Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Tìm số hạng thứ năm trong khai triển \({\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)^{10}}\), mà trong khai triển đó số mũ của x giảm dần.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức Nhị thức Niu-tơn

\({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

- Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: \(x^m.x^n=x^{m+n};\ \dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n}\) để thu gọn biểu thức.

- Để tìm số hạng thứ k+1 ta cho số mũ của x bằng k và tính số hạng thứ k+1.

Hướng dẫn giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển \({\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)^{10}} \) là:

\(T_{k+1}={C_{10}^k{x^{10 - k}}{{\left( {\dfrac{2}{x}} \right)}^k}} \) \( = C_{10}^k{x^{10 - k}}.\frac{{{2^k}}}{{{x^k}}} = C_{10}^k{x^{10 - k - k}}{.2^k}\) \(= C_{10}^k 2^k x^{10 - 2k}\)

Khi đó số hạng thức 5 ứng với k+1=5 hay k=4 là:

\(T_{ 5} = C_{10}^4 2^4 x^{10 - 2.4} =C_{10}^4 2^4 x^2= 3360{x^2}\)

Vậy \({T_5} = 3360{x^2}\).

2. Giải bài 2.33 trang 79 SBT Đại số & Giải tích 11

Viết khai triển của \({(1+x)}^6\).

a) Dùng ba số hạng đầu để tính gần đúng \(1,{01^6}\).

b) Dùng máy tính để kiểm tra kết quả trên.

Phương pháp giải:

- Viết khai triển của \({(1+x)}^6\) theo công thức nhị thức Niu-tơn:

\({\left( {a + b} \right)^n} \\= \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k} \) \(= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Với n = 6, a = 1, b = x.

a) - Ta tách \(1,01^6=(1+0,01)^6\) sau đó sử dụng công thức khai triển của \({(1+x)}^6=1+6x+15x^2+20x^3+15x^4+6x^5+x^6\)

- Tính tổng ba số hạng đầu.

b) Sử dụng máy tính casio nhấn phép tính \(1,01^6\) để có kết quả.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\((1 + x)^6 \\= \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{x^k}} \\= C_6^0{x^0} + C_6^1{x^1} + C_6^2{x^2} + C_6^3{x^3} C_6^4{x^4}+C_6^5{x^5}+ C_6^6{x^6} \\= 1 + 6x + 15{x^2} + 20{x^3} + 15{x^4} + 6{x^5} + {x^6}\)

a) Ta có khai triển:

\({\left( {1 + x} \right)^6} = 1 + 6x + 15{x^2} + 20{x^3} + 15{x^4} + 6{x^5} + {x^6}\)

Nên \(1,{01^6} = {\left( {1 + 0,01} \right)^6} \approx 1 + 6 \times 0,01 + 15 \times {\left( {0,01} \right)^2} = 1,0615\).

b) Dùng máy tính ta nhận được \(1,{01^6} \approx 1,061520151\).

Trong khai triển \({\left( {1 + ax} \right)^n}\) ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là \(252{x^2}\). Hãy tìm a và n.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức Nhị thức Niu-tơn:

\({\left( {a + b} \right)^n} \\= \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k} \) \(= C_n^1{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Với a = 1, b = ax sau đó đồng nhất các số hạng thứ nhất, thứ 2, thứ 3 với các giá trị cho ở đề bài.

- Sử dụng công thức lũy thừa của một tích: \({(x.y)^\alpha } = {x^\alpha }{y^\alpha }\) để thu gọn biểu thức.

- Sử dụng công thức: \(C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {1 + ax} \right)^n} \\= \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{(ax)^k} \) \(= \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^k}{x^k} \) \(= 1 + C_n^1ax + C_n^2{a^2}{x^2} + ...\)

Theo bài ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}C_n^1a = 24\\C_n^2{a^2} = 252\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}na = 24\\\dfrac{{n\left( {n - 1} \right){a^2}}}{2} = 252\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}na = 24\\\left( {n - 1} \right)a = 21\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\n = 8.\end{array} \right.\)

Trong khai triển của \({\left( {x + a} \right)^3}{\left( {x - b} \right)^6}\), hệ số của \({x^7}\) là - 9 và không có số hạng chứa \({x^8}\). Tìm a và b.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức khai triển Nhị thức Niu-tơn.

- Sử dụng công thức lũy thừa của một tích \({(xy)^\alpha } = {x^\alpha }{y^\alpha }\) để rút gọn biểu thức

- Nhóm các số hạng có chứa \({x^7}\) lại, và các số hạng có \({x^8}\) lại, đồng nhất hệ số của các số hạng này với giá trị đề bài đã cho.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {x + a} \right)^3}{\left( {x - b} \right)^6} = \sum\limits_{m = 0}^3 {C_3^m{x^{3 - m}}{a^m}} \sum\limits_{n = 0}^6 {C_6^n{x^{6 - n}}{{( - b)}^n}} \\= \left( {C_3^0{x^3} + C_3^1{x^2}a + C_3^2x{a^2} + C_3^3{a^3}} \right) [ C_6^0{x^6} + C_6^1{x^5}( - b) + \\ C_6^2{x^4}{{(-b)}^2} + C_6^3{x^3}{{( - b)}^3} + C_6^4{x^2}{{(-b)}^4} + C_6^5x{{( - b)}^5} + C_6^6{{(-b)}^6}] \)

Số hạng chứa \({x^7}\) là \([C_3^0.C_6^2{(- b)}^2 +C_3^1a.C_6^1{( - b)} + C_3^2a^2C_6^0 ]x^7\)

Số hạng chứa \({x^8}\) là \(\left[ {C_3^0.C_6^1\left( { - b} \right) + C_3^1a.C_6^0} \right]{x^8}\).

Theo bài ra ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}15{b^2} - 18ab + 3{a^2} = - 9\\ - 6b + 3a = 0\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\{b^2} = 1\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 1.\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển \( {\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} \) nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 97.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn:

 \( {\left( {a + b} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n} \) với \(a=x^2, b=-\dfrac{2}{x} \).

- Tính tổng các hệ số của ba số hạng đầu đồng nhất với giá trị đề bài cho để tìm n.

- Sau đó thay n vào khai triển \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} \) sử dụng các công thức \( x^m.x^n=x^{m+n} ; \dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n} ; {\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha .\beta }} \) để thu gọn biểu thức.

- Để tìm hệ số của \(x^4\) ta cho số mũ của x bằng 4, giải phương trình tìm k và tính hệ số của \(x^4\).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\( {\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} + C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n - 1}}.\left( { - \dfrac{2}{x}} \right) + C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n - 2}}.{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)^2} + ...\)

Theo giả thiết, ta có:

\( \begin{array}{l}C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97\\ \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left( {n - 1} \right) - 97 = 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\\n = - 6{\rm{ }}\left( \text{loại} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy n = 8. Từ đó ta có:

\( {\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}{{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)}^k} } =\sum\limits_{k = 0}^8 {{{\left( { - 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}} \).

Như vậy, ta phải có \( 16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4\).  Do đó hệ số của số hạng chứa \(x^4\) là \( {\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120 \).

Tập hợp E có n phần tử thì số tập hợp con của E (kể cả tập hợp rỗng và tập E) là:

A. \(n^2\)               B. \(C_n^2\)

C. \(2^n\)               D. n!

Phương pháp giải:

- Tập con của E chia ra n+1 trường hợp: không có phần tử nào (tập rỗng), có một phần tử, có hai phần tử,… có n phần tử.

- Số tập con trong mỗi trường hợp được tính bằng cách sử dụng tổ hợp.

- Số tập con của E hoàn thành bởi một trong nhiều trường hợp nên sử dụng quy tắc cộng.

- Sử dụng công thức khai triển Nhị thức Niu-tơn.

Hướng dẫn giải:

Số tập con rỗng của E là số cách chọn ra 0 phần tử trong n phần tử là \(C_n^0\)

Số tập con có 1 phần tử của  E  là số cách chọn ra  1  phần tử trong  n  phần tử là \( C_n^1\)

Số tập con có 2 phần tử của  E  là số cách chọn ra  2  phần tử trong  n  phần tử là \( C_n^2\)

Số các tập con có k phần tử \( (0\le k\le n) \) của tập hợp E là số cách chọn ra k phần tử trong n phần tử của E là \(C_n^k\)

Số tập con có n phần tử của E là số cách chọn ra n phần tử trong n phần tử là \( C_n^n\)

Do đó số tâp con của E là \( C_n^0+C_n^1+ C_n^2+…+ C_n^n= \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} = {(1 + 1)^n} = {2^n}\)

Vậy đáp án: C.

Hệ số của \( x^{31} \) trong khai triển của \( {\left( {x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}} \) là :

A. 9880               B. 9980

C. 10080             D. 10980

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn \( {\left( {a + b} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k} \) với \(a=x, b=\dfrac{1}{x^2}, n=40 \)

Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: \( x^m.x^n=x^{m+n} ; \dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n} \) để thu gọn biểu thức.

Để tìm hệ số của \( x^{31} \) ta cho số mũ của x bằng 31, giải phương trình tìm k và tính hệ số của \( x^{31} \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}} = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 - k}}{\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k{x^{40 - k - 2k}} = } \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k{x^{40 - 3k}}} \)

Vì đề yêu cầu tìm hệ số của \( x^{31} \) khi đó \( 40-3k=31 \Leftrightarrow k=3\)

Vậy hệ số của \( x^{31} \) là \( C_{40}^3=9880\)

Hệ số của \(x^{25}y^{10} \) trong khai triển của \( {(x^3+xy)}^{15} \) là:

A. \( C_{15}^5 \)                    B. \( C_{25}^{10}\)

C. \( C_{15}^{10} \)                   D. \( C_{25}^{15}\)

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn:

 \( {\left( {a + b} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k} với a=x^3, b=xy, n=15 \).

- Sử dụng các công: \( x^m.x^n=x^{m+n} ; \dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n} ; {\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha .\beta }} ; {(x.y)^\alpha } = {x^\alpha }{y^\alpha } \) để thu gọn biểu thức.

- Để tìm hệ số của  \(x^{25}y^{10} \) ta cho số mũ của x bằng 25 và số mũ của y bằng 10, giải phương trình tìm k và tính hệ số của \(x^{25}y^{10} \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left( {{x^3}} \right)^{15 - k}}{\left( {xy} \right)^k} =\sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{x^{45 - 3k}}{x^k}{y^k} } = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{x^{45 - 2k}}{y^k}} \)

Vì đề yêu cầu tìm hệ số của \(x^{25}y^{10} \) khi đó \( x^{45-2k}y^k= x^{25}y^{10} nên \left\{ \begin{array}{l}45 - 2k = 25\\k = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 10\)

Vậy hệ số của \(x^{25}y^{10} \) là \( C_{15}^{10} \).