Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

eLib xin chia sẻ với các em học sinh lớp 11 nội dung giải bài tập SBT bài Nhị thức Niu-tơn bên dưới đây. Với nội dung đầy đủ 8 bài tập trang 79 đi kèm đó là phương pháp và hướng dẫn giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu giúp các em học tập tốt hơn. Sau đây mời các em cùng tham khảo.

Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

1. Giải bài 2.32 trang 79 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm số hạng thứ năm trong khai triển \({\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)^{10}}\), mà trong khai triển đó số mũ của x giảm dần.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức Nhị thức Niu-tơn

\({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

- Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: \(x^m.x^n=x^{m+n};\ \dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n}\) để thu gọn biểu thức.

- Để tìm số hạng thứ k+1 ta cho số mũ của x bằng k và tính số hạng thứ k+1.

Hướng dẫn giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển \({\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)^{10}} \) là:

\(T_{k+1}={C_{10}^k{x^{10 - k}}{{\left( {\dfrac{2}{x}} \right)}^k}} \) \( = C_{10}^k{x^{10 - k}}.\frac{{{2^k}}}{{{x^k}}} = C_{10}^k{x^{10 - k - k}}{.2^k}\) \(= C_{10}^k 2^k x^{10 - 2k}\)

Khi đó số hạng thức 5 ứng với k+1=5 hay k=4 là:

\(T_{ 5} = C_{10}^4 2^4 x^{10 - 2.4} =C_{10}^4 2^4 x^2= 3360{x^2}\)

Vậy \({T_5} = 3360{x^2}\).

2. Giải bài 2.33 trang 79 SBT Đại số & Giải tích 11

Viết khai triển của \({(1+x)}^6\).

a) Dùng ba số hạng đầu để tính gần đúng \(1,{01^6}\).

b) Dùng máy tính để kiểm tra kết quả trên.

Phương pháp giải:

- Viết khai triển của \({(1+x)}^6\) theo công thức nhị thức Niu-tơn:

\({\left( {a + b} \right)^n} \\= \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k} \) \(= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Với n = 6, a = 1, b = x.

a) - Ta tách \(1,01^6=(1+0,01)^6\) sau đó sử dụng công thức khai triển của \({(1+x)}^6=1+6x+15x^2+20x^3+15x^4+6x^5+x^6\)

- Tính tổng ba số hạng đầu.

b) Sử dụng máy tính casio nhấn phép tính \(1,01^6\) để có kết quả.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\((1 + x)^6 \\= \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{x^k}} \\= C_6^0{x^0} + C_6^1{x^1} + C_6^2{x^2} + C_6^3{x^3} C_6^4{x^4}+C_6^5{x^5}+ C_6^6{x^6} \\= 1 + 6x + 15{x^2} + 20{x^3} + 15{x^4} + 6{x^5} + {x^6}\)

a) Ta có khai triển:

\({\left( {1 + x} \right)^6} = 1 + 6x + 15{x^2} + 20{x^3} + 15{x^4} + 6{x^5} + {x^6}\)

Nên \(1,{01^6} = {\left( {1 + 0,01} \right)^6} \approx 1 + 6 \times 0,01 + 15 \times {\left( {0,01} \right)^2} = 1,0615\).

b) Dùng máy tính ta nhận được \(1,{01^6} \approx 1,061520151\).

3. Giải bài 2.34 trang 79 SBT Đại số & Giải tích 11

Trong khai triển \({\left( {1 + ax} \right)^n}\) ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là \(252{x^2}\). Hãy tìm a và n.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức Nhị thức Niu-tơn:

\({\left( {a + b} \right)^n} \\= \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k} \) \(= C_n^1{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Với a = 1, b = ax sau đó đồng nhất các số hạng thứ nhất, thứ 2, thứ 3 với các giá trị cho ở đề bài.

- Sử dụng công thức lũy thừa của một tích: \({(x.y)^\alpha } = {x^\alpha }{y^\alpha }\) để thu gọn biểu thức.

- Sử dụng công thức: \(C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {1 + ax} \right)^n} \\= \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{(ax)^k} \) \(= \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^k}{x^k} \) \(= 1 + C_n^1ax + C_n^2{a^2}{x^2} + ...\)

Theo bài ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}C_n^1a = 24\\C_n^2{a^2} = 252\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}na = 24\\\dfrac{{n\left( {n - 1} \right){a^2}}}{2} = 252\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}na = 24\\\left( {n - 1} \right)a = 21\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\n = 8.\end{array} \right.\)

4. Giải bài 2.35 trang 79 SBT Đại số & Giải tích 11

Trong khai triển của \({\left( {x + a} \right)^3}{\left( {x - b} \right)^6}\), hệ số của \({x^7}\) là - 9 và không có số hạng chứa \({x^8}\). Tìm a và b.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức khai triển Nhị thức Niu-tơn.

- Sử dụng công thức lũy thừa của một tích \({(xy)^\alpha } = {x^\alpha }{y^\alpha }\) để rút gọn biểu thức

- Nhóm các số hạng có chứa \({x^7}\) lại, và các số hạng có \({x^8}\) lại, đồng nhất hệ số của các số hạng này với giá trị đề bài đã cho.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {x + a} \right)^3}{\left( {x - b} \right)^6} = \sum\limits_{m = 0}^3 {C_3^m{x^{3 - m}}{a^m}} \sum\limits_{n = 0}^6 {C_6^n{x^{6 - n}}{{( - b)}^n}} \\= \left( {C_3^0{x^3} + C_3^1{x^2}a + C_3^2x{a^2} + C_3^3{a^3}} \right) [ C_6^0{x^6} + C_6^1{x^5}( - b) + \\ C_6^2{x^4}{{(-b)}^2} + C_6^3{x^3}{{( - b)}^3} + C_6^4{x^2}{{(-b)}^4} + C_6^5x{{( - b)}^5} + C_6^6{{(-b)}^6}] \)

Số hạng chứa \({x^7}\) là \([C_3^0.C_6^2{(- b)}^2 +C_3^1a.C_6^1{( - b)} + C_3^2a^2C_6^0 ]x^7\)

Số hạng chứa \({x^8}\)\(\left[ {C_3^0.C_6^1\left( { - b} \right) + C_3^1a.C_6^0} \right]{x^8}\).

Theo bài ra ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}15{b^2} - 18ab + 3{a^2} = - 9\\ - 6b + 3a = 0\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\{b^2} = 1\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 1.\end{array} \right.\end{array} \right.\)

5. Giải bài 2.36 trang 79 SBT Đại số & Giải tích 11

Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển \( {\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} \) nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 97.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn:

 \( {\left( {a + b} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n} \) với \(a=x^2, b=-\dfrac{2}{x} \).

- Tính tổng các hệ số của ba số hạng đầu đồng nhất với giá trị đề bài cho để tìm n.

- Sau đó thay n vào khai triển \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} \) sử dụng các công thức \( x^m.x^n=x^{m+n} ; \dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n} ; {\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha .\beta }} \) để thu gọn biểu thức.

- Để tìm hệ số của \(x^4\) ta cho số mũ của x bằng 4, giải phương trình tìm k và tính hệ số của \(x^4\).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\( {\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} + C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n - 1}}.\left( { - \dfrac{2}{x}} \right) + C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n - 2}}.{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)^2} + ...\)

Theo giả thiết, ta có:

\( \begin{array}{l}C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97\\ \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left( {n - 1} \right) - 97 = 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\\n = - 6{\rm{ }}\left( \text{loại} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy n = 8. Từ đó ta có:

\( {\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}{{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)}^k} } =\sum\limits_{k = 0}^8 {{{\left( { - 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}} \).

Như vậy, ta phải có \( 16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4\).  Do đó hệ số của số hạng chứa \(x^4\) là \( {\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120 \).

6. Giải bài 2.37 trang 79 SBT Đại số & Giải tích 11

Tập hợp E có n phần tử thì số tập hợp con của E (kể cả tập hợp rỗng và tập E) là:

A. \(n^2\)               B. \(C_n^2\)

C. \(2^n\)               D. n!

Phương pháp giải:

- Tập con của E chia ra n+1 trường hợp: không có phần tử nào (tập rỗng), có một phần tử, có hai phần tử,… có n phần tử.

- Số tập con trong mỗi trường hợp được tính bằng cách sử dụng tổ hợp.

- Số tập con của E hoàn thành bởi một trong nhiều trường hợp nên sử dụng quy tắc cộng.

- Sử dụng công thức khai triển Nhị thức Niu-tơn.

Hướng dẫn giải:

Số tập con rỗng của E là số cách chọn ra 0 phần tử trong n phần tử là \(C_n^0\)

Số tập con có 1 phần tử của  E  là số cách chọn ra  1  phần tử trong  n  phần tử là \( C_n^1\)

Số tập con có 2 phần tử của  E  là số cách chọn ra  2  phần tử trong  n  phần tử là \( C_n^2\)

Số các tập con có k phần tử \( (0\le k\le n) \) của tập hợp E là số cách chọn ra k phần tử trong n phần tử của E là \(C_n^k\)

Số tập con có n phần tử của E là số cách chọn ra n phần tử trong n phần tử là \( C_n^n\)

Do đó số tâp con của E là \( C_n^0+C_n^1+ C_n^2+…+ C_n^n= \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} = {(1 + 1)^n} = {2^n}\)

Vậy đáp án: C.

7. Giải bài 2.38 trang 79 SBT Đại số & Giải tích 11

Hệ số của \( x^{31} \) trong khai triển của \( {\left( {x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}} \) là :

A. 9880               B. 9980

C. 10080             D. 10980

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn \( {\left( {a + b} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k} \) với \(a=x, b=\dfrac{1}{x^2}, n=40 \)

Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: \( x^m.x^n=x^{m+n} ; \dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n} \) để thu gọn biểu thức.

Để tìm hệ số của \( x^{31} \) ta cho số mũ của x bằng 31, giải phương trình tìm k và tính hệ số của \( x^{31} \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}} = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 - k}}{\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k{x^{40 - k - 2k}} = } \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k{x^{40 - 3k}}} \)

Vì đề yêu cầu tìm hệ số của \( x^{31} \) khi đó \( 40-3k=31 \Leftrightarrow k=3\)

Vậy hệ số của \( x^{31} \) là \( C_{40}^3=9880\)

8. Giải bài 2.39 trang 79 SBT Đại số & Giải tích 11

Hệ số của \(x^{25}y^{10} \) trong khai triển của \( {(x^3+xy)}^{15} \) là:

A. \( C_{15}^5 \)                    B. \( C_{25}^{10}\)

C. \( C_{15}^{10} \)                   D. \( C_{25}^{15}\)

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn:

 \( {\left( {a + b} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k} với a=x^3, b=xy, n=15 \).

- Sử dụng các công: \( x^m.x^n=x^{m+n} ; \dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n} ; {\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha .\beta }} ; {(x.y)^\alpha } = {x^\alpha }{y^\alpha } \) để thu gọn biểu thức.

- Để tìm hệ số của  \(x^{25}y^{10} \) ta cho số mũ của x bằng 25 và số mũ của y bằng 10, giải phương trình tìm k và tính hệ số của \(x^{25}y^{10} \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left( {{x^3}} \right)^{15 - k}}{\left( {xy} \right)^k} =\sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{x^{45 - 3k}}{x^k}{y^k} } = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{x^{45 - 2k}}{y^k}} \)

Vì đề yêu cầu tìm hệ số của \(x^{25}y^{10} \) khi đó \( x^{45-2k}y^k= x^{25}y^{10} nên \left\{ \begin{array}{l}45 - 2k = 25\\k = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 10\)

Vậy hệ số của \(x^{25}y^{10} \) là \( C_{15}^{10} \).

Ngày:16/10/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM