Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = \sqrt {{{\tan }^3}x} .$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}$

$\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {{{\tan }^3}x} \right)'}}{{2\sqrt {{{\tan }^3}x} }}\\ = \dfrac{{3{{\tan }^2}x\left( {\tan x} \right)'}}{{2\sqrt {{{\tan }^3}x} }}\\ = \dfrac{{3{{\tan }^2}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{2\sqrt {{{\tan }^3}x} }}\\ = \dfrac{{3{{\tan }^2}x}}{{2{{\cos }^2}x\sqrt {{{\tan }^3}x} }} \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = {2 \over {\cos \left( {{\pi \over 6} - 5x} \right)}}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

$\cos u = -u'\sin u$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \dfrac{{ - 2\left[ {\cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)} \right]'}}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 2.\left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)'\left[ { - \sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)} \right]}}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)}}\\ = \dfrac{{2.\left( { - 5} \right)\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 10\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{6} - 5x} \right)}} \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = \sqrt x + {1 \over {\sqrt x }} + 0,1{x^{10}}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

$\left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}$

$\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }} + \dfrac{{ - \left( {\sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}} + 0,1.10{x^9}\\ = \dfrac{1}{{2\sqrt x }} - \dfrac{{\dfrac{1}{{2\sqrt x }}}}{x} + {x^9}\\ = \dfrac{1}{{2\sqrt x }} - \dfrac{1}{{2x\sqrt x }} + {x^9} \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = {{2{x^2} + x + 1} \over {{x^2} - x + 1}}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

$\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {2{x^2} + x + 1} \right)'\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {4x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{4{x^3} + {x^2} - 4{x^2} - x + 4x + 1 - \left( {4{x^3} + 2{x^2} + 2x - 2{x^2} - x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - 3{x^2} + 2x + 2}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}} \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $g\left( \varphi \right) = {{\cos \varphi + \sin \varphi } \over {1 - \cos \varphi }}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

$\left( {\sin x} \right)' = \cos x \\\left( {\cos x} \right)' = - \sin x$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} g'\left( \varphi \right) = \dfrac{{\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)'\left( {1 - \cos \varphi } \right) - \left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)\left( {1 - \cos \varphi } \right)'}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( { - \sin \varphi + \cos \varphi } \right)\left( {1 - \cos \varphi } \right) - \left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)\left[ { - \left( { - \sin \varphi } \right)} \right]}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin \varphi + \cos \varphi + \sin \varphi \cos \varphi - {{\cos }^2}\varphi - \sin \varphi \cos \varphi - {{\sin }^2}\varphi }}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin \varphi + \cos \varphi - \left( {{{\sin }^2}\varphi + {{\cos }^2}\varphi } \right)}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin \varphi + \cos \varphi - 1}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}} \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = {\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)^4}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {{u^n}} \right)' = nu'{x^{n - 1}}$

$\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y'= 4{\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)^3}\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)'\\ = 4{\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)^3}\left( {3 + 5.2x} \right)\\ = 4{\left( {1 + 3x + 5{x^2}} \right)^3}\left( {3 + 10x} \right) \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = {\sin ^2}3x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\sin u = u'\cos u$

$\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

$\left( {\cos x} \right)' = - \sin x$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = 2\sin 3x\left( {\sin 3x} \right)' + \dfrac{{ - \left( {{{\cos }^2}x} \right)'}}{{{{\cos }^4}x}}\\ = 2\sin 3x.\left( {3x} \right)'\cos 3x - \dfrac{{2\cos x\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\cos }^4}x}}\\ = 2\sin 3x.3\cos 3x - \dfrac{{2\left( { - \sin x} \right)}}{{{{\cos }^3}x}}\\ = 3\sin 6x + \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = \sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } .$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}$

$\left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {x + \sqrt {x + \sqrt x } } \right)'}}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}\\ = \dfrac{{1 + \left( {\sqrt {x + \sqrt x } } \right)'}}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}\\ = \dfrac{{1 + \dfrac{{\left( {x + \sqrt x } \right)'}}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}}}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}\\ = \dfrac{{1 + \dfrac{{1 + \dfrac{1}{{2\sqrt x }}}}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}}}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}\\ = \dfrac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } }}\left[ {1 + \dfrac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt x } }}\left( {1 + \dfrac{1}{{2\sqrt x }}} \right)} \right] \end{array}$

Giải phương trình f'(x) = 0, biết rằng

a) $f\left( x \right) = 3x + {{60} \over x} - {{64} \over {{x^3}}} + 5$

b) $\displaystyle f\left( x \right) = {{\sin 3x} \over 3} + \cos x\displaystyle - \sqrt 3 \left( {\sin x + {{\cos 3x} \over 3}} \right).$

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số f(x): Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

$\left( {\sin x} \right)' = \cos x \\\left( {\cos x} \right)' = - \sin x$

- Giải phương trình f'(x) = 0 và kết luận.

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} a) \ f'\left( x \right) = 3 - \dfrac{{60}}{{{x^2}}} - \dfrac{{64.\left( { - 3{x^2}} \right)}}{{{x^6}}}\\ = 3 - \dfrac{{60}}{{{x^2}}} + \dfrac{{192}}{{{x^4}}}\\ = \dfrac{{3{x^4} - 60{x^2} + 192}}{{{x^4}}}\\ f'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3{x^4} - 60{x^2} + 192}}{{{x^4}}} = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^4} - 60{x^2} + 192 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 16\\ {x^2} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pm 4\\ x = \pm 2 \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{l} b) \ f'\left( x \right)\\ = \frac{{3\cos 3x}}{3} - \sin x - \sqrt 3 \left( {\cos x + \frac{{ - 3\sin 3x}}{3}} \right)\\ = \cos 3x - \sin x - \sqrt 3 \left( {\cos x - \sin 3x} \right)\\ = \cos 3x + \sqrt 3 \sin 3x - \sin x - \sqrt 3 \cos x\\ f'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos 3x + \sqrt 3 \sin 3x - \sin x - \sqrt 3 \cos x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 3x + \sqrt 3 \sin 3x = \sin x + \sqrt 3 \cos x\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 3x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 3x = \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x\\ \Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x - \frac{\pi }{3} = x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 3x - \frac{\pi }{3} = - x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2} \end{array} \right. \end{array}$

Giải các phương trình:

a) f'(x) = 0 với $f\left( x \right) = 1 - \sin \left( {\pi + x} \right) + 2\cos {{3\pi + x} \over 2}$

b) g'(x) = 0 với $g\left( x \right) = \sin 3x - \sqrt 3 \cos 3x + 3\left( {\cos x - \sqrt 3 \sin x} \right).$

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của các hàm số f(x), g(x): Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\sin u} \right)' = u'\cos u \\\left( {\cos u} \right)' = -u' \sin u$

- Giải các phương trình f'(x) = 0, g'(x) = 0 và kết luận.

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} a) \ f\left( x \right) = 1 - \sin \left( {\pi + x} \right) + 2\cos \left( {\frac{{3\pi + x}}{2}} \right)\\ = 1 - \left( { - \sin x} \right) + 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + \frac{x}{2}} \right)\\ = 1 + \sin x + 2\sin \frac{x}{2}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos x + \cos \frac{x}{2}\\ f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos x + \cos \frac{x}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\frac{x}{2} - 1 + \cos \frac{x}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos \frac{x}{2} = - 1\\ \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{x}{2} = \pi + k2\pi \\ \frac{x}{2} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\ \frac{x}{2} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\pi + k4\pi \\ x = \frac{{2\pi }}{3} + k4\pi \\ x = - \frac{{2\pi }}{3} + k4\pi \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{l} b) \ g'\left( x \right) = 3\cos 3x + 3\sqrt 3 \sin 3x + 3\left( { - \sin x - \sqrt 3 \cos x} \right)\\ = 3\left( {\cos 3x + \sqrt 3 \sin 3x} \right) - 3\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\\ g'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {\cos 3x + \sqrt 3 \sin 3x} \right) - 3\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos 3x + \sqrt 3 \sin 3x = \sin x + \sqrt 3 \cos x\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 3x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 3x = \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x\\ \Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x - \frac{\pi }{3} = x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 3x - \frac{\pi }{3} = - x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2} \end{array} \right. \end{array}$

Giải phương trình $f'\left( x \right) = g\left( x \right)$

a) Với $f\left( x \right) = 1 - {\sin ^4}3x$ và $g\left( x \right) = \sin 6x$

b) Với $f\left( x \right) = 4x{\cos ^2}\left( {{x \over 2}} \right)$ và $g\left( x \right) = 8\cos {x \over 2} - 3 - 2x\sin x.$

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số f(x): Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\sin u} \right)' = u'\cos u \\\left( {\cos u} \right)' = -u' \sin u$

- Giải phương trình f'(x) = g(x) và kết luận.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = - 4{\sin ^3}3x.\left( {\sin 3x} \right)'\\ = - 4{\sin ^3}3x.3\cos 3x\\ = - 12{\sin ^3}3x\cos 3x\\= - 6{\sin ^2}3x.2\sin 3x\cos 3x\\ = - 6{\sin ^2}3x\sin 6x\\ f'\left( x \right) = g\left( x \right)\\ \Leftrightarrow - 6{\sin ^2}3x\sin 6x = \sin 6x\\ \Leftrightarrow \sin 6x\left( {1 + 6{{\sin }^2}3x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin 6x = 0\left( {do\,1 + 6{{\sin }^2}3x > 0} \right)\\ \Leftrightarrow 6x = k\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{6} \end{array}$

b) Ta có: 

$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 4{\cos ^2}\frac{x}{2} + 4x.2\cos \frac{x}{2}\left( {\cos \frac{x}{2}} \right)'\\ = 4{\cos ^2}\frac{x}{2} + 8x\cos \frac{x}{2}.\left( { - \frac{1}{2}\sin \frac{x}{2}} \right)\\ = 4{\cos ^2}\frac{x}{2} - 4x\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}\\ = 4{\cos ^2}\frac{x}{2} - 2x\sin x\\ f'\left( x \right) = g\left( x \right)\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^2}\frac{x}{2} - 2x\sin x \\= 8\cos \frac{x}{2} - 3 - 2x\sin x\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^2}\frac{x}{2} - 8\cos \frac{x}{2} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos \frac{x}{2} = \frac{3}{2}\left( {VN} \right)\\ \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k4\pi \end{array}$

Chứng minh rằng $f'\left( x \right) = 0\forall x \in R,$ nếu:

a) $f\left( x \right) = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)$

b) $f\left( x \right) = {\cos ^6}x + 2{\sin ^4}x{\cos ^2}x+ 3{\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x$

c) $f\left( x \right) = \cos \left( {x - {\pi \over 3}} \right)\cos \left( {x + {\pi \over 4}} \right)+ \cos \left( {x + {\pi \over 6}} \right)\cos \left( {x + {{3\pi } \over 4}} \right)$

d) $f\left( x \right) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} + x} \right) + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} - x} \right).$

Phương pháp giải:

Chứng minh các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.

Từ đó suy ra f′(x) = 0.

Hướng dẫn giải:

a) $f\left( x \right) = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)$

$\begin{array}{l} = 3\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right]\\ - 2\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^3} - 3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)} \right]\\ = 3\left[ {1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right] - 2\left[ {1 - 3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right]\\ = 3 - 6{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2 + 6{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = 1\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \end{array}$

b) $f\left( x \right) = {\cos ^6}x + 2{\sin ^4}x{\cos ^2}x+ 3{\sin ^2}x{\cos ^4}x + {\sin ^4}x$

$\begin{array}{l} = \left( {{{\cos }^6}x + 3{{\sin }^2}x{{\cos }^4}x} \right) + \left( {2{{\sin }^4}x{{\cos }^2}x + {{\sin }^4}x} \right)\\ = {\cos ^4}x\left( {{{\cos }^2}x + 3{{\sin }^2}x} \right) + {\sin ^4}x\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)\\ = {\cos ^4}x\left( {1 + 2{{\sin }^2}x} \right) + {\sin ^4}x\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)\\ = {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^4}x + 2{\sin ^4}x{\cos ^2}x + {\sin ^4}x\\ = \left( {{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x} \right) + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = 1\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \end{array}$

c) $f\left( x \right) = \cos \left( {x - {\pi \over 3}} \right)\cos \left( {x + {\pi \over 4}} \right)+ \cos \left( {x + {\pi \over 6}} \right)\cos \left( {x + {{3\pi } \over 4}} \right)$

$\begin{array}{l} = \left( {\cos x\cos \frac{\pi }{3} + \sin x\sin \frac{\pi }{3}} \right)\left( {\cos x\cos \frac{\pi }{4} - \sin x\sin \frac{\pi }{4}} \right)\\ + \left( {\cos x\cos \frac{\pi }{6} - \sin x\sin \frac{\pi }{6}} \right)\left( {\cos x\cos \frac{{3\pi }}{4} - \sin x\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right)\\ = \left( {\frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} \right)\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x} \right)\\ + \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x} \right)\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x} \right)\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{4}{\cos ^2}x + \frac{{\sqrt 6 }}{4}\sin x\cos x - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\sin x\cos x - \frac{{\sqrt 6 }}{4}{\sin ^2}x\\ - \frac{{\sqrt 6 }}{4}{\cos ^2}x + \frac{{\sqrt 2 }}{4}\sin x\cos x - \frac{{\sqrt 6 }}{4}\sin x\cos x + \frac{{\sqrt 2 }}{4}{\sin ^2}x\\ = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}{\cos ^2}x + \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}{\sin ^2}x\\ = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)\\ = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \end{array}$

d) $f\left( x \right) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} + x} \right) + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} - x} \right).$

$\begin{array}{l} = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)\\ = {\cos ^2}x + {\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3}\cos x - \sin \frac{{2\pi }}{3}\sin x} \right)^2}\\ + {\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3}\cos x + \sin \frac{{2\pi }}{3}\sin x} \right)^2}\\ = {\cos ^2}x + {\left( { - \frac{1}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} \right)^2}\\ + {\left( { - \frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} \right)^2}\\ = {\cos ^2}x + \left( {\frac{1}{4}{{\cos }^2}x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x\cos x + \frac{3}{4}{{\sin }^2}x} \right)\\ + \left( {\frac{1}{4}{{\cos }^2}x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x\cos x + \frac{3}{4}{{\sin }^2}x} \right)\\ = {\cos ^2}x + \frac{1}{2}{\cos ^2}x + \frac{3}{2}{\sin ^2}x\\ = \frac{3}{2}{\cos ^2}x + \frac{3}{2}{\sin ^2}x\\ = \frac{3}{2}\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)\\ = \frac{3}{2}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \end{array}$

Tìm $f'\left( 1 \right),f'\left( 2 \right),f'\left( 3 \right)$ nếu $f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 3} \right)^3}.$

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức tính đạo hàm:

$u.v.w = u'.v.w + u.v'.w + u.v.w'$

- Thay x = 1; x = 2; x = 3 vào f'(x).

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)'{\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 3} \right)^3} + \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]'{\left( {x - 3} \right)^3}\\ + \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\left[ {{{\left( {x - 3} \right)}^3}} \right]'\\ = {\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 3} \right)^3} + \left( {x - 1} \right).2\left( {x - 2} \right){\left( {x - 3} \right)^3}\\ + \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}.3{\left( {x - 3} \right)^2}\\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) = {\left( {1 - 2} \right)^2}{\left( {1 - 3} \right)^3} + 0 = - 8\\ f'\left( 2 \right) = 0 + 0 + 0 = 0\\ f'\left( 3 \right) = 0 + 0 + 0 = 0 \end{array}$

Tìm f'(2) nếu $f\left( x \right) = {x^2}\sin \left( {x - 2} \right).$

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) bằng cách sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$u.v=u'v+uv'$

$\sin u = u' \ sin u$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = \left( {{x^2}} \right)'\sin \left( {x - 2} \right) + {x^2}\left[ {\sin \left( {x - 2} \right)} \right]'\\ = 2x\sin \left( {x - 2} \right) + {x^2}.\cos \left( {x - 2} \right)\\ \Rightarrow f'\left( 2 \right) = 2.2\sin 0 + {2^2}\cos 0\\ = 0 + 4.1 = 4 \end{array}$

Cho $y = {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} - 2x.$ Với những giá trị nào của x thì:

a) $y'\left( x \right) = 0;$

b) $y'\left( x \right) = - 2;$

c) $y'\left( x \right) = 10$

Phương pháp giải:

- Tính y' bằng cách sử dụng công thức tính đạo hàm $\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$.

- Giải các phương trình y' = 0; y' = -2; y' = 10 và kết luận giá trị của x.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$y' = \dfrac{{3{x^2}}}{3} + \dfrac{{2x}}{2} - 2= {x^2} + x - 2$

$\begin{array}{l} y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 2 \end{array} \right. \end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l} y' = - 2 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = - 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 0 \end{array} \right. \end{array}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l} y' = 10 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 10\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 4\\ x = 3 \end{array} \right. \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = {a^5} + 5{a^3}{x^2} - {x^5}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm $\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$.

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = 5{a^3}.\left( {{x^2}} \right)' - \left( {{x^5}} \right)'\\ = 5{a^3}.2x - 5{x^4}\\ = 10{a^3}x - 5{x^4} \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right).$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm $u.v=u'v+uv'$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \left( {x - a} \right)'\left( {x - b} \right) + \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)'\\ = 1.\left( {x - b} \right) + \left( {x - a} \right).1\\ = 2x - \left( {a + b} \right) \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số: $y = {{ax + b} \over {a + b}}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm $\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y = \dfrac{a}{{a + b}}x + \dfrac{b}{{a + b}}\\ \Rightarrow y' = \dfrac{a}{{a + b}}.\left( x \right)' + 0\\ \Rightarrow y' = \dfrac{a}{{a + b}} \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^3}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm:

$u.v.w = u'.v.w + u.v'.w + u.v.w'$

$\left( {{u^n}} \right)' = nu'{u^{n - 1}}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \left( {x + 1} \right)'{\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^3}\\ + \left( {x + 1} \right)\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \right]'{\left( {x + 3} \right)^3}\\ + \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}\left[ {{{\left( {x + 3} \right)}^3}} \right]'\\ = {\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^3}\\ + \left( {x + 1} \right).2\left( {x + 2} \right){\left( {x + 3} \right)^3}\\ + \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}.3{\left( {x + 3} \right)^2} \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = \left( {x\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\left( {x\cos \alpha - \sin \alpha } \right).$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm:

$u.v=u'v+uv'$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \left( {x\sin \alpha + \cos \alpha } \right)'\left( {x\cos \alpha - \sin \alpha } \right)\\ + \left( {x\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\left( {x\cos \alpha - \sin \alpha } \right)'\\ = \sin \alpha \left( {x\cos \alpha - \sin \alpha } \right)\\ + \left( {x\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\cos \alpha \\ = x\sin \alpha \cos \alpha - {\sin ^2}\alpha \\ + x\sin \alpha \cos \alpha + {\cos ^2}\alpha \\ = 2x\sin \alpha \cos \alpha + \left( {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right)\\ = x\sin 2\alpha + \cos 2\alpha \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = \left( {1 + n{x^m}} \right)\left( {1 + m{x^n}} \right).$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$u.v=u'v+uv'$

$\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \left( {1 + n{x^m}} \right)'\left( {1 + m{x^n}} \right) + \left( {1 + n{x^m}} \right)\left( {1 + m{x^n}} \right)'\\ = nm{x^{m - 1}}\left( {1 + m{x^n}} \right) + \left( {1 + n{x^m}} \right).mn{x^{n - 1}}\\ = mn{x^{m - 1}} + {m^2}n{x^{m + n - 1}} + mn{x^{n - 1}} + m{n^2}{x^{m + n - 1}}\\ = mn\left[ {{x^{m - 1}} + {x^{n - 1}} + \left( {m + n} \right){x^{m + n - 1}}} \right] \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = \left( {1 - x} \right){\left( {1 - {x^2}} \right)^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^3}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm:

$u.v.w = u'.v.w + u.v'.w + u.v.w'$

$\left( {{u^n}} \right)' = nu'{u^{n - 1}}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \left( {1 - x} \right)'{\left( {1 - {x^2}} \right)^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^3} + \left( {1 - x} \right)\left[ {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}} \right]'{\left( {1 - {x^3}} \right)^3}\\ + \left( {1 - x} \right){\left( {1 - {x^2}} \right)^2}\left[ {{{\left( {1 - {x^3}} \right)}^3}} \right]'\\ = - 1.{\left( {1 - {x^2}} \right)^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^3} + \left( {1 - x} \right)\left[ {2\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {x^2}} \right)'} \right]{\left( {1 - {x^3}} \right)^3}\\+ \left( {1 - x} \right){\left( {1 - {x^2}} \right)^2}\left[ {{{\left( {1 - {x^3}} \right)}^2}\left( {1 - {x^3}} \right)'} \right]\\ = - {\left( {1 - {x^2}} \right)^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^3} + \left( {1 - x} \right)\left[ {2\left( {1 - {x^2}} \right).\left( { - 2x} \right)} \right]{\left( {1 - {x^3}} \right)^3}\\ + \left( {1 - x} \right){\left( {1 - {x^2}} \right)^2}\left[ {{{\left( {1 - {x^3}} \right)}^2}\left( { - 3{x^2}} \right)} \right]\\ = - {\left( {1 - {x^2}} \right)^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^3} - 4x\left( {1 - x} \right)\left( {1 - {x^2}} \right){\left( {1 - {x^3}} \right)^3}\\ - 3{x^2}\left( {1 - x} \right){\left( {1 - {x^2}} \right)^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^2} \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = {{1 + x - {x^2}} \over {1 - x + {x^2}}}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

$\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {1 + x - {x^2}} \right)'\left( {1 - x + {x^2}} \right) - \left( {1 + x - {x^2}} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right)'}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right) - \left( {1 + x - {x^2}} \right)\left( { - 1 + 2x} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right) + \left( {1 + x - {x^2}} \right)\left( {1 - 2x} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 - x + {x^2} + 1 + x - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2\left( {1 - 2x} \right)}}{{{{\left( {1 - x + {x^2}} \right)}^2}}} \end{array}$

Tìm đạo hàm của các hàm số sau: $y = {x \over {{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3}}}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

$\left( {{u^n}} \right)' = nu'{u^{n - 1}}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( x \right)'{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3} - x\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3}} \right]'}}{{{{\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3}} \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3} - x\left\{ {\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}} \right]'{{\left( {1 + x} \right)}^3} + {{\left( {1 - x} \right)}^2}\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^3}} \right]'} \right\}}}{{{{\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3}} \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3} - x\left[ {2x\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)'{{\left( {1 + x} \right)}^3} + {{\left( {1 - x} \right)}^2}.3{{\left( {1 + x} \right)}^2}\left( {1 + x} \right)'} \right]}}{{{{\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3}} \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3} - x\left[ { - 2\left( {1 - x} \right){{\left( {1 + x} \right)}^3} + 3.{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^2}} \right]}}{{{{\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3}} \right]}^2}}}\\ = \dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^3} + 2x\left( {1 - x} \right){{\left( {1 + x} \right)}^3} - 3.{{\left( {1 - x} \right)}^2}{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^4}{{\left( {1 + x} \right)}^6}}}\\ = \dfrac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right) + 2x\left( {1 + x} \right) - 3x\left( {1 - x} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}{{\left( {1 + x} \right)}^4}}}\\ = \dfrac{{1 - {x^2} + 2x + 2{x^2} - 3x + 3{x^2}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}{{\left( {1 + x} \right)}^4}}}\\ = \dfrac{{1 - x + 4{x^2}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}{{\left( {1 + x} \right)}^4}}} \end{array}$

Tìm đạo hàm của các hàm số sau: $y = {{\left( {2 - {x^2}} \right)\left( {3 - {x^3}} \right)} \over {{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

$uv=u'v+uv'$

$\left( {{u^n}} \right)' = nu'{u^{n - 1}}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y = \dfrac{{6 - 3{x^2} - 2{x^3} + {x^5}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\\ y' = \dfrac{{\left( {6 - 3{x^2} - 2{x^3} + {x^5}} \right)'{{\left( {1 - x} \right)}^2} - \left( {6 - 3{x^2} - 2{x^3} + {x^5}} \right)\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^4}}}\\ = \dfrac{{\left( { - 6x - 6{x^2} + 5{x^4}} \right){{\left( {1 - x} \right)}^2} - \left( {6 - 3{x^2} - 2{x^3} + {x^5}} \right)\left( { - 2} \right)\left( {1 - x} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^4}}}\\ = \dfrac{{\left( { - 6x - 6{x^2} + 5{x^4}} \right)\left( {1 - x} \right) + 2\left( {6 - 3{x^2} - 2{x^3} + {x^5}} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\\ = \dfrac{{ - 6x - 6{x^2} + 5{x^4} + 6{x^2} + 6{x^3} - 5{x^5} + 12 - 6{x^2} - 4{x^3} + 2{x^5}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\\ = \dfrac{{12 - 6x - 6{x^2} + 2{x^3} + 5{x^4} - 3{x^5}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}} \end{array}$

Tìm đạo hàm của các hàm số sau: $y = x\sqrt {1 + {x^2}} .$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$uv=u'v+uv'$

$\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \left( x \right)'\sqrt {1 + {x^2}} + x\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \dfrac{{1 + {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = {x \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

$\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( x \right)'\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)'}}{{{a^2} - {x^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x.\dfrac{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{a^2} - {x^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x.\dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{a^2} - {x^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{a^2} - {x^2}}}\\ = \dfrac{{{a^2} - {x^2} + {x^2}}}{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\\ = \dfrac{{{a^2}}}{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} \end{array}$

$\left( {\left| x \right| < \left| a \right|} \right)$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right).$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\left( {uv} \right)' = u'v + uv'$ và các biến đổi lượng giác:

$\begin{array}{l} \cos u\cos v + \sin u\sin v = \cos \left( {u - v} \right)\\ 2\sin u\sin u = \sin 2u\\ {\cos ^2}u - {\sin ^2}u = \cos 2u \end{array}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \left[ {\sin \left( {{{\cos }^2}x} \right)} \right]'\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\left[ {\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]'\\ = \left( {{{\cos }^2}x} \right)'\cos \left( {{{\cos }^2}x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\left( {{{\sin }^2}x} \right)'.\left[ { - \sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]\\ = 2\cos x\left( {\cos x} \right)'\cos \left( {{{\cos }^2}x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)- \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).2\sin x\left( {\sin x} \right)'.\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)\\ = 2\cos x.\left( { - \sin x} \right)\cos \left( {{{\cos }^2}x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) - \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).2\sin x\cos x\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)\\ = - \sin 2x\cos \left( {{{\cos }^2}x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) - \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\sin 2x\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)\\ = - \sin 2x.\left[ {\cos \left( {{{\cos }^2}x} \right)\cos \left( {{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right)\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right]\\ = - \sin 2x\cos \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\\ = - \sin 2x\cos \left( {\cos 2x} \right) \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau: $y = {{\sin x - x\cos x} \over {\cos x + x\sin x}}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

$uv=u'v+uv'$

$(\sin x)'= \cos x$

$(cos x)'= - \sin x$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {\sin x - x\cos x} \right)'\left( {\cos x + x\sin x} \right) - \left( {\sin x - x\cos x} \right)\left( {\cos x + x\sin x} \right)'}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {\cos x - \cos x + x\sin x} \right)\left( {\cos x + x\sin x} \right) - \left( {\sin x - x\cos x} \right)\left( { - \sin x + \sin x + x\cos x} \right)}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{x\sin x\left( {\cos x + x\sin x} \right) - \left( {\sin x - x\cos x} \right).x\cos x}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{x\sin x.\cos x + {x^2}{{\sin }^2}x - x\sin x\cos x + {x^2}{{\cos }^2}x}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2}{{\sin }^2}x + {x^2}{{\cos }^2}x}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {\cos x + x\sin x} \right)}^2}}} \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số sau:

$y = \tan x - {1 \over 3}{\tan ^3}x + {1 \over 5}{\tan ^5}x.$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm: $\left( {{u^n}} \right)' = n{u^{n - 1}}u'$

Công thức đạo hàm hàm số lượng giác $\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \left( {\tan x} \right)' - \dfrac{1}{3}.3{\tan ^2}x\left( {\tan x} \right)'\\ + \dfrac{1}{5}.5{\tan ^4}x\left( {\tan x} \right)'\\ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - {\tan ^2}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ + {\tan ^4}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - {\tan ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ + {\tan ^4}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ = 1 + {\tan ^2}x - {\tan ^2}x - {\tan ^4}x\\ + {\tan ^4}x + {\tan ^6}x\\ = 1 + {\tan ^6}x\\ \left( {x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right) \end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{{\sin {x^2}}}{x}$

A. $\dfrac{{2{x^2}\cos {x^2} - \sin {x^2}}}{{{x^2}}}$

B. $\dfrac{{2x\cos {x^2} - \sin {x^2}}}{x}$

C. $\dfrac{1}{{{x^2}}}$

D. $2{x^2}\cos {x^2} - \sin x$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

$\sin u = u' \cos u$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {\sin {x^2}} \right)'.x - \sin {x^2}.\left( x \right)'}}{{{x^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {{x^2}} \right)'\cos {x^2}.x - \sin {x^2}}}{{{x^2}}}\\ = \dfrac{{2x\cos {x^2}.x - \sin {x^2}}}{{{x^2}}}\\ = \dfrac{{2{x^2}\cos {x^2} - \sin {x^2}}}{{{x^2}}}\end{array}$

Chọn đáp án: A

Cho hàm số $y = \cos \dfrac{x}{{x + 1}}$. Tìm y'

A. $\dfrac{{\sin \dfrac{x}{{x + 1}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

B. $\dfrac{{\cos \dfrac{x}{{x + 1}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

C. $\dfrac{{ - \sin \dfrac{x}{{x + 1}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

D. $\dfrac{{\sin \dfrac{x}{{x + 1}}}}{{x + 1}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\cos u = -u' \sin u$

$\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}y' = \left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right)'\left( { - \sin \dfrac{x}{{x + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{\left( x \right)'\left( {x + 1} \right) - x\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\left( { - \sin \dfrac{x}{{x + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{x + 1 - x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\left( { - \sin \dfrac{x}{{x + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{ - \sin \dfrac{x}{{x + 1}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\end{array}$

Chọn đáp án: C

Tìm đạo hàm của hàm số y = tan² x – cot x²

A. $\dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} + \dfrac{{2x}}{{\sin {x^2}}}$

B. $\dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} - \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}{x^2}}}$

C. $\dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} - \dfrac{{2x}}{{\sin {x^2}}}$

D. $\dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} + \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}{x^2}}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\cot x} \right)' = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$

$\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}y' = 2\tan x\left( {\tan x} \right)' - \left( {{x^2}} \right)'.\left( { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}{x^2}}}} \right)\\ = 2\tan x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}{x^2}}}\\ = 2.\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}{x^2}}}\\ = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} + \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}{x^2}}}\end{array}$

Chọn đáp án: D

Cho $f\left( t \right) = \dfrac{{\cos t}}{{1 - \sin t}}$. Tính f'(π/6)

A. -2         B. -3         C. 2         D. 5

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức tính đạo hàm f'(x):

$\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

$\left( {\sin x} \right)' = \cos x\\\left( {\cos x} \right)' = - \sin x$

- Thay x = π/6 vào f'(x) và chọn đáp số đúng.

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {\cos t} \right)'\left( {1 - \sin t} \right) - \cos t.\left( {1 - \sin t} \right)'}}{{{{\left( {1 - \sin t} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin t\left( {1 - \sin t} \right) - \cos t\left( { - \cos t} \right)}}{{{{\left( {1 - \sin t} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin t + {{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t}}{{{{\left( {1 - \sin t} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin t + 1}}{{{{\left( {1 - \sin t} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{1}{{1 - \sin t}}\\ \Rightarrow f'\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{{1 - \sin \dfrac{\pi }{6}}}\\ = \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 2\end{array}$

Tìm đạo hàm của hàm số y = (3 - sinx)³

A. 3(3 - sinx)

B. -3(3 - sinx)²cosx

C. -3(3 - sinx).cosx

D. -3(3 - sinx).cos²x

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm $\sin x = \cos x$ và quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp.

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}y' = 3{\left( {3 - \sin x} \right)^2}\left( {3 - \sin x} \right)'\\ = 3{\left( {3 - \sin x} \right)^2}\left( {0 - \cos x} \right)\\ = - 3{\left( {3 - \sin x} \right)^2}\cos x\end{array}$

Chọn đáp án: B

Cho $f\left( x \right) = \sqrt {1 + 2\tan x}$. Tính f'(π/4)

A. $2\sqrt3$

B. $\dfrac23$

C. $\dfrac{\sqrt3}9$

D. $\dfrac{2\sqrt3}3$

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức tính đạo hàm f'(x):

$\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}$

$\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}$

- Thay x = π/4 vào f'(x) và chọn đáp số đúng.

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {1 + 2\tan x} \right)'}}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\ = \dfrac{{2.\left( {\tan x} \right)'}}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\ = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\ \Rightarrow f'\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{\pi }{4}\sqrt {1 + 2\tan \dfrac{\pi }{4}} }}\\ = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}.\sqrt {1 + 2.1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\end{array}$

Chọn đáp án: D

Tìm đạo hàm của $g\left( \varphi \right) = \dfrac{{\cos \varphi + \sin \varphi }}{{1 - \cos \varphi }}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

$\left( {\sin x} \right)' = \cos x\\\left( {\cos x} \right)' = - \sin x$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}g'\left( \varphi \right)\\ = \dfrac{{\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)'\left( {1 - \cos \varphi } \right) - \left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)\left( {1 - \cos \varphi } \right)'}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( { - \sin \varphi + \cos \varphi } \right)\left( {1 - \cos \varphi } \right) - \left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)\left( { - \left( { - \sin \varphi } \right)} \right)}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin \varphi + \cos \varphi + \sin \varphi \cos \varphi - {{\cos }^2}\varphi - \cos \varphi \sin \varphi - {{\sin }^2}\varphi }}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \sin \varphi + \cos \varphi - \left( {{{\cos }^2}\varphi + {{\sin }^2}\varphi } \right)}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\cos \varphi - \sin \varphi - 1}}{{{{\left( {1 - \cos \varphi } \right)}^2}}}\end{array}$

Chọn đáp án: A

Cho $y = \cot \sqrt {1 + {x^2}}$. Tính y'(1):

A. $\dfrac{1}{{\sqrt 2 {{\sin }^2}\sqrt 3 }}$

B. $\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 2 {{\sin }^2}\sqrt 2 }}$

C. $\dfrac{1}{{2\sqrt {2 + {{\sin }^2}\sqrt 2 } }}$

D. $\sqrt {{{\sin }^2}\sqrt 2 }$

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\cot u} \right)' = - \dfrac{u'}{{{{\sin }^2}u}}$

$\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}$

- Thay x = 1 vào y' vfa chọn đáp số đúng.

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}y' = \left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'.\left( { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)\\ = \dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}.\left( { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)\\ = \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}.\left( { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)\\ = - \dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} .{{\sin }^2}\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ \Rightarrow y'\left( 1 \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 {{\sin }^2}\sqrt 2 }}\end{array}$

Cho $f(x)=5x^2-16\sqrt x+7$. Tính f'(4); $f'(\dfrac14)$

A. $36;-\dfrac{27}2$

B. $-36;\dfrac{27}2$

C. 1; 35

D. 36; -2

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\begin{array}{l} \left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\\ \left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}} \end{array}$

- Thay x = 4 và $x=\dfrac14$ vào f'(x) và chọn đáp số đúng.

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 5.2x - 16.\dfrac{1}{{2\sqrt x }}\\ = 10x - \dfrac{8}{{\sqrt x }}\\ \Rightarrow f'\left( 4 \right) = 10.4 - \dfrac{8}{{\sqrt 4 }} = 36\\f'\left( {\dfrac{1}{4}} \right) = 10.\dfrac{1}{4} - \dfrac{8}{{\sqrt {\dfrac{1}{4}} }} = - \dfrac{{27}}{2}\end{array}$

Chọn đáp án: A

Cho g(x) = x²sin(x - 2). Tính g'(2).

A. -2            B. 4           C. 2            D. 1

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$uv=u'v+uv'$

$\sin u = u' \ cos u$

- Thay x = 2 vào g'(x) và chọn đáp số đúng.

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} g'\left( x \right) = \left( {{x^2}} \right)'\sin \left( {x - 2} \right)+ {x^2}\left[ {\sin \left( {x - 2} \right)} \right]'\\ = 2x\sin \left( {x - 2} \right) + {x^2}.\cos \left( {x - 2} \right)\\ \Rightarrow g'\left( 2 \right) = 2.2\sin 0 + {2^2}\cos 0\\ = 0 + 4.1 = 4 \end{array}$

Chọn đáp án: B

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \tan \dfrac{x}{2} - \cot \dfrac{x}{2}$

A. ${\cot ^2}x\left( {x \ne k\pi } \right)$

B. ${\tan ^2}x\left( {x \ne k\frac{\pi }{2}} \right)$

C. $\dfrac{2}{{{{\cos }^2}x}}\left( {x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right)$

D. $\dfrac{2}{{{{\sin }^2}x}}\left( {x \ne k\pi ,k \in Z} \right)$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

$\left( {\tan u} \right)' = \dfrac{u'}{{{{\cos }^2}u}}$

$\left( {\cot u} \right)' = - \dfrac{u'}{{{{\sin }^2}u}}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}y' = \left( {\dfrac{x}{2}} \right)'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} - \left( {\dfrac{x}{2}} \right)'.\left( { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2} + {{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}.{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ = \dfrac{2}{{4{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}.{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ = \dfrac{2}{{{{\left( {2\cos \dfrac{x}{2}\sin \dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{2}{{{{\sin }^2}x}}\end{array}$

Chọn đáp án: D

Giải phương trình f'(x) = g(x), biết: g(x) = sinx và f(x) = (2 - x²)cosx + 2x.sinx.

A. $x = 1;x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$

B. $x = 0;x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$

C. $x = \pm 1;x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$

D. $x = \pm 1;x = k\dfrac{\pi }{2}\left( {k \in Z} \right)$

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức tính đạo hàm f'(x):

$uv=u'v+uv'$

$\left( {\sin x} \right)' = \cos x\\\left( {\cos x} \right)' = - \sin x$

- Giải phương trình f'(x) = g(x) và chọn đáp số đúng.

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \left( {2 - {x^2}} \right)'\cos x + \left( {2 - {x^2}} \right)\left( {\cos x} \right)'\\ + 2\left( {\left( x \right)'\sin x + x\left( {\sin x} \right)'} \right)\\ = - 2x\cos x + \left( {2 - {x^2}} \right)\left( { - \sin x} \right) + 2\left( {\sin x + x\cos x} \right)\\ = - 2x\cos x - 2\sin x + {x^2}\sin x + 2\sin x + 2x\cos x\\ = {x^2}\sin x\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^2}\sin x\\f'\left( x \right) = g\left( x \right)\\ \Leftrightarrow {x^2}\sin x = \sin x\\ \Leftrightarrow {x^2}\sin x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\sin x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\\sin x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\end{array}$

Chọn đáp án C.