Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

Dưới đây là hướng dẫn giải bài tập SBT Toán 11 Bài Cấp số cộng trang 123, 124 với nội dung gồm các bài tập có hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. eLib hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.

Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

1. Giải bài 3.18 trang 123 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho dãy số (un)(un) với un=17n.

a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số;

b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số;

c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số.

Phương pháp giải:

a) Xét hiệu un+1un suy ra kết luận.

b) Sử dụng định nghĩa cấp số cộng un+1=un+d là cấp số cộng có công sai d.

c) Sử dụng công thức tính tổng Sn=n[2u1+(n1)d]2.

Hướng dẫn giải:

a) Xét hiệu H=un+1un=17(n+1)(17n)=7<0

Vậy dãy số giảm.

b) Do un+1=un7 nên dãy số (un) là cấp số cộng với u1=6;d=7.

Công thức truy hồi là {u1=6un+1=un7 vi n1.

c) Ta có:

S100=u1(2u1+99d)2=6[2.(6)+99.(7)]2=35250.

2. Giải bài 3.19 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11

Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

a) un=3n1

b) un=2n+1

c) un=(n+1)2n2

d) {u1=3un+1=1un

Phương pháp giải:

Xét hiệu un+1un và kiểm tra cấp số cộng nếu un+1=un+d.

Hướng dẫn giải:

a) un+1un=3(n+1)13n+1=3.

Vì un+1=un+3 nên dãy số (un) là cấp số cộng với u1=2,d=3

b) un+1un=2n+1+12n1=2n.

Vì 2n không là hằng số nên dãy số (un) không phải là cấp số cộng.

c) Ta có un=2n+1.

un+1un=2(n+1)+12n1=2, nên dãy đã cho là cấp số cộng với u1=3;d=2.

d) Vì u3u2u2u1

Nên {u1=3un+1=1un không phải là cấp số cộng.

3. Giải bài 3.20 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11

Tính số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un), biết:

a) {u1+2u5=0S4=14

b) {u4=10u7=19

c) {u1+u5u3=10u1+u6=7

d) {u7u3=8u2.u7=75

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng: un=u1+(n1)d.

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: Sn=n[2u1+(n1)d]2

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

  {u1+2u5=0S4=14{u1+2.(u1+4d)=04(2u1+3d)2=14{3u1+8d=02u1+3d=7{u1=8d=3

b) Ta có:

{u4=10u7=19{u1+3d=10u1+6d=19{u1=1d=3

c) Ta có:

{u1+u5u3=10u1+u6=7{u1+u1+4du12d=10u1+u1+5d=7{u1+2d=102u1+5d=7{u1=36d=13

d) Ta có:

{u7u3=8u2.u7=75{u1+6du12d=8(u1+d)(u1+6d)=75{4d=8u21+7d.u1+6d2=75{d=2u21+14u151=0{d=2u1=3,u1=17.

Vậy u1=3,d=2 hoặc u1=17,d=2.

4. Giải bài 3.21 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11

Tính số các số hạng của cấp số cộng (an), nếu {a2+a4+...+a2n=126a2+a2n=42.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Tính chất của cấp số cộng: an=a1+(n1)d 

- Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: Sn=n[2a1+(n1)d]2.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

a2+a2n=42a1+d+a1+(2n1)d=42a1+nd=21

Lại có:

a2+a4+...+a2n=126a1+d+a1+3d+...+a1+(2n1)d=126na1+d(1+3+...+2n1)=126

Mà 1;3;..;2n1 là cấp số cộng công sai 2 gồm n số hạng, số hạng đầu bằng 1 nên:

 1+3+..+2n1=n[2.1+(n1).2]2=n2

Do đó na1+d.n2=126n(a1+nd)=126

Thay a1+nd=21 ta được 21n=126n=6.

Vậy n = 6.

5. Giải bài 3.22 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm cấp số cộng (un) biết

a) {u1+u2+u3=27u21+u22+u23=275.

b) {u1+u2+...+un=au21+u22+...+u2n=b2.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất uk1+uk+1=2uk.

b) Sử dụng công thức un=u1+(n1)d.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có hệ {u1+u2+u3=27(1)u21+u22+u23=275(2)

Áp dụng công thức u1+u3=2u2 suy ra u2=9(3)

Thay u2=9 vào (1) và (2) ta được {u1+u3=18u21+u23=194

Từ đây tìm được u1=5,u3=13 hoặc u1=13,u3=5.

Vậy ta có hai cấp số cộng 5, 9, 13 và 13, 9, 5.

b) Ta có:

b2=u12+(u1+d)2+...+[u1+(n1)d]2=nu12+2u1d[1+2+...+(n1)]+d2[12+22+...+(n1)2]=nu12+n(n1)u1d+n(n1)(2n1)d26(1)

Mặt khác

a=n[2u1+(n1)d]22a=2nu1+(n1)du1=2a(n1)d2n.

Thay u1 vào (1) ta được:

b2=n[2a(n1)d2n]2+n(n1).2a(n1)d2nd+n(n1)(2n1)d26b2=[2a(n1)d]24n+(n1)[2a(n1)d]d2+n(n1)(2n1)d26

Kết quả d=±12(nb2a2)n2(n21);u1=1n[an(n1)2d]

6. Giải bài 3.23 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm x từ phương trình

a) 2+7+12+...+x=245 biết 2,7,12,...,x là cấp số cộng

b) (2x+1)+(2x+6)+(2x+11)+...+(2x+96)=1010, biết 1, 6, 11,... là cấp số cộng.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức un=u1+(n1)d.

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: Sn=n[2u1+(n1)d]2 

Hướng dẫn giải:

a) Ta có u1=2,d=5,Sn=245

245=n[2.2+(n1)5]25n2n490=0

Giải ra được n = 10.

Từ đó tìm được x=u10=2+9.5=47.

b) Xét cấp số cộng 1, 6, 11,..., 96. Ta có 96=1+(n1)5n=20.

Suy ra S20=1+6+11+...+96=20(1+96)2=970

Và 2x.20 + 970 = 1010.

Từ đó x = 1.

7. Giải bài 3.24 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11

Hãy chọn cấp số cộng trong các dãy số (un) sau :

A. un=2n+1

B. un=3nn

C. un=5n

D. {u1=1un+1=un+n vi n1

Phương pháp giải:

Dãy số (un) là CSC nếu un+1un=d không đổi.

Hướng dẫn giải:

Đáp án C: un+1un=5(n+1)5n=5 nên làm cấp số cộng công sai d = 5 và số hạng đầu u1=5.

Chọn C.

8. Giải bài 3.25 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho cấp số cộng với u1=2,u19=52. Tổng của 20 số hạng đầu là:

A. 1060            B.  - 570

C. 530             D.  - 530

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức un=u1+(n1)d tìm d .

Sử dụng công thức Sn=n[2u1+(n1)d]2 tính tổng n số hạng đầu.

Hướng dẫn giải:

Ta có: u19=u1+18d52=2+18dd=3.

Khi đó S20=20.[2.(2)+(201).3]2=530.

Chọn C.

9. Giải bài 3.26 trang 124 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho cấp số cộng 5, x, y, 17 . Khi đó:

A. x = 9,y = 12

B. x = 8,y = 14

C. x = 7,y = 12

D. x = 9,y = 13

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức un+1un=d.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 5, x, y, 17 là cấp số cộng 

{x5=yxyx=17y{2xy=5x+2y=17{x=9y=13.

Chọn D.

Ngày:19/10/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM