Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Chứng minh các đẳng thức sau (với $n \in N^*$ )

a) $2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}$;

b) $3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right)$.

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge 1} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt vế trái bằng ${S_n}$. Kiểm tra với n = 1, hệ thức đúng.

Giả sử đã có ${S_k} = \dfrac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2}$ với $k \ge 1$. Ta phải chứng minh ${S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}$.

Thật vậy

${S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 1 \\= \dfrac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2} + 3k + 2 \\= \dfrac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}\\ = \dfrac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2} {\rm{ }} \\ =\dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}$

Vậy $2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}$.

b) Đặt ${S_n} = 3 + 9 + 27 + ... + {3^n}$.

Với n = 1 thì ${S_1} = 3 = \dfrac{1}{2}\left( {{3^2} - 3} \right)$ nên đúng.

Giả sử có ${S_k} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right) , k \ge 1$. Ta chứng minh ${S_{k + 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 2}} - 3} \right)$.

Thật vậy:

${S_{k + 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right) + {3^{k + 1}} = \dfrac{3}{2}{.3^{k + 1}} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 2}} - 3} \right) .$

Vậy $3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right)$.

Chứng minh các đẳng thức sau (với $n \in N^*$)

a) ${1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \dfrac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3}$;

b) ${1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}$.

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge 1} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt vế trái bằng ${S_n}$.

+) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng $\dfrac{{1\left( {4.1 - 1} \right)}}{3} = 1$.

+) Giả sử đã có ${S_k} = \dfrac{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3}$ với $k \ge 1.$

Ta phải chứng minh ${S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}$

Thật vậy, ta có

${S_{k + 1}} = {S_k} + {\left[ {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right]^2} \\= {S_k} + {\left( {2k + 1} \right)^2} {\rm{ = }}\dfrac{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3} + {\left( {2k + 1} \right)^2} \\= \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k - 1} \right) + 3\left( {2k + 1} \right)} \right]}}{3} {\rm{ = }}\dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 5k + 3} \right)}}{3} \\= \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{3} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}$

Vậy ${1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \dfrac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3}$.

b) Đặt vế trái bằng ${A_n}$.

+) Dễ thấy với n = 1, hệ thức đúng.

+) Giả sử đã có ${A_k} = \dfrac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4},\left( {k \ge 1} \right)$.

Ta có:

${A_{k + 1}} = {A_k} + {\left( {k + 1} \right)^3} \\= \dfrac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4} + {\left( {k + 1} \right)^3} {\rm{ }}\\ =\dfrac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)}}{4} \\ = \dfrac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}$

Vậy ${1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}$.

Chứng minh rằng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$, ta có

a) $2{n^3} - 3{n^2} + n$ chia hết cho 6.

b) ${11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}$ chia hết cho 133.

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge 1} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt ${B_n} = 2{n^3} - 3{n^2} + n$

+) Với n = 1 ta có: ${B_1} = 0 \ \vdots \ 6$

+) Giả sử đã có ${B_k} = 2{k^3} - 3{k^2} + k$ chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh ${B_{k + 1}} = 2{\left( {k + 1} \right)^3} - 3{\left( {k + 1} \right)^2} + k + 1$ chia hết cho 6.

Thật vậy,

$2{\left( {k + 1} \right)^3} - 3{\left( {k + 1} \right)^2} + k \\= 2.\left( {{k^3} + 3{k^2} + 3k + 1} \right) - 3\left( {{k^2} + 2k + 1} \right) + k + 1 \\ = \left( {2{k^3} - 3{k^2} + k} \right) + 6{k^2} \ \vdots \ 3$

(do $2{k^3} - 3{k^2} + k \ \vdots \ 3, 6{k^2} \ \vdots \ 3$)

Vậy ​$2{n^3} - 3{n^2} + n$ chia hết cho 6.

​b) Đặt ${A_n} = {11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}$. Dễ thấy ${A_1} = 133$, chia hết cho 133.

Giả sử đã có ${A_k} = {11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}$ chia hết cho 133.

Ta có 

${A_{k + 1}} = {11^{k + 2}} + {12^{2k + 1}} \\= {11.11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}{.12^2} \\=11{\rm{.1}}{{\rm{1}}^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\left( {11 + 133} \right) \\= 11.{A_k} + {133.12^{2k - 1}}$

Vì ${A_k} \ \vdots \ 133$ nên ${A_{k + 1}}\ \ \vdots \ 133$.

Vậy ${11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}$ chia hết cho 133.

Chứng minh các bất đẳng thức sau $( n \in N^* )$

a) ${2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }};$

b) ${\sin ^{2n}}\alpha + {\cos ^{2n}}\alpha \le 1.$

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge 1} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Với n = 1 thì ${2^{1 + 2}} = 8 > 7 = 2.1 + 5$.

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k \ge 1$, tức là ${2^{k + 2}} > 2k + 5{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1, tức là ${2^{k + 3}} > 2\left( {k + 1} \right) + 5$ hay ${2^{k + 3}} > 2k + 7{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

${2^{k + 3}} > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3.$

Vì 2k + 3 > 0 nên ${2^{k + 3}} > 2k + 7$. 

Vậy ${2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }}.$

b) Với n = 1 thì ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$, bất đẳng thức đúng.

Giả sử đã có ${\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1$ với $k \ge 1$, ta phải chứng minh ${\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \le 1$

Thật vậy, ta có

${\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \\= {\sin ^{2k}}\alpha .{\sin ^2}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha .{\cos ^2}\alpha \le {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1$

Vậy ${\sin ^{2n}}\alpha + {\cos ^{2n}}\alpha \le 1.$

Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có

a) ${2^n} > 2n + 1$;

b) ${2^n} > {n^2} + 4n + 5$;

c) ${3^n} > {2^n} + 7n$

Phương pháp giải:

Dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \ge a$, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = a .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge 1} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1 .

Hướng dẫn giải:

a) Dùng phép thử với n = 1, 2, 3, 4 ta dự đoán: Với $n \ge 3$ thì bất đẳng thức đúng.

Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.

+) Với n = 3, hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì ${2^3} = 8 > 2.3 + 1 = 7$.

+) Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là ${2^k} > 2k + 1{\rm{ (1)}}$

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là

${2^{k + 1}} > 2k + 3{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được:

${2^{k + 1}} > 4k + 2 = 2k + 3 + 2k - 1 > 2k + 3.$

Vậy với $n \ge 3$ thì bất đẳng thức đúng.

b) Dùng phép thử với n = 1, 2, 3,..., 7, 8 ta dự đoán: Với $n \ge 7$ thì bất đẳng thức đúng.

Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.

+) Với n = 7, hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì ${2^7}=128 > {7^2} + 4.7 + 5 =82$

+) Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là ${2^k} > {k^2} + 4k + 5$ (1)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là

${2^{k+1}} > {(k+1)^2} + 4(k+1) + 5 =k^2+6k+10$ (2)

Thậy vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được:;

 ${2^{k+1}} > 2{k^2} + 8k + 10= k^2+6k+10+k^2+2k>k^2+6k+10$

Vậy với $n \ge 7$ thì bất đẳng thức đúng.

c) Với n = 0,1,2,3 thì bất đẳng thức không đúng.

Với n = 4,5,... thì ta thấy bất đẳng thức đúng.

Dự đoán ${3^n} > {2^n} + 7,\forall n \ge 4$.

Thật vậy, với n = 4 thì $VT = {3^4} > {2^4} + 7.4 = VP$.

Giả sử bđt đúng với $n = k \ge 4$, nghĩa là ${3^k} > {2^k} + 7k\,\,\left( 1 \right)$.

Ta cần chứng minh ${3^{k + 1}} > {2^{k + 1}} + 7\left( {k + 1} \right)$.

Nhân của hai vế của (1) với 3 ta được 

${3.3^k} > {3.2^k} + 21k \\ \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > {3.2^k} + 21k > {2.2^k} + 7k + 14k > {2.2^k} + 7k + 7 = {2^{k + 1}} + 7\left( {k + 1} \right)$

Vậy $n \ge 4$.

Cho tổng ${S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}$.

a) Tính ${S_1},S{_2},{S_3},{S_4}$

b) Dự đoán công thức tính ${S_n}$ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Phương pháp giải:

a) Thay các giá trị n = 1,2,3,4 tính các số hạng.

b) Ta có thể dự đoán ${S_n} = \dfrac{n}{{4n + 1}}$.

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge 1} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: ${S_1} = \dfrac{1}{{1.5}} = \dfrac{1}{5}$

${S_2} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} = \dfrac{2}{9}$

${S_3} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} = \dfrac{3}{{13}}$

${S_4} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + \dfrac{1}{{13.17}} = \dfrac{4}{{17}}$

Vậy ${S_1} = \dfrac{1}{5},{S_2} = \dfrac{2}{9},{S_3} = \dfrac{3}{{13}},{S_4} = \dfrac{4}{{17}}$.

b) Viết lại $S_1 = \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{{4.1 + 1}}, {S_2} = \dfrac{2}{9} = \dfrac{2}{{4.2 + 1}}, {S_3} = \dfrac{3}{{4.3 + 1}},{S_4} = \dfrac{4}{{4.4 + 1}}$.

Ta có thể dự đoán ${S_n} = \dfrac{n}{{4n + 1}}$.

Chứng minh :

Với n = 1 thì ${S_1} = \dfrac{1}{5}$ đúng.

Giả sử {S_n} đúng với n = k , nghĩa là {S_k} = \dfrac{k}{{4k + 1}} .

Ta cần chứng minh ${S_{k + 1}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}$

Thật vậy

 ${S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4k - 3} \right)\left( {4k + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{\left[ {4\left( {k + 1} \right) - 3} \right].\left[ {4\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}$

$= \dfrac{k}{{4k + 1}} + \dfrac{1}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\\ = \dfrac{{k\left( {4k + 5} \right) + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}} \\= \dfrac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}$

$= \dfrac{{\left( {4k + 5} \right)\left( {k + 1} \right)}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\\ = \dfrac{{k + 1}}{{4k + 5}}\\ = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Xét mệnh đề chứa biến $P\left( n \right) :” {10^{n - 1}} < n + 2017$ với $n \in {\mathbb{N}^*} ”$. Bằng phép thử ta có $P\left( 1 \right),P\left( 2 \right),P\left( 3 \right),P\left( 4 \right)$ là đúng. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $P\left( n \right)$ đúng với mọi số chẵn $n \le 4$

B. $P\left( n \right)$ đúng với mọi số lẻ $n \le 4$

C. $P\left( n \right)$ đúng với mọi số n

D. $P\left( n \right)$ đúng với mọi số $n \le 4$

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng đáp án, chỉ ra phản ví dụ cho đáp án sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A, B, D đúng do các phép thử đúng.

Đáp án C sai vì $P\left( 5 \right)$ là mệnh đề $“ {10^{5 - 1}} < 5 + 2017 ”.$ Mệnh đề này sai vì ${10^4} = 10000 > 2022$.

Chọn C.

Đặt ${S_n} = \underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } }_{n\,dấu\,căn}$. Giả sử hệ thức ${S_n} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}$ là đúng với $n = k \ge 1$.

Để chứng minh hệ thức trên cũng đúng với n = k + 1 , ta phải chứng minh ${S_{k + 1}}$ bằng:

A. ${S_n} = \underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } }_{k + 1\,dấu\,căn}$

B. $2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 2}}}}$

C. $2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}$

D. $\sqrt {2 + {S_k}}$

Phương pháp giải:

Thay n bởi k + 1 trong công thức ${S_n} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}$.

Hướng dẫn giải:

Khi n = k + 1 ta cần chứng minh ${S_{k + 1}} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 1 + 1}}}} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 2}}}}$.

Chọn B.