rightarrow {y_0} = 3\end{array}\)

Phương trình tiếp tuyến: \(y = \dfrac{1}{3}\left( {x - 4} \right) + 3 \) hay \(y = \dfrac{x}{3} + \dfrac{5}{3}.\)

Chọn đáp án: C