Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 4: Phép thử và biến cố

Gieo một đồng tiền ba lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S) , mặt ngửa (N) .

a) Xây dựng không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố:

A. “Lần gieo đầu xuất hiện mặt sấp”;

B. “Ba lần xuất hiện các mặt như nhau”;

C. “Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”. 

Phương pháp giải:

a) Mô tả không gian mẫu bằng cách liệt kê các phần tử của không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố bằng cách liệt kê các phần tử của biến cố đó.

- Biến cố A lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt sấp.

- Biến cố B ba lần xuất hiện các mặt như nhau.

- Biến cố C đúng hai lần xuất hiện mặt sấp.

Hướng dẫn giải:

a) Không gian mẫu có dạng

\(\Omega = \{SSS,SSN,SNS,NSS, SNN,NSN,NNS,NNN\}.\)

b) Các biến cố được xác định như sau:

\( \begin{array}{l}A = \left\{ {SSS,SNS,SSN,SNN} \right\};\\B = \left\{ {SSS,NNN} \right\};\\C = \left\{ {SSN,SNS,NSS} \right\};\end{array}\)

Gieo một đồng tiền, sau đó gieo một con súc sắc. Quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S) , mặt ngửa (N) của đồng tiền và số chấm xuất hiện trên con súc sắc.

a) Xây dựng không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau:

A. “Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm”

B. “Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con súc sắc xuất hiện mặt lẻ chấm”.

Phương pháp giải:

a) Mô tả không gian mẫu bằng cách liệt kê các phần tử của không gian mẫu.

b) Xác định biến cố bằng cách liệt kê các phần tử của biến cố.

- Biến cố A đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm.

- Biến cố B đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con súc sắc xuất hiện mặt lẻ chấm.

Hướng dẫn giải:

a) Không gian mẫu có dạng

\( \Omega = \{S1,S2,S3,S4,S5,S6, N1,N2,N3,N4,N5,N6\} .\)

b) Các biến cố được xác định như sau

\( A = \left\{ {S2,S4,S6} \right\} ; \\B = \left\{ {N1,N3,N5} \right\} .\)

Một con súc sắc được gieo ba lần. Quan sát số chấm xuất hiện.

a) Xây dựng không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau:

A. “Tổng số chấm trong ba lần gieo là 6 ”;

B. “Số chấm trong lần gieo thứ nhất bằng tổng các số chấm của lần gieo thứ hai và thứ ba”

Phương pháp giải:

a) Mô tả không gian mẫu dưới dạng tập hợp kí hiệu.

b) Các biến cố được xác định bằng cách liệt kê các phần tử của biến cố.

- Biến cố A tổng số chấm trong 3 lần gieo là 6 khi đó i + j + k = 6

- Biến cố B số chấm trong lần gieo thứ nhất bằng tổng số chấm của lần gieo thứ hai và lần gieo thứ ba khi đó i = j + k

Hướng dẫn giải:

a) \( \Omega = \left\{ {\left( {i,j,k} \right)|1 \le i,j,k \le 6} \right\} \), gồm các chỉnh hợp chập 3 của 6 (số chấm).

b) Ta có: 

\( A = \{\left( {1,1,4} \right),\left( {1,4,1} \right),\left( {4,1,1} \right), \left( {1,2,3} \right),\left( {2,1,3} \right),\left( {1,3,2} \right), \left( {2,3,1} \right),\left( {3,1,2} \right),\left( {3,2,1} \right), \left( {2,2,2} \right)\} ; \\ B = \{\left( {2,1,1} \right),\left( {3,1,2} \right),\left( {3,2,1} \right), \left( {4,1,3} \right),\left( {4,3,1} \right),\left( {4,2,2} \right), \left( {5,1,4} \right),\left( {5,4,1} \right),\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( {5,2,3} \right), \left( {5,3,2} \right),\left( {6,1,5} \right),\left( {6,5,1} \right), \left( {6,2,4} \right),\left( {6,4,2} \right),\left( {6,3,3} \right)\} . \)

Ba học sinh cùng thi thực hành môn Tin học. Kí hiệu \({A_k}\) là kết quả “học sinh thứ k thi đạt”, k = 1,2,3 .

a) Mô tả không gian mẫu.

b)  Xác định các biến cố:

A. “Có một học sinh thi đạt”;

B. “Có hai học sinh thi đạt”;

C. “Có một học sinh thi không đạt”;

D. “Có ít nhất một học sinh thi đạt”;

E. “Có không quá một học sinh thi đạt”

Phương pháp giải:

a) Mô tả không gian mẫu bằng cách liệt kê các phần tử của không gian mẫu.

b) Xác định biến cố bằng cách liệt kê các phần tử của biến cố.

Hướng dẫn giải:

a) Kí hiệu ​\({A_k}\)​ là kết quả “học sinh thứ k thi đạt”, k = 1,2,3 .

Khi đó \(\overline {{A_k}} \) là kết quả “học sinh thứ k thi không đạt”, k = 1,2,3 .

Theo kí hiệu thì không gian mẫu là

\( \Omega = \{ {A_1}{A_2}{A_3},\overline {{A_1}} {A_2}{A_3},{A_1}\overline {{A_2}} {A_3} , {A_1}{A_2}\overline {{A_3}} ,{A_1}\overline {{A_2}} \overline {{A_3}} ,\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} , \overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3},\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} \overline {{A_3}} \} \).

b) Kí hiệu ​\({A_k}\)​ là kết quả “học sinh thứ k thi đạt”, k = 1,2,3 .

Khi đó ​\(\overline {{A_k}} \)​ là kết quả “học sinh thứ k thi không đạt”, k = 1,2,3 .

Biến cố A có một học sinh thi đạt

\( A = \left\{ {{A_1}\overline {{A_2}} \overline {{A_3}} ,\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} ,\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} {A_3}} \right\} \).

Biến cố B có hai học sinh thi đạt

\( B = \left\{ {\overline {{A_1}} {A_2}{A_3},{A_1}\overline {{A_2}} {A_3},{A_1}{A_2}\overline {{A_3}} } \right\} \).

Biến cố C cố một học sinh thi không đạt nghĩa là có hai học sinh thi đạt nên biến cố C giống biến cố B

C = B .

Biến cố D có ít nhất một học sinh thi đạt

\(D = A \cup B \cup \left\{ {{A_1}{A_2}{A_3}} \right\} \).

Biến cố E có không quá một học sinh thi đạt nghĩa là có trường hợp không có học sinh nào thi đạt và trường hợp có một học sinh thi đạt ứng với biến cố A

\( E = \left\{ {\overline {{A_1}} \overline {{A_2}} \overline {{A_3}} } \right\} \cup A \).

Gieo lần lượt ba con súc sắc. Không gian mẫu của phép thử này có số kết quả là:

A. 6³           B. 3⁶

C. 3.6²          D. 6²

Phương pháp giải:

Do “gieo lần lượt ba con súc sắc” là công việc hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp nên ta sử dụng quy tắc nhân.

Hướng dẫn giải:

Ta có mỗi lần gieo một con súc sắc thì cho ra 6 kết quả.

Gieo 3 lần súc sắc, theo quy tắc nhân, không gian mẫu của phép thử gieo lần lượt ba con súc sắc có số phần tử là \(6.6.6=6^3\)

Vậy chọn đáp án: A.

Gieo lần lượt ba con súc sắc. Biến cố “tổng số chấm xuất hiện của 3 con súc sắc khi gieo là số chẵn” có số kết quả thuận lợi là:

A. 72              B. 108

C. 144             D. 156

Phương pháp giải:

Tổng số chấm xuất hiện của ba con súc sắc khi gieo là số chẵn có 2 trường hợp:

- TH1: cả 3 lần gieo đều xuất hiện số chẵn

- TH2: có 2 lần xuất hiện số lẻ, 1 lần xuất hiện số chẵn.

→ Mỗi trường hợp sử dụng quy tắc nhân để tính.

⇒ Tính số khả năng có lợi cho biến cố ta sử dụng quy tắc cộng.

Hướng dẫn giải:

- TH1: ba con súc sắc khi gieo đều cho ra mặt chẵn

Một con súc sắc khi gieo cho ra mặt chẵn có 3 phần tử

Theo quy tắc nhân, TH1 cả ba con súc sắc khi gieo đều cho ra mặt chẵn có 3.3.3 = 27 phần tử.

- TH2:

+ Gieo hai lần đầu cho số lẻ, lần 3 số chẵn có 3.3.3 = 27 phần tử

+ Gieo lần đầu và lần ba cho số lẻ lần hai cho số chẵn 3.3.3 = 27 phần tử

+ Gieo lần đầu cho số chẵn hai lần sau cho số lẻ 3.3.3 = 27 phần tử

Theo quy tắc cộng trường hợp hai có 27+27+27 = 81 phần tử.

Do đó theo quy tắc cộng biến cố tổng số chấm xuất hiện của ba con súc sắc khi gieo là số chẵn có 27 + 81 = 108 phần tử

Vậy chọn đáp án: B.

Một hộp bi 30 viên trong đó có 10 viên bi đỏ và 20 bi xanh. Lấy từ hộp ra 2 viên bi. Biến cố F là trong 2 bi lấy ra có ít nhất 1 viên bi xanh. Số kết quả của không gian mẫu và số kết quả thuận lợi cho biến cố F tương ứng là:

A. 435;150         B. 435; 200

C. 435;390         D. 415;390 

Phương pháp giải:

- Không gian mẫu là phép thử lấy ra 2 viên bi trong hộp 30 sử dụng tổ hợp.

- Tính gián tiếp biến cố F thông qua biến cố đối \(\overline F\)​:

​Biến cố đối \(\overline F\) là biến cố trong hai viên bi lấy ra không có viên bi xanh nào. Lấy ra 2 viên bi toàn đỏ trong 10 viên bi đỏ ta dùng tổ hợp.

→ Sử dụng hệ quả: \(P(\overline{F})=1-P(F) \).

Hướng dẫn giải:

Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn ra 2 viên bi trong 30 viên bi là \(n(\Omega)=C_{30}^2=435\) phần tử.

Gọi \(\overline{F}\) là biến cố đối của F, \(\overline F\) là lấy ra toàn bi đỏ nên số phần tử của ​\(\overline F\)​ là \(n(\overline F)=C_ {10}^2=45\)

Do đó số phần tử của biến cố F là \(n(F)=n(\Omega)-n(\overline F) =435-45 =390 \) phần tử.

Vậy chọn đáp án: C.