Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 1 - 7n\).

a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số;

b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số;

c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số.

Phương pháp giải:

a) Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) suy ra kết luận.

b) Sử dụng định nghĩa cấp số cộng \({u_{n + 1}} = {u_n} + d\) là cấp số cộng có công sai d.

c) Sử dụng công thức tính tổng \({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).

Hướng dẫn giải:

a) Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - 7\left( {n + 1} \right) - \left( {1 - 7n} \right) = - 7 < 0\)

Vậy dãy số giảm.

b) Do \({u_{n + 1}} = {u_n} - 7\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = - 6;d = - 7\).

Công thức truy hồi là \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 6\\{u_{n + 1}} = {u_n} - 7{\rm{ \ với \ }}n \ge 1\end{array} \right. \).

c) Ta có:

\( {S_{100}} = \dfrac{{{u_1}\left( {2{u_1} + 99d} \right)}}{2} = \dfrac{{ - 6\left[ {2.\left( { - 6} \right) + 99.\left( { - 7} \right)} \right]}}{2} = - 35250 \).

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

a) \({u_n} = 3n - 1\)

b) \( {u_n} = {2^n} + 1 \)

c) \({u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} - {n^2} \)

d) \( \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 1 - {u_n}\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) và kiểm tra cấp số cộng nếu \({u_{n + 1}} = {u_n} + d\).

Hướng dẫn giải:

a) \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) - 1 - 3n + 1 = 3\).

Vì \({u_{n + 1}} = {u_n} + 3\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = 2,d = 3\). 

b) \({u_{n + 1}} - {u_n} = {2^{n + 1}} + 1 - {2^n} - 1 = {2^n}\).

Vì \({2^n}\) không là hằng số nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số cộng.

c) Ta có \({u_n} = 2n + 1\).

Vì \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) + 1 - 2n - 1 = 2\), nên dãy đã cho là cấp số cộng với \({u_1} = 3;d = 2\).

d) Vì \({u_3} - {u_2} \ne {u_2} - {u_1}\)

Nên \( \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 1 - {u_n}\end{array} \right.\) không phải là cấp số cộng.

Tính số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2{u_5} = 0\\{S_4} = 14\end{array} \right.\)

b) \( \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_7} = 19\end{array} \right. \)

c) \( \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} - {u_3} = 10\\{u_1} + {u_6} = 7\end{array} \right. \)

d) \( \left\{ \begin{array}{l}{u_7} - {u_3} = 8\\{u_2}.{u_7} = 75\end{array} \right. \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \).

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: \({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

  \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2{u_5} = 0\\{S_4} = 14\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2.\left( {{u_1} + 4d} \right) = 0\\\dfrac{{4\left( {2{u_1} + 3d} \right)}}{2} = 14\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u_1} + 8d = 0\\2{u_1} + 3d = 7\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d = - 3\end{array} \right.\)

b) Ta có:

\( \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_7} = 19\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 6d = 19\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right. \)

c) Ta có:

\( \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} - {u_3} = 10\\{u_1} + {u_6} = 7\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1} + 4d - {u_1} - 2d = 10\\{u_1} + {u_1} + 5d = 7\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 10\\2{u_1} + 5d = 7\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 36\\d = - 13\end{array} \right. \)

d) Ta có:

\( \left\{ \begin{array}{l}{u_7} - {u_3} = 8\\{u_2}.{u_7} = 75\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 6d - {u_1} - 2d = 8\\\left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4d = 8\\u_1^2 + 7d.{u_1} + 6{d^2} = 75\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\u_1^2 + 14{u_1} - 51 = 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\{u_1} = 3,{u_1} = - 17\end{array} \right. .\)

Vậy \( {u_1} = 3,d = 2\) hoặc \({u_1} = - 17,d = 2\).

Tính số các số hạng của cấp số cộng \(\left( {{a_n}} \right)\), nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{a_2} + {a_4} + ... + {a_{2n}} = 126\\{a_2} + {a_{2n}} = 42\end{array} \right. \).

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Tính chất của cấp số cộng: \({a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d\) 

- Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: \({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{a_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

\({a_2} + {a_{2n}} = 42 \\\Leftrightarrow {a_1} + d + {a_1} + \left( {2n - 1} \right)d = 42 \\ \Leftrightarrow {a_1} + nd = 21\)

Lại có:

\({a_2} + {a_4} + ... + {a_{2n}} = 126 \\ \Leftrightarrow {a_1} + d + {a_1} + 3d + ... + {a_1} + \left( {2n - 1} \right)d = 126 \\ \Leftrightarrow n{a_1} + d\left( {1 + 3 + ... + 2n - 1} \right) = 126\)

Mà \(1;3;..;2n - 1\) là cấp số cộng công sai 2 gồm n số hạng, số hạng đầu bằng 1 nên:

 \(1 + 3 + .. + 2n - 1 = \dfrac{{n\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right).2} \right]}}{2} = {n^2}\)

Do đó \(n{a_1} + d.{n^2} = 126 \Leftrightarrow n\left( {{a_1} + nd} \right) = 126\)

Thay \({a_1} + nd = 21\) ta được \(21n = 126 \Leftrightarrow n = 6 \).

Vậy n = 6.

Tìm cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275\end{array} \right.\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = a\\u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2 = {b^2}\end{array} \right. \).

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất \({u_{k - 1}} + {u_{k + 1}} = 2{u_k} \).

b) Sử dụng công thức \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27{\rm{ }}\left( 1 \right)\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Áp dụng công thức \({u_1} + {u_3} = 2{u_2}\) suy ra \({u_2} = 9{\rm{ }}\left( 3 \right)\)

Thay \({u_2} = 9\) vào (1) và (2) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} = 18\\u_1^2 + u_3^2 = 194\end{array} \right.\)

Từ đây tìm được \({u_1} = 5,{u_3} = 13\) hoặc \({u_1} = 13,{u_3} = 5\).

Vậy ta có hai cấp số cộng 5, 9, 13 và 13, 9, 5.

b) Ta có:

\(\begin{array}{l} {b^2} = {u_1}^2 + {\left( {{u_1} + d} \right)^2} + ... + {\left[ {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]^2}\\ = n{u_1}^2 + 2{u_1}d\left[ {1 + 2 + ... + \left( {n - 1} \right)} \right] + {d^2}\left[ {{1^2} + {2^2} + ... + {{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right]\\ = n{u_1}^2 + n\left( {n - 1} \right){u_1}d + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n - 1} \right){d^2}}}{6}(1) \end{array}\)

Mặt khác

\(a = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \\ \Rightarrow 2a = 2n{u_1} + \left( {n - 1} \right)d \\ \Leftrightarrow {u_1} = \dfrac{{2a - \left( {n - 1} \right)d}}{{2n}} \).

Thay \({u_1}\) vào (1) ta được:

\(\begin{array}{l} {b^2} = n{\left[ {\frac{{2a - \left( {n - 1} \right)d}}{{2n}}} \right]^2} + n\left( {n - 1} \right).\frac{{2a - \left( {n - 1} \right)d}}{{2n}}d + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n - 1} \right){d^2}}}{6}\\ \Leftrightarrow {b^2} = \frac{{{{\left[ {2a - \left( {n - 1} \right)d} \right]}^2}}}{{4n}} + \frac{{\left( {n - 1} \right)\left[ {2a - \left( {n - 1} \right)d} \right]d}}{2} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n - 1} \right){d^2}}}{6} \end{array}\)

Kết quả \(d = \pm \sqrt {\dfrac{{12\left( {n{b^2} - {a^2}} \right)}}{{{n^2}\left( {{n^2} - 1} \right)}}} ; {u_1} = \dfrac{1}{n}\left[ {a - \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d} \right]\)

Tìm x từ phương trình

a) \(2 + 7 + 12 + ... + x = 245\) biết \(2,7,12,...,x\) là cấp số cộng

b) \( \left( {2x + 1} \right) + \left( {2x + 6} \right) + \left( {2x + 11} \right) + ... + \left( {2x + 96} \right) = 1010\), biết 1, 6, 11,... là cấp số cộng.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \).

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: \({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\) 

Hướng dẫn giải:

a) Ta có \({u_1} = 2,d = 5,{S_n} = 245\)

\( 245 = \dfrac{{n\left[ {2.2 + \left( {n - 1} \right)5} \right]}}{2} \Leftrightarrow 5{n^2} - n - 490 = 0\)

Giải ra được n = 10.

Từ đó tìm được \(x = u{_{10}} = 2 + 9.5 = 47\).

b) Xét cấp số cộng 1, 6, 11,..., 96. Ta có \(96 = 1 + \left( {n - 1} \right)5 \Rightarrow n = 20\).

Suy ra \({S_{20}} = 1 + 6 + 11 + ... + 96 = \dfrac{{20\left( {1 + 96} \right)}}{2} = 970\)

Và 2x.20 + 970 = 1010.

Từ đó x = 1.

Hãy chọn cấp số cộng trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau :

A. \({u_n} = {2^n} + 1\)

B. \({u_n} = \dfrac{{{3^n}}}{n}\)

C. \({u_n} = 5n\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n\,\ với\ \,n \ge 1\end{array} \right. \)

Phương pháp giải:

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là CSC nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} = d\) không đổi.

Hướng dẫn giải:

Đáp án C: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 5\left( {n + 1} \right) - 5n = 5\) nên làm cấp số cộng công sai d = 5 và số hạng đầu \({u_1} = 5 \).

Chọn C.

Cho cấp số cộng với \({u_1} = - 2,{u_{19}} = 52 \). Tổng của 20 số hạng đầu là:

A. 1060            B.  - 570

C. 530             D.  - 530

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) tìm d .

Sử dụng công thức \({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\) tính tổng n số hạng đầu.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \({u_{19}} = {u_1} + 18d \Leftrightarrow 52 = - 2 + 18d \Leftrightarrow d = 3 \).

Khi đó \({S_{20}} = \dfrac{{20.\left[ {2.\left( { - 2} \right) + \left( {20 - 1} \right).3} \right]}}{2} = 530 \).

Chọn C.

Cho cấp số cộng 5, x, y, 17 . Khi đó:

A. x = 9,y = 12

B. x = 8,y = 14

C. x = 7,y = 12

D. x = 9,y = 13

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({u_{n + 1}} - {u_n} = d \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: 5, x, y, 17 là cấp số cộng 

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 = y - x\\y - x = 17 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 5\\ - x + 2y = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 13\end{array} \right. .\)

Chọn D.