Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng
Dưới đây là hướng dẫn giải bài tập SBT Toán 11 Bài Cấp số cộng trang 123, 124 với nội dung gồm các bài tập có hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. eLib hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 3.18 trang 123 SBT Đại số & Giải tích 11
2. Giải bài 3.19 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11
3. Giải bài 3.20 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11
4. Giải bài 3.21 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11
5. Giải bài 3.22 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11
6. Giải bài 3.23 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11
7. Giải bài 3.24 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11
Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng
1. Giải bài 3.18 trang 123 SBT Đại số & Giải tích 11
Cho dãy số (un)(un) với un=1−7n.
a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số;
b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số;
c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số.
Phương pháp giải:
a) Xét hiệu un+1−un suy ra kết luận.
b) Sử dụng định nghĩa cấp số cộng un+1=un+d là cấp số cộng có công sai d.
c) Sử dụng công thức tính tổng Sn=n[2u1+(n−1)d]2.
Hướng dẫn giải:
a) Xét hiệu H=un+1−un=1−7(n+1)−(1−7n)=−7<0
Vậy dãy số giảm.
b) Do un+1=un−7 nên dãy số (un) là cấp số cộng với u1=−6;d=−7.
Công thức truy hồi là {u1=−6un+1=un−7 với n≥1.
c) Ta có:
S100=u1(2u1+99d)2=−6[2.(−6)+99.(−7)]2=−35250.
2. Giải bài 3.19 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11
Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
a) un=3n−1
b) un=2n+1
c) un=(n+1)2−n2
d) {u1=3un+1=1−un
Phương pháp giải:
Xét hiệu un+1−un và kiểm tra cấp số cộng nếu un+1=un+d.
Hướng dẫn giải:
a) un+1−un=3(n+1)−1−3n+1=3.
Vì un+1=un+3 nên dãy số (un) là cấp số cộng với u1=2,d=3.
b) un+1−un=2n+1+1−2n−1=2n.
Vì 2n không là hằng số nên dãy số (un) không phải là cấp số cộng.
c) Ta có un=2n+1.
Vì un+1−un=2(n+1)+1−2n−1=2, nên dãy đã cho là cấp số cộng với u1=3;d=2.
d) Vì u3−u2≠u2−u1
Nên {u1=3un+1=1−un không phải là cấp số cộng.
3. Giải bài 3.20 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11
Tính số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un), biết:
a) {u1+2u5=0S4=14
b) {u4=10u7=19
c) {u1+u5−u3=10u1+u6=7
d) {u7−u3=8u2.u7=75
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng: un=u1+(n−1)d.
Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: Sn=n[2u1+(n−1)d]2
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
{u1+2u5=0S4=14⇔{u1+2.(u1+4d)=04(2u1+3d)2=14⇔{3u1+8d=02u1+3d=7⇔{u1=8d=−3
b) Ta có:
{u4=10u7=19⇔{u1+3d=10u1+6d=19⇔{u1=1d=3
c) Ta có:
{u1+u5−u3=10u1+u6=7⇔{u1+u1+4d−u1−2d=10u1+u1+5d=7⇔{u1+2d=102u1+5d=7⇔{u1=36d=−13
d) Ta có:
{u7−u3=8u2.u7=75⇔{u1+6d−u1−2d=8(u1+d)(u1+6d)=75⇔{4d=8u21+7d.u1+6d2=75⇔{d=2u21+14u1−51=0⇔{d=2u1=3,u1=−17.
Vậy u1=3,d=2 hoặc u1=−17,d=2.
4. Giải bài 3.21 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11
Tính số các số hạng của cấp số cộng (an), nếu {a2+a4+...+a2n=126a2+a2n=42.
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Tính chất của cấp số cộng: an=a1+(n−1)d
- Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: Sn=n[2a1+(n−1)d]2.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
a2+a2n=42⇔a1+d+a1+(2n−1)d=42⇔a1+nd=21
Lại có:
a2+a4+...+a2n=126⇔a1+d+a1+3d+...+a1+(2n−1)d=126⇔na1+d(1+3+...+2n−1)=126
Mà 1;3;..;2n−1 là cấp số cộng công sai 2 gồm n số hạng, số hạng đầu bằng 1 nên:
1+3+..+2n−1=n[2.1+(n−1).2]2=n2
Do đó na1+d.n2=126⇔n(a1+nd)=126
Thay a1+nd=21 ta được 21n=126⇔n=6.
Vậy n = 6.
5. Giải bài 3.22 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11
Tìm cấp số cộng (un) biết
a) {u1+u2+u3=27u21+u22+u23=275.
b) {u1+u2+...+un=au21+u22+...+u2n=b2.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng tính chất uk−1+uk+1=2uk.
b) Sử dụng công thức un=u1+(n−1)d.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có hệ {u1+u2+u3=27(1)u21+u22+u23=275(2)
Áp dụng công thức u1+u3=2u2 suy ra u2=9(3)
Thay u2=9 vào (1) và (2) ta được {u1+u3=18u21+u23=194
Từ đây tìm được u1=5,u3=13 hoặc u1=13,u3=5.
Vậy ta có hai cấp số cộng 5, 9, 13 và 13, 9, 5.
b) Ta có:
b2=u12+(u1+d)2+...+[u1+(n−1)d]2=nu12+2u1d[1+2+...+(n−1)]+d2[12+22+...+(n−1)2]=nu12+n(n−1)u1d+n(n−1)(2n−1)d26(1)
Mặt khác
a=n[2u1+(n−1)d]2⇒2a=2nu1+(n−1)d⇔u1=2a−(n−1)d2n.
Thay u1 vào (1) ta được:
b2=n[2a−(n−1)d2n]2+n(n−1).2a−(n−1)d2nd+n(n−1)(2n−1)d26⇔b2=[2a−(n−1)d]24n+(n−1)[2a−(n−1)d]d2+n(n−1)(2n−1)d26
Kết quả d=±√12(nb2−a2)n2(n2−1);u1=1n[a−n(n−1)2d]
6. Giải bài 3.23 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11
Tìm x từ phương trình
a) 2+7+12+...+x=245 biết 2,7,12,...,x là cấp số cộng
b) (2x+1)+(2x+6)+(2x+11)+...+(2x+96)=1010, biết 1, 6, 11,... là cấp số cộng.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức un=u1+(n−1)d.
Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: Sn=n[2u1+(n−1)d]2
Hướng dẫn giải:
a) Ta có u1=2,d=5,Sn=245
245=n[2.2+(n−1)5]2⇔5n2−n−490=0
Giải ra được n = 10.
Từ đó tìm được x=u10=2+9.5=47.
b) Xét cấp số cộng 1, 6, 11,..., 96. Ta có 96=1+(n−1)5⇒n=20.
Suy ra S20=1+6+11+...+96=20(1+96)2=970
Và 2x.20 + 970 = 1010.
Từ đó x = 1.
7. Giải bài 3.24 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11
Hãy chọn cấp số cộng trong các dãy số (un) sau :
A. un=2n+1
B. un=3nn
C. un=5n
D. {u1=1un+1=un+n với n≥1
Phương pháp giải:
Dãy số (un) là CSC nếu un+1−un=d không đổi.
Hướng dẫn giải:
Đáp án C: un+1−un=5(n+1)−5n=5 nên làm cấp số cộng công sai d = 5 và số hạng đầu u1=5.
Chọn C.
8. Giải bài 3.25 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11
Cho cấp số cộng với u1=−2,u19=52. Tổng của 20 số hạng đầu là:
A. 1060 B. - 570
C. 530 D. - 530
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức un=u1+(n−1)d tìm d .
Sử dụng công thức Sn=n[2u1+(n−1)d]2 tính tổng n số hạng đầu.
Hướng dẫn giải:
Ta có: u19=u1+18d⇔52=−2+18d⇔d=3.
Khi đó S20=20.[2.(−2)+(20−1).3]2=530.
Chọn C.
9. Giải bài 3.26 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11
Cho cấp số cộng 5, x, y, 17 . Khi đó:
A. x = 9,y = 12
B. x = 8,y = 14
C. x = 7,y = 12
D. x = 9,y = 13
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức un+1−un=d.
Hướng dẫn giải:
Ta có: 5, x, y, 17 là cấp số cộng
⇔{x−5=y−xy−x=17−y⇔{2x−y=5−x+2y=17⇔{x=9y=13.
Chọn D.