Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 4: Vi phân

Mời các em học sinh lớp 11 cùng tham khảo nội dung giải bài tập SBT bài Vi phân. Bài gồm có 11 bài tập được với nội dung chi tiết, rõ ràng giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học và vận dụng vào giải các bài tập tương tự. Hi vọng rằng đây sẽ là những tài liệu hữu ích trong học tập của các em học sinh.

Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 4: Vi phân

1. Giải bài 5.82 trang 212 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 2x + 1.\)

Hãy tính \(\Delta f\left( 1 \right),df\left( 1 \right)\) và so sánh chúng, nếu

a) \(\Delta x = 1\)

b) \( \Delta x = 0,1\)

c) \( \Delta x = 0,01\)

Phương pháp giải:

Tính \(\Delta f(x)\) rồi thay các \(\Delta x\) vào kiểm tra.

Hướng dẫn giải:

Gọi \(\Delta x\) là số gia của đối số tại x = 1 ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta f\left( 1 \right) = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\ = {\left( {1 + \Delta x} \right)^3} - 2\left( {1 + \Delta x} \right) + 1 - 0\\ = 1 + 3\Delta x + 3{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3}\\ - 2 - 2\Delta x + 1\\ = \Delta x + 3{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3}\\f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2\\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) = {3.1^2} - 2 = 1\\ \Rightarrow df\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right)\Delta x = \Delta x\end{array}\)

Vậy 

\(\begin{array}{l}\Delta f\left( 1 \right) = \Delta x + 3{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3}\\df\left( 1 \right) = \Delta x\end{array}\)

Với

\( \begin{array}{l}\Delta x = 1\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) = 1 + 3 + 1 = 5\\df\left( 1 \right) = 1\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) > df\left( 1 \right)\end{array}\)

b) Với

\( \begin{array}{l}\Delta x = 0,1\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) = 0,1 + 3.0,{1^2} + 0,{1^3}\\ = 0,131\\df\left( 1 \right) = 0,1\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) > df\left( 1 \right)\end{array}\)

c) Với

\( \begin{array}{l}\Delta x = 0,01\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) = 0,01 + 3.0,{01^2} + 0,{01^3}\\ = 0,010301\\df\left( 1 \right) = 0,01\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) > df\left( 1 \right)\end{array}\)

2. Giải bài 5.83 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm vi phân của hàm số sau: \(y = {1 \over {{x^2}}}.\)

Phương pháp giải:

- Tính y' bằng cách sử dụng công thứ đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

- Sử dụng công thức \(dy = y'dx.\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} y' = \dfrac{{ - \left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}} = \dfrac{{ - 2x}}{{{x^4}}} = - \dfrac{2}{{{x^3}}}\\ \Rightarrow dy = y'dx = - \dfrac{2}{{{x^3}}}dx \end{array}\)

3. Giải bài 5.84 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm vi phân của hàm số sau: \(y = {{x + 2} \over {x - 1}}.\)

Phương pháp giải:

- Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm của thương \(\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{u'.v - u.v'}}{{{v^2}}}\)

- Sử dụng công thức dy = y'dx.

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {x + 2} \right)'\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{x - 1 - x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow dy = y'dx = - \dfrac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx \end{array}\)

4. Giải bài 5.85 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm vi phân của hàm số sau: \(y = {\sin ^2}x.\)

Phương pháp giải:

- Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm (sinx)' = cosx.

- Sử dụng công thức dy = y'dx.

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} y' = 2\sin x\left( {\sin x} \right)'\\ = 2\sin x\cos x\\ = \sin 2x\\ \Rightarrow dy = y'dx = \sin 2xdx \end{array}\)

5. Giải bài 5.86 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm vi phân của hàm số sau: \(y = {{\tan \sqrt x } \over {\sqrt x }}.\)

Phương pháp giải:

- Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{u'.v - u.v'}}{{{v^2}}}\) và \(\left( {\tan u} \right)'{\rm{ }} = \;\frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\)

- Sử dụng công thức dy = y'dx.

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {\tan \sqrt x } \right)'.\sqrt x - \tan \sqrt x.\left( {\sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x } \right)'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\sqrt x }}.\sqrt x - \tan \sqrt x.\dfrac{1}{{2\sqrt x }}}}{x}\\ = \dfrac{{\dfrac{1}{{2\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x }}{{{{\cos }^2}\sqrt x }} - \dfrac{{\tan \sqrt x }}{{2\sqrt x }}}}{x}\\ = \dfrac{{\dfrac{1}{{2{{\cos }^2}\sqrt x }} - \dfrac{{\tan \sqrt x }}{{2\sqrt x }}}}{x}\\ = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt x - \tan \sqrt x.{{\cos }^2}\sqrt x }}{{2\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}}}{x}\\ = \dfrac{{\sqrt x - \dfrac{{\sin \sqrt x }}{{\cos \sqrt x }}.{{\cos }^2}\sqrt x }}{{2x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}\\ = \dfrac{{\sqrt x - \sin \sqrt x \cos \sqrt x }}{{2x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}\\ = \dfrac{{2\sqrt x - 2\sin \sqrt x \cos \sqrt x }}{{4x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}\\ = \dfrac{{2\sqrt x - \sin \left( {2\sqrt x } \right)}}{{4x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}\\ \Rightarrow dy = y'dx\\ = \dfrac{{2\sqrt x - \sin \left( {2\sqrt x } \right)}}{{4x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}dx \end{array}\)

6. Giải bài 5.87 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm \({{d\left( {\tan x} \right)} \over {d\left( {\cot x} \right)}}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức dy = y'dx, \(\left( {\tan x} \right)'{\rm{ }} = \;\frac{{1}}{{{{\cos }^2}x}}\)\(\left( {\cot x} \right)'{\rm{ }} = \;\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} \dfrac{{d\left( {\tan x} \right)}}{{d\left( {\cot x} \right)}} = \dfrac{{\left( {\tan x} \right)'dx}}{{\left( {\cot x} \right)'dx}}\\ = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{ - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}}} = - \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\\ = - {\tan ^2}x \end{array} \left( {x \ne k{\pi \over 2},k \in Z} \right).\)

7. Giải bài 5.88 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11

Chứng minh rằng vi phân dy và số gia \Delta y của hàm số y = ax + b trùng nhau.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức dy = y'dx và \(\Delta f\left( x \right) = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right).\)

Hướng dẫn giải:

\( y = ax + b \Rightarrow y' = a \) và \(dy = adx = a\Delta x ;\)

\( \Delta y = a\left( {x + \Delta x} \right) + b - \left[ {ax + b} \right] = a\Delta x.\)

Vậy \(dy = \Delta y.\)

8. Giải bài 5.89 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11

Chứng minh rằng với \(\left| x \right|\) rất bé so với \(a > 0\left( {\left| x \right| \le a} \right)\) ta có

\( \sqrt {{a^2} + x} \approx a + {x \over {2a}}{\rm{ }}\left( {a > 0} \right).\)

Áp dụng công thức trên, hãy tính gần đúng các số sau:

a) \(\sqrt {146}\)

b) \( \sqrt {34}\)

c) \( \sqrt {120}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\Delta y = y\left( x \right) - y\left( 0 \right).\)

Hướng dẫn giải:

Đặt \(y\left( x \right) = \sqrt {{a^2} + x}\), ta có:

\( y'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{a^2} + x} \right)'}}{{2\sqrt {{a^2} + x} }} = \dfrac{1}{{2\sqrt {{a^2} + x} }}\)

Từ đó

\( \begin{array}{l} \Delta y = y\left( x \right) - y\left( 0 \right) \approx y'\left( 0 \right)x\\ \Rightarrow \sqrt {{a^2} + x} - \sqrt {{a^2} + 0} \approx \dfrac{1}{{2\sqrt {{a^2} + 0} }}x\\ \Rightarrow \sqrt {{a^2} + x} - a \approx \dfrac{x}{{2a}}\\ \Rightarrow \sqrt {{a^2} + x} \approx a + \dfrac{x}{{2a}} \end{array}\)

Áp dụng :

\( \begin{array}{l} \sqrt {146} = \sqrt {{{12}^2} + 2} \\ \approx 12 + \dfrac{2}{{2.12}} \approx 12,0833 \end{array}\)

b) \( \begin{array}{l} \sqrt {34} = \sqrt {{6^2} - 2} \approx 6 - \dfrac{2}{{2.6}} \approx 5,8333 \end{array}\)

c) \( \begin{array}{l} \sqrt {120} = \sqrt {{{11}^2} - 1} \approx 11 - \dfrac{1}{{2.11}} \approx 10,9545 \end{array}\)

9. Giải bài 5.90 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho \(y = \dfrac{1}{{{x^3}}}\). Hãy viết dy.

Phương pháp giải:

- Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

- Sử dụng công thức dy = y'dx.

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}y' = \dfrac{{ - \left( {{x^3}} \right)'}}{{{x^6}}} = \dfrac{{ - 3{x^2}}}{{{x^6}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{x^4}}}\\ \Rightarrow dy = y'dx = - \dfrac{3}{{{x^4}}}dx\end{array}\)

Chọn đáp án: B

10. Giải bài 5.91 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}\sqrt x\). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. f(x) liên tục x = 0

B. f(x) có đạo hàm tại x = 0

C. f(x) không có vi phân tại x = 0

D. f(x) có đạo hàm tại x = 1

Phương pháp giải:

Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức (sin u )' = u'. cos u.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l} f'(x) = 2\sin \sqrt x .(\sin \sqrt x )'\\ = 2\sin \sqrt x .\left( {\sqrt x } \right)'.\cos \sqrt x \\ = 2\sin \sqrt x .\frac{1}{{2\sqrt x }}.\cos \sqrt x \\ = \frac{{\sin \sqrt x .\cos \sqrt x }}{{\sqrt x }} \end{array}\)

Nên f(x) không có đạo hàm tại x = 0

Chọn đáp án: B

11. Giải bài 5.92 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11

Tìm d(sin3x)

A. 2cos3xdx     B. 5sin3xdx

C. 3cos3xdx     D. cos3xdx

Phương pháp giải:

- Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm (sin u)' = u'.cosu.

- Sử dụng công thức dy = y'dx.

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}d\left( {\sin 3x} \right) = \left( {\sin 3x} \right)'dx\\ = 3\cos 3xdx\end{array}\)

Chọn đáp án: C.

Ngày:31/10/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM