Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Để giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt môn Toán, eLib xin giới thiệu nội dung giải bài tập bài Phương pháp quy nạp toán học SBT trang 107, 108 bên dưới đây. Tài liệu gồm tất cả các bài tập có phương pháp và hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, sẽ giúp các em ôn tập lại kiến thức, cũng cố kĩ năng làm bài hiệu quả. Mời các em cùng tham khảo.

Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

1. Giải bài 3.1 trang 107 SBT Đại số & Giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n \in N^*\) )

a) \(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}\);

b) \(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right)\).

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*} \), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt vế trái bằng \( {S_n}\). Kiểm tra với n = 1, hệ thức đúng.

Giả sử đã có \({S_k} = \dfrac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2}\) với \(k \ge 1\). Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}\).

Thật vậy

\( {S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 1 \\= \dfrac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2} + 3k + 2 \\= \dfrac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}\\ = \dfrac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2} {\rm{ }} \\ =\dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}\)

Vậy \(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}\).

b) Đặt \({S_n} = 3 + 9 + 27 + ... + {3^n} \).

Với n = 1 thì \({S_1} = 3 = \dfrac{1}{2}\left( {{3^2} - 3} \right)\) nên đúng.

Giả sử có \({S_k} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right) , k \ge 1 \). Ta chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 2}} - 3} \right) \).

Thật vậy:

\( {S_{k + 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right) + {3^{k + 1}} = \dfrac{3}{2}{.3^{k + 1}} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 2}} - 3} \right) .\)

Vậy \(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right)\).

2. Giải bài 3.2 trang 107 SBT Đại số & Giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n \in N^* \))

a) \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \dfrac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3}\);

b) \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\).

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt vế trái bằng \({S_n}\).

+) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng \(\dfrac{{1\left( {4.1 - 1} \right)}}{3} = 1\).

+) Giả sử đã có \({S_k} = \dfrac{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3} \) với \(k \ge 1. \)

Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}\)

Thật vậy, ta có

\( {S_{k + 1}} = {S_k} + {\left[ {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right]^2} \\= {S_k} + {\left( {2k + 1} \right)^2} {\rm{ = }}\dfrac{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3} + {\left( {2k + 1} \right)^2} \\= \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k - 1} \right) + 3\left( {2k + 1} \right)} \right]}}{3} {\rm{ = }}\dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 5k + 3} \right)}}{3} \\= \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{3} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}\)

Vậy \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \dfrac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3}\).

b) Đặt vế trái bằng \({A_n}\).

+) Dễ thấy với n = 1, hệ thức đúng.

+) Giả sử đã có \({A_k} = \dfrac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4},\left( {k \ge 1} \right)\).

Ta có:

\({A_{k + 1}} = {A_k} + {\left( {k + 1} \right)^3} \\= \dfrac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4} + {\left( {k + 1} \right)^3} {\rm{ }}\\ =\dfrac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)}}{4} \\ = \dfrac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\)

Vậy \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\).

3. Giải bài 3.3 trang 107 SBT Đại số & Giải tích 11

Chứng minh rằng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta có

a) \(2{n^3} - 3{n^2} + n\) chia hết cho 6.

b) \( {11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}} \) chia hết cho 133.

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*} \), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt \({B_n} = 2{n^3} - 3{n^2} + n\)

+) Với n = 1 ta có: \({B_1} = 0 \ \vdots \ 6\)

+) Giả sử đã có \({B_k} = 2{k^3} - 3{k^2} + k\) chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh \({B_{k + 1}} = 2{\left( {k + 1} \right)^3} - 3{\left( {k + 1} \right)^2} + k + 1\) chia hết cho 6.

Thật vậy,

\(2{\left( {k + 1} \right)^3} - 3{\left( {k + 1} \right)^2} + k \\= 2.\left( {{k^3} + 3{k^2} + 3k + 1} \right) - 3\left( {{k^2} + 2k + 1} \right) + k + 1 \\ = \left( {2{k^3} - 3{k^2} + k} \right) + 6{k^2} \ \vdots \ 3 \)

(do \(2{k^3} - 3{k^2} + k \ \vdots \ 3, 6{k^2} \ \vdots \ 3 \))

Vậy ​\(2{n^3} - 3{n^2} + n\) chia hết cho 6.

​b) Đặt \({A_n} = {11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\). Dễ thấy \({A_1} = 133\), chia hết cho 133.

Giả sử đã có \({A_k} = {11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\) chia hết cho 133.

Ta có 

\({A_{k + 1}} = {11^{k + 2}} + {12^{2k + 1}} \\= {11.11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}{.12^2} \\=11{\rm{.1}}{{\rm{1}}^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\left( {11 + 133} \right) \\= 11.{A_k} + {133.12^{2k - 1}}\)

Vì \({A_k} \ \vdots \ 133\) nên \({A_{k + 1}}\ \ \vdots \ 133\).

Vậy \( {11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}} \) chia hết cho 133.

4. Giải bài 3.4 trang 107 SBT Đại số & Giải tích 11

Chứng minh các bất đẳng thức sau \(( n \in N^* )\)

a) \( {2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }};\)

b) \({\sin ^{2n}}\alpha + {\cos ^{2n}}\alpha \le 1. \)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*} \), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Với n = 1 thì \({2^{1 + 2}} = 8 > 7 = 2.1 + 5\).

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k \ge 1\), tức là \({2^{k + 2}} > 2k + 5{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1, tức là \({2^{k + 3}} > 2\left( {k + 1} \right) + 5\) hay \({2^{k + 3}} > 2k + 7{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

\( {2^{k + 3}} > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3.\)

Vì 2k + 3 > 0 nên \({2^{k + 3}} > 2k + 7\)

Vậy \( {2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }}.\)

b) Với n = 1 thì \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\), bất đẳng thức đúng.

Giả sử đã có \( {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\) với \(k \ge 1\), ta phải chứng minh \({\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \le 1\)

Thật vậy, ta có

\( {\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \\= {\sin ^{2k}}\alpha .{\sin ^2}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha .{\cos ^2}\alpha \le {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\)

Vậy \({\sin ^{2n}}\alpha + {\cos ^{2n}}\alpha \le 1. \)

5. Giải bài 3.5 trang 107 SBT Đại số & Giải tích 11

Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có

a) \({2^n} > 2n + 1 \);

b) \( {2^n} > {n^2} + 4n + 5 \);

c) \( {3^n} > {2^n} + 7n \)

Phương pháp giải:

Dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \ge a\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = a .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1 .

Hướng dẫn giải:

a) Dùng phép thử với n = 1, 2, 3, 4 ta dự đoán: Với \(n \ge 3\) thì bất đẳng thức đúng.

Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.

+) Với n = 3, hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì \({2^3} = 8 > 2.3 + 1 = 7\).

+) Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là \({2^k} > 2k + 1{\rm{ (1)}}\)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là

\( {2^{k + 1}} > 2k + 3{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được:

\( {2^{k + 1}} > 4k + 2 = 2k + 3 + 2k - 1 > 2k + 3. \)

Vậy với \(n \ge 3\) thì bất đẳng thức đúng.

b) Dùng phép thử với n = 1, 2, 3,..., 7, 8 ta dự đoán: Với \(n \ge 7\) thì bất đẳng thức đúng.

Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.

+) Với n = 7, hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì \( {2^7}=128 > {7^2} + 4.7 + 5 =82\)

+) Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là \( {2^k} > {k^2} + 4k + 5 \) (1)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là

\( {2^{k+1}} > {(k+1)^2} + 4(k+1) + 5 =k^2+6k+10\) (2)

Thậy vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được:;

 \( {2^{k+1}} > 2{k^2} + 8k + 10= k^2+6k+10+k^2+2k>k^2+6k+10\)

Vậy với \(n \ge 7\) thì bất đẳng thức đúng.

c) Với n = 0,1,2,3 thì bất đẳng thức không đúng.

Với n = 4,5,... thì ta thấy bất đẳng thức đúng.

Dự đoán \({3^n} > {2^n} + 7,\forall n \ge 4 \).

Thật vậy, với n = 4 thì \(VT = {3^4} > {2^4} + 7.4 = VP \).

Giả sử bđt đúng với \(n = k \ge 4 \), nghĩa là \({3^k} > {2^k} + 7k\,\,\left( 1 \right) \).

Ta cần chứng minh \({3^{k + 1}} > {2^{k + 1}} + 7\left( {k + 1} \right) \).

Nhân của hai vế của (1) với 3 ta được 

\({3.3^k} > {3.2^k} + 21k \\ \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > {3.2^k} + 21k > {2.2^k} + 7k + 14k > {2.2^k} + 7k + 7 = {2^{k + 1}} + 7\left( {k + 1} \right)\)

Vậy \(n \ge 4\).

6. Giải bài 3.6 trang 107 SBT Đại số & Giải tích 11

Cho tổng \({S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}\).

a) Tính \({S_1},S{_2},{S_3},{S_4}\)

b) Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Phương pháp giải:

a) Thay các giá trị n = 1,2,3,4 tính các số hạng.

b) Ta có thể dự đoán \({S_n} = \dfrac{n}{{4n + 1}}\).

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*} \), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \({S_1} = \dfrac{1}{{1.5}} = \dfrac{1}{5}\)

\( {S_2} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} = \dfrac{2}{9}\)

\( {S_3} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} = \dfrac{3}{{13}}\)

\( {S_4} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + \dfrac{1}{{13.17}} = \dfrac{4}{{17}}\)

Vậy \({S_1} = \dfrac{1}{5},{S_2} = \dfrac{2}{9},{S_3} = \dfrac{3}{{13}},{S_4} = \dfrac{4}{{17}}\).

b) Viết lại \(S_1 = \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{{4.1 + 1}}, {S_2} = \dfrac{2}{9} = \dfrac{2}{{4.2 + 1}}, {S_3} = \dfrac{3}{{4.3 + 1}},{S_4} = \dfrac{4}{{4.4 + 1}}\).

Ta có thể dự đoán \({S_n} = \dfrac{n}{{4n + 1}}\).

Chứng minh :

Với n = 1 thì \({S_1} = \dfrac{1}{5}\) đúng.

Giả sử {S_n} đúng với n = k , nghĩa là {S_k} = \dfrac{k}{{4k + 1}} .

Ta cần chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}\)

Thật vậy

 \({S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4k - 3} \right)\left( {4k + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{\left[ {4\left( {k + 1} \right) - 3} \right].\left[ {4\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}\)

\( = \dfrac{k}{{4k + 1}} + \dfrac{1}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\\ = \dfrac{{k\left( {4k + 5} \right) + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}} \\= \dfrac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\)

\( = \dfrac{{\left( {4k + 5} \right)\left( {k + 1} \right)}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\\ = \dfrac{{k + 1}}{{4k + 5}}\\ = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

7. Giải bài 3.7 trang 107 SBT Đại số & Giải tích 11

Xét mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right) :” {10^{n - 1}} < n + 2017 \) với \( n \in {\mathbb{N}^*} ”\). Bằng phép thử ta có \(P\left( 1 \right),P\left( 2 \right),P\left( 3 \right),P\left( 4 \right)\) là đúng. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số chẵn \(n \le 4\)

B. \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số lẻ \(n \le 4\)

C. \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số n

D. \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số \(n \le 4\)

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng đáp án, chỉ ra phản ví dụ cho đáp án sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A, B, D đúng do các phép thử đúng.

Đáp án C sai vì \(P\left( 5 \right)\) là mệnh đề \(“ {10^{5 - 1}} < 5 + 2017 ”.\) Mệnh đề này sai vì \({10^4} = 10000 > 2022 \).

Chọn C.

8. Giải bài 3.8 trang 108 SBT Đại số & Giải tích 11

Đặt \({S_n} = \underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } }_{n\,dấu\,căn} \). Giả sử hệ thức \({S_n} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}\) là đúng với \(n = k \ge 1 \).

Để chứng minh hệ thức trên cũng đúng với n = k + 1 , ta phải chứng minh \({S_{k + 1}}\) bằng:

A. \({S_n} = \underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } }_{k + 1\,dấu\,căn}\)

B. \(2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 2}}}}\)

C. \(2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}\)

D. \(\sqrt {2 + {S_k}}\)

Phương pháp giải:

Thay n bởi k + 1 trong công thức \({S_n} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{n + 1}}}} \).

Hướng dẫn giải:

Khi n = k + 1 ta cần chứng minh \({S_{k + 1}} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 1 + 1}}}} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 2}}}} \).

Chọn B.

Ngày:19/10/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM