Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Nội dung hướng dẫn Giải bài tập SBT Đại số & Giải tích 11 Bài 2 dưới đây sẽ giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn luyện tốt kiến thức về Phương trình lượng giác cơ bản. Mời các em cùng theo dõi.

Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

1. Giải bài 1.14 trang 23 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin 3x =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

b) \(\sin (2x-15^o)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

c) \(\sin (\dfrac{x}{2}+10^o)=-\dfrac{1}{2}\)

d) \(\sin 4x=\dfrac{2}{3}\)

Phương pháp giải:

a) d) Phương trình sinx = a

- Nếu |a|>1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a|≤1 khi đó phương trình có nghiệm là:

\(x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

b) c) Phương trình sinx = a

- Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1 có βo thỏa mãn sinβ= a trong đó βo=arcsina. 

Khi đó phương trình có nghiệm là 

\(x=\beta^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x={180}^o-\beta^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

a) ​​\(\sin 3x =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Ta có: 

\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin(\arcsin(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}))=\sin (-\dfrac{\pi}{3})\)

Khi đó:

\(\sin 3x=\sin (-\dfrac{\pi}{3})\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = -\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\3x= \pi-({-\dfrac{\pi}{3}})+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\\ x=\dfrac{4\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là:

\(x = -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{4\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\)

b) \(\sin (2x-15^o)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Ta có:\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sin ({45}^o)\)

Khi đó: \(\sin(2x-{15}^o)=\sin ({45}^o)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x-{15}^o = {45}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ 2x-{15}^o = {135}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {30}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ x = {75}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = {30}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = {75}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\).

c) \(\sin (\dfrac{x}{2}+10^o)=-\dfrac{1}{2}\)

Ta có: \(-\dfrac{1}{2}=\sin (-{30}^o)\)

Khi đó \(\sin(\dfrac{x}{2}+{10}^o)=\sin (-{30}^o)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{x}{2}+{10}^o = -{30}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ \dfrac{x}{2}+{10}^o = {210}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = -{80}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ x = {400}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = -{80}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = {400}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\).

d) \(\sin 4x=\dfrac{2}{3}\)

Ta có: \(\dfrac{2}{3}=\sin(\arcsin\dfrac{2}{3})\)

Khi đó \(\sin 4x=\sin(\arcsin\dfrac{2}{3})\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = \arcsin\dfrac{2}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\4x= \pi-\arcsin\dfrac{2}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là: \(x = \dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\).

2. Giải bài 1.15 trang 23 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình:

a) \(\cos(x+3) =\dfrac{1}{3}\)

b) \(\cos(3x-45^o)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

c) \(\cos(2x+\dfrac{\pi}{3})=-\dfrac{1}{2}\)

d) \((2+\cos x)(3\cos2x-1)=0\)

Phương pháp giải:

a) c) Phương trình cosx = a

- Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: \(x=\pm\arccos a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

b) Phương trình cosx = a

- Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1 có βo thỏa mãn cosβ= a trong đó βo=arccosa.

Khi đó phương trình có nghiệm là \(x=\pm\beta^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\).

d) - Sử dụng công thức f(x)g(x)=0

\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} f(x) = 0\\g(x) = 0\end{array} \right.\)

- Phương trình cosx = a

+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

+ Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: \(x=\pm\arccos a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

a) \(\cos(x+3) =\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow x+3 = \pm\arccos\dfrac{1}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x =-3 \pm\arccos\dfrac{1}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

b) \(\cos(3x-45^o)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cos(3x-45^o)=\cos {30}^o\)

\(\Leftrightarrow 3x-{45}^o = \pm{30}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x= {25}^o+k{120}^o ,k \in \mathbb{Z}\\x= {5}^o+k{120}^o ,k \in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là: \(x= {25}^o+k{120}^o ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x= {5}^o+k{120}^o ,k \in\mathbb{Z}\).

c) \(\cos(2x+\dfrac{\pi}{3})=-\dfrac{1}{2}\)

Ta có: \(-\dfrac{1}{2}=\cos(\arccos-\dfrac{1}{2})=\cos (\dfrac{2\pi}{3})\)

Khi đó \(2x+\dfrac{\pi}{3}=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=-\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là: \(x = \dfrac{\pi}{6}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=-\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

d) \((2+\cos x)(3\cos2x-1)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} 2+\cos x = 0\\3\cos2x-1 = 0\end{array} \right.\)

Nếu cosx = −2 (vô nghiệm)

Nếu \(\cos 2x = \dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow 2x = \pm\arccos\dfrac{1}{3}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x = \pm\dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{1}{3}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \pm\dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{1}{3}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

3. Giải bài 1.16 trang 24 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình:

a) \(\tan (2x+45^o) =-1\)

b) \(\cot (x+\dfrac{\pi}{3})=\sqrt{3}\)

c) \(\tan (\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4})=\tan\dfrac{\pi}{8}\)

d) \(\cot (\dfrac{x}{3}+20^o)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Phương pháp giải:

a) Phương trình \(\tan x=\tan \beta^o\) có nghiệm là \(x=\beta^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}\).

b) Phương trình \(\cot x=\cot \alpha\) có nghiệm là \(x=\alpha+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

c) Phương trình \(\tan x=\tan\alpha\) có nghiệm là \(x=\alpha+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

d) Phương trình \(\cot x=\cot \beta^o\) có nghiệm là \(x=\beta^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải

a) \(\tan (2x+45^o) =-1\)

Ta có: \(-1=\tan({-45}^o)\)

Khi đó \(\tan(2x+{45}^o)=\tan({-45}^o)\)

\(\Leftrightarrow 2x+{45}^o={-45}^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x={-45}^o+k{90}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \( x={-45}^o+k{90}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

b) \(\cot (x+\dfrac{\pi}{3})=\sqrt{3}\)

Ta có: \(\sqrt{3}=\cot(\text{arccot} \sqrt{3})=\cot(\arctan\dfrac{1}{\sqrt{3}})=\cot\dfrac{\pi}{6}\)

Khi đó \(\cot(x+\dfrac{\pi}{3})=\cot\dfrac{\pi}{6}\)

\(\Leftrightarrow x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \( x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

c) \(\tan (\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4})=\tan\dfrac{\pi}{8}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{8}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

d) \(\cot (\dfrac{x}{3}+20^o)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Ta có:

 \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\cot(\text{arccot} (-\dfrac{\sqrt{3}}{3}))=\cot(\arctan (-\dfrac{3}{\sqrt{3}}))=\cot(-{60}^o)\)

Khi đó \(\cot(\dfrac{\pi}{3}+{20}^o)=\cot(-{60}^o)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\pi}{3}+{20}^o=-{60}^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x={-240}^o+k{540}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \( x={-240}^o+k{540}^o ,k\in\mathbb{Z}\).

4. Giải bài 1.17 trang 24 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình:

a) \(\cos 3x - \sin 2x = 0\)

b) \(\tan x\tan 2x = -1\)

c) \(\sin 3x+\sin 5x = 0\)

d) \(\cot 2x\cot 3x= 1\)

Phương pháp giải:

a) Đưa phương trình về dạng cosa = cosb. Khi đó \(a=\pm b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

b) - Tìm điều kiện xác định của tanx và tan2x là cosx ≠ 0 và cos2x ≠ 0.

- Biến đổi \(\tan x=\dfrac{\ sin x}{\cos x}\).

- Áp dụng công thức cosin của một hiệu: \(\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\).

c) Đưa phương trình về dạng sina = sinb

Khi đó \(a=b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\) và \(a=\pi-b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

d) - Tìm điều kiện xác định của cot2x và cot3x là sin2x ≠ 0 và sin3x ≠ 0.

- Biến đổi \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\).

- Áp dụng công thức cosin của một tổng: \(\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\).

Hướng dẫn giải:

a) \(\cos 3x - \sin 2x = 0\)

\(\Leftrightarrow\cos 3x=\sin 2x\)

\(\Leftrightarrow\cos 3x=\cos(\dfrac{\pi}{2}-2x)\)

\(\Leftrightarrow 3x=\pm(\dfrac{\pi}{2}-2x)+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}5x = \dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\) và \(x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

b) \(\tan x\tan 2x = -1\) (1)

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne0\\\cos 2x\ne0\end{array} \right.\)

(1) \(\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x}\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}=-1\)

\(\Rightarrow \sin x\sin 2x=-\cos x\cos 2x\)

\(\Leftrightarrow \cos x\cos 2x+\sin x\sin 2x=0\)

\(\Leftrightarrow \cos (2x-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \cos x=0\)

Kết hợp với điều kiện khi đó phương trình vô nghiệm.

c) \(\sin 3x+\sin 5x = 0\)

\(\Leftrightarrow \sin 5x=-\sin 3x\)

\(\Leftrightarrow \sin 5x=\sin (-3x)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x = -3x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\5x= \pi-(-3x)+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x=k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

d) \(\cot 2x\cot 3x= 1\) (2)

Điều kiện xác định: 

\(\left\{ \begin{array}{l} \sin 2x\ne0\\\sin 3x\ne0\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 2x\ne m\pi ,m\in\mathbb{Z}\\3x\ne m\pi ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\x\ne m\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

(2) \(\Leftrightarrow \dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}\dfrac{\cos 3x}{\sin 3x}=1\)

\(\Rightarrow \cos 2x\cos 3x=\sin 2x\sin 3x\)

\(\Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x-\sin 2x\sin 3x=0\)

\(\Leftrightarrow \cos (2x+3x)=0\)

\(\Leftrightarrow \cos 5x=0\)

\(\Leftrightarrow 5x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\)

Với điều kiện ở trên khi đó:

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\ne m\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} k\ne\dfrac{5m-1}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\k\ne\dfrac{10m-3}{6} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\) với \(k\ne\dfrac{5m-1}{2}\) và \(k\ne\dfrac{10m-3}{6}\)\(m\in\mathbb{Z}\)

5. Giải bài 1.18 trang 24 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình \(\sin 5x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) là

A. \(\dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\) và \(\dfrac{4\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\) \((k\in\mathbb{Z})\)

B. \(\dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\) và \(\dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\)\((k\in\mathbb{Z})\)

C. \(\dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\) và \(\dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\) \((k\in\mathbb{Z})\)

D. \(\dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\) và \(\dfrac{4\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\) \((k\in\mathbb{Z})\)

Phương pháp giải:

 Phương trình sinx = a

- Nếu |a|>1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a|≤1 khi đó phương trình có nghiệm là:

\(x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin \dfrac{\pi}{3}\)

Khi đó \(\sin 5x=\sin \dfrac{\pi}{3}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\5x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\\x= \dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy chọn đáp án C.

6. Giải bài 1.19 trang 24 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình \(\cot(2x-{30}^o)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) là:

A. \({30}^o+k{90}^o\) \((k\in\mathbb{Z})\)

B. \({75}^o+k{90}^o\) \((k\in\mathbb{Z})\)

C. \({45}^o+k{90}^o\) \((k\in\mathbb{Z})\)

D. \({-75}^o+k{90}^o\) \((k\in\mathbb{Z})\)

Phương pháp giải:

Phương trình: cotx = a có βo thỏa mãn cotβo=a có nghiệm là \(x=\beta^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\cot({-60}^o)\)

Khi đó \(\cot(2x-{30}^o)=\cot({-60}^o)\)

\(\Leftrightarrow 2x-{30}^o={-60}^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x={-15}^o+k{90}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

Hay \(x={75}^o+k{90}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

Vậy chọn đáp án B.

7. Giải bài 1.20 trang 24 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình \(\tan x+\tan(x+\dfrac{\pi}{4})+2=0\) là

A. \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\) và \(x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\)

B. \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) và \(x=\dfrac{2\pi}{3}+k\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\)

C. \(x=\pm\dfrac{\pi}{6}+k\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\)

D. \(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\)

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Áp dụng công thức cộng: \(\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\).

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} \sin x\ne 0 \\ \sin (x+\dfrac{\pi}{4})\ne 0\end{array} \right.\)

\(\tan x+\tan(x+\dfrac{\pi}{4})+2=0\)

\(\Leftrightarrow \tan x+\dfrac{\tan x+\tan \dfrac{\pi}{4}}{1-\tan x\tan \dfrac{\pi}{4}}+2=0\)

\(\Leftrightarrow \tan x+\dfrac{\tan x+1}{1-\tan x}+2=0\)

\(\Leftrightarrow \tan x-{\tan}^2 x+\tan x+1+2-2\tan x=0\)

\(\Leftrightarrow {\tan}^2 x=3\)

\(\Leftrightarrow \tan x=\pm\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\) (thỏa mãn)

Vậy chọn đáp án D.

8. Giải bài 1.21 trang 25 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình sin3xcosx − sin4x = 0 là

A. \(k\pi\) và \(\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}\) \((k\in\mathbb{Z})\)

B. \(\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\)

C. \(\dfrac{\pi}{3}+k\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\)

D. \(\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\) và \(\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng để rút gọn phương trình.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\sin 3x\cos x=\dfrac{1}{2}[\sin(3x+x)+\sin(3x-x)]\) 

sin3xcosx − sin4x = 0

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(\sin 4x+\sin 2x)-\sin 4x=0\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(\sin 2x-\sin 4x)=0\)

\(\Leftrightarrow \sin 4x=\sin 2x\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = 2x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\4x= \pi-2x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy chọn đáp án A.

9. Giải bài 1.22 trang 25 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình cos2xcos4x = 1 thuộc đoạn \(\left[ { - \pi ; \pi} \right]\) là

A. \(-\dfrac{\pi}{2},0 \ và \ \pi\)

B. \(0, \dfrac{\pi}{2} \ và \ \pi\)

C. \(-\pi, 0 \ và \ \pi\)

D. \(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \ và \ \pi\)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng để thu gọn phương trình.

Hướng dẫn giải:

\(\cos 2x \cos 4x=1\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}[\cos(4x+2x)+\cos(4x-2x)]=1\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(\cos 6x+\cos 2x)=1\)

\(\Leftrightarrow \cos 6x+\cos 2x=2\)

Vì \(-1\le\cos 6x\le1\) và \(-1\le\cos 2x\le1\)

Nên phương trình xảy ra khi:

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos 6x=1\\\cos 2x=1\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6x=k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\2x=k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{3} ,k\in\mathbb{Z}\\x=k\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow x=k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

Với k = −1, k = 0 và k = 1 phương trình có 3 nghiệm \(-\pi, 0 \ và \ \pi\) thuộc đoạn \(\left[ { - \pi ; \pi} \right]\).

Vậy chọn đáp án C.

10. Giải bài 1.23 trang 25 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình tanxcot3x = −1 thuộc đoạn \(\left[ { 0 ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) là:

A. \(\dfrac{\pi}{6}\)\(\dfrac{\pi}{4}\) và \(\dfrac{\pi}{3}\)

B. \(\dfrac{\pi}{2}\)\(\dfrac{3\pi}{4}\) và \(\pi\)

C. \(\dfrac{\pi}{6}\)\(\dfrac{3\pi}{4}\) và \(\dfrac{5\pi}{4}\)

D. \(\dfrac{\pi}{4}\)\(\dfrac{3\pi}{4}\) và \(\dfrac{5\pi}{4}\)

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Áp dụng công thức \(\cot x=\dfrac{1}{\tan x}\) để rút gọn phương trình.

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne 0 \\ \sin 3x\ne 0\end{array} \right.\)

tanxcot3x = −1

\(\Leftrightarrow \tan x \dfrac{1}{\tan 3x}=-1\)

\(\Leftrightarrow \tan x =-\tan 3x=\tan (-3x)\)

\(\Leftrightarrow x =-3x+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x =\dfrac{k\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}\)

Có bảy giá trị của \(\dfrac{k\pi}{4}\) thuộc đoạn \(\left[ { 0 ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) là 0, \(\dfrac{\pi}{4}\)\(\dfrac{\pi}{2}\)\(\dfrac{3\pi}{4}\)\(\pi\)\(\dfrac{5\pi}{4}\) và \(\dfrac{3\pi}{2}\).

Vậy chọn đáp án D.

11. Giải bài 1.24 trang 25 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm lớn nhất của phương trình sin3x − cosx = 0 thuộc đoạn \(\left[ { -\frac{{\pi }}{2} ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) là

A. \(\dfrac{3\pi}{2}\)

B. \(\dfrac{4\pi}{3}\)

C. \(\dfrac{5\pi}{4}\)

D. \(\pi\)

Phương pháp giải:

- Đưa phương trình về dạng sina = sinb.

- Phương trình có các nghiệm là: \(a = b+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(a=\pi-b+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

sin3x − cosx = 0

\(\Leftrightarrow \sin 3x=\cos x\)

\(\Leftrightarrow \sin 3x=\sin (\dfrac{\pi}{2}-x)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2}-x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\3x= \pi-(\dfrac{\pi}{2}-x)+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Với \(x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2}\) ta có 4 giá trị là \(-\dfrac{3\pi}{8}\)\(\dfrac{\pi}{8}\)\(\dfrac{5\pi}{8}\) và \(\dfrac{9\pi}{8}\).

Với \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) ta có 2 giá trị là \(\dfrac{\pi}{4}\) và \(\dfrac{5\pi}{4}\).

Vậy chọn đáp án C.

Ngày:08/10/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM