Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

1. Giải bài 1.14 trang 23 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin 3x =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

b) \(\sin (2x-15^o)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

c) \(\sin (\dfrac{x}{2}+10^o)=-\dfrac{1}{2}\)

d) \(\sin 4x=\dfrac{2}{3}\)

Phương pháp giải:

a) d) Phương trình sinx = a

- Nếu |a|>1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a|≤1 khi đó phương trình có nghiệm là:

\(x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

b) c) Phương trình sinx = a

- Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1 có β^o thỏa mãn sinβ^o = a trong đó β^o=arcsina. 

Khi đó phương trình có nghiệm là 

\(x=\beta^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x={180}^o-\beta^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

a) ​​\(\sin 3x =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Ta có: 

​​\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin(\arcsin(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}))=\sin (-\dfrac{\pi}{3})\)

Khi đó:

\(\sin 3x=\sin (-\dfrac{\pi}{3})\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = -\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\3x= \pi-({-\dfrac{\pi}{3}})+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\\ x=\dfrac{4\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là:

\(x = -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{4\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\)

b) \(\sin (2x-15^o)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Ta có:\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sin ({45}^o)\)

Khi đó: \(\sin(2x-{15}^o)=\sin ({45}^o)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x-{15}^o = {45}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ 2x-{15}^o = {135}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {30}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ x = {75}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = {30}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = {75}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\).

c) \(\sin (\dfrac{x}{2}+10^o)=-\dfrac{1}{2}\)

Ta có: \(-\dfrac{1}{2}=\sin (-{30}^o)\)

Khi đó \(\sin(\dfrac{x}{2}+{10}^o)=\sin (-{30}^o)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{x}{2}+{10}^o = -{30}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ \dfrac{x}{2}+{10}^o = {210}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = -{80}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ x = {400}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = -{80}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = {400}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\).

d) \(\sin 4x=\dfrac{2}{3}\)

Ta có: \(\dfrac{2}{3}=\sin(\arcsin\dfrac{2}{3})\)

Khi đó \(\sin 4x=\sin(\arcsin\dfrac{2}{3})\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = \arcsin\dfrac{2}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\4x= \pi-\arcsin\dfrac{2}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là: \(x = \dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\).

2. Giải bài 1.15 trang 23 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình:

a) \(\cos(x+3) =\dfrac{1}{3}\)

b) \(\cos(3x-45^o)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

c) \(\cos(2x+\dfrac{\pi}{3})=-\dfrac{1}{2}\)

d) \((2+\cos x)(3\cos2x-1)=0\)

Phương pháp giải:

a) c) Phương trình cosx = a

- Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: \(x=\pm\arccos a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

b) Phương trình cosx = a

- Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1 có β^o thỏa mãn cosβ^o = a trong đó β^o=arccosa.

Khi đó phương trình có nghiệm là \(x=\pm\beta^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\).

d) - Sử dụng công thức f(x)g(x)=0

\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} f(x) = 0\\g(x) = 0\end{array} \right.\)

- Phương trình cosx = a

+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

+ Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: \(x=\pm\arccos a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

a) \(\cos(x+3) =\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow x+3 = \pm\arccos\dfrac{1}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x =-3 \pm\arccos\dfrac{1}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

b) \(\cos(3x-45^o)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\cos(3x-45^o)=\cos {30}^o\)

\(\Leftrightarrow 3x-{45}^o = \pm{30}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x= {25}^o+k{120}^o ,k \in \mathbb{Z}\\x= {5}^o+k{120}^o ,k \in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là: \(x= {25}^o+k{120}^o ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x= {5}^o+k{120}^o ,k \in\mathbb{Z}\).

c) \(\cos(2x+\dfrac{\pi}{3})=-\dfrac{1}{2}\)

Ta có: \(-\dfrac{1}{2}=\cos(\arccos-\dfrac{1}{2})=\cos (\dfrac{2\pi}{3})\)

Khi đó \(2x+\dfrac{\pi}{3}=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=-\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là: \(x = \dfrac{\pi}{6}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=-\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

d) \((2+\cos x)(3\cos2x-1)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} 2+\cos x = 0\\3\cos2x-1 = 0\end{array} \right.\)

Nếu cosx = −2 (vô nghiệm)

Nếu \(\cos 2x = \dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow 2x = \pm\arccos\dfrac{1}{3}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x = \pm\dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{1}{3}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \pm\dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{1}{3}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

3. Giải bài 1.16 trang 24 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình:

a) \(\tan (2x+45^o) =-1\)

b) \(\cot (x+\dfrac{\pi}{3})=\sqrt{3}\)

c) \(\tan (\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4})=\tan\dfrac{\pi}{8}\)

d) \(\cot (\dfrac{x}{3}+20^o)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Phương pháp giải:

a) Phương trình \(\tan x=\tan \beta^o\) có nghiệm là \(x=\beta^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}\).

b) Phương trình \(\cot x=\cot \alpha\) có nghiệm là \(x=\alpha+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

c) Phương trình \(\tan x=\tan\alpha\) có nghiệm là \(x=\alpha+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

d) Phương trình \(\cot x=\cot \beta^o\) có nghiệm là \(x=\beta^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải

a) \(\tan (2x+45^o) =-1\)

Ta có: \(-1=\tan({-45}^o)\)

Khi đó \(\tan(2x+{45}^o)=\tan({-45}^o)\)

\(\Leftrightarrow 2x+{45}^o={-45}^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x={-45}^o+k{90}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \( x={-45}^o+k{90}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

b) \(\cot (x+\dfrac{\pi}{3})=\sqrt{3}\)

Ta có: \(\sqrt{3}=\cot(\text{arccot} \sqrt{3})=\cot(\arctan\dfrac{1}{\sqrt{3}})=\cot\dfrac{\pi}{6}\)

Khi đó \(\cot(x+\dfrac{\pi}{3})=\cot\dfrac{\pi}{6}\)

\(\Leftrightarrow x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \( x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

c) \(\tan (\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4})=\tan\dfrac{\pi}{8}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{8}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

d) \(\cot (\dfrac{x}{3}+20^o)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Ta có:

 \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\cot(\text{arccot} (-\dfrac{\sqrt{3}}{3}))=\cot(\arctan (-\dfrac{3}{\sqrt{3}}))=\cot(-{60}^o)\)

Khi đó \(\cot(\dfrac{\pi}{3}+{20}^o)=\cot(-{60}^o)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\pi}{3}+{20}^o=-{60}^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x={-240}^o+k{540}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \( x={-240}^o+k{540}^o ,k\in\mathbb{Z}\).

4. Giải bài 1.17 trang 24 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình:

a) \(\cos 3x - \sin 2x = 0\)

b) \(\tan x\tan 2x = -1\)

c) \(\sin 3x+\sin 5x = 0\)

d) \(\cot 2x\cot 3x= 1\)

Phương pháp giải:

a) Đưa phương trình về dạng cosa = cosb. Khi đó \(a=\pm b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

b) - Tìm điều kiện xác định của tanx và tan2x là cosx ≠ 0 và cos2x ≠ 0.

- Biến đổi \(\tan x=\dfrac{\ sin x}{\cos x}\).

- Áp dụng công thức cosin của một hiệu: \(\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\).

c) Đưa phương trình về dạng sina = sinb

Khi đó \(a=b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\) và \(a=\pi-b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

d) - Tìm điều kiện xác định của cot2x và cot3x là sin2x ≠ 0 và sin3x ≠ 0.

- Biến đổi \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\).

- Áp dụng công thức cosin của một tổng: \(\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\).

Hướng dẫn giải:

a) \(\cos 3x - \sin 2x = 0\)

\(\Leftrightarrow\cos 3x=\sin 2x\)

\(\Leftrightarrow\cos 3x=\cos(\dfrac{\pi}{2}-2x)\)

\(\Leftrightarrow 3x=\pm(\dfrac{\pi}{2}-2x)+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}5x = \dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\) và \(x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

b) \(\tan x\tan 2x = -1\) (1)

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne0\\\cos 2x\ne0\end{array} \right.\)

(1) \(\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x}\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}=-1\)

\(\Rightarrow \sin x\sin 2x=-\cos x\cos 2x\)

\(\Leftrightarrow \cos x\cos 2x+\sin x\sin 2x=0\)

\(\Leftrightarrow \cos (2x-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \cos x=0\)

Kết hợp với điều kiện khi đó phương trình vô nghiệm.

c) \(\sin 3x+\sin 5x = 0\)

\(\Leftrightarrow \sin 5x=-\sin 3x\)

\(\Leftrightarrow \sin 5x=\sin (-3x)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x = -3x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\5x= \pi-(-3x)+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x=k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

d) \(\cot 2x\cot 3x= 1\) (2)

Điều kiện xác định: 

\(\left\{ \begin{array}{l} \sin 2x\ne0\\\sin 3x\ne0\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 2x\ne m\pi ,m\in\mathbb{Z}\\3x\ne m\pi ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\x\ne m\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

(2) \(\Leftrightarrow \dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}\dfrac{\cos 3x}{\sin 3x}=1\)

\(\Rightarrow \cos 2x\cos 3x=\sin 2x\sin 3x\)

\(\Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x-\sin 2x\sin 3x=0\)

\(\Leftrightarrow \cos (2x+3x)=0\)

\(\Leftrightarrow \cos 5x=0\)

\(\Leftrightarrow 5x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\)

Với điều kiện ở trên khi đó:

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\ne m\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} k\ne\dfrac{5m-1}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\k\ne\dfrac{10m-3}{6} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\) với \(k\ne\dfrac{5m-1}{2}\) và \(k\ne\dfrac{10m-3}{6}\), \(m\in\mathbb{Z}\)

5. Giải bài 1.18 trang 24 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình \(\sin 5x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) là

A. \(\dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\) và \(\dfrac{4\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\) \((k\in\mathbb{Z})\)

B. \(\dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\) và \(\dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\)\((k\in\mathbb{Z})\)

C. \(\dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\) và \(\dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\) \((k\in\mathbb{Z})\)

D. \(\dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\) và \(\dfrac{4\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}\) \((k\in\mathbb{Z})\)

Phương pháp giải:

 Phương trình sinx = a

- Nếu |a|>1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a|≤1 khi đó phương trình có nghiệm là:

\(x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin \dfrac{\pi}{3}\)

Khi đó \(\sin 5x=\sin \dfrac{\pi}{3}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\5x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\\x= \dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy chọn đáp án C.

6. Giải bài 1.19 trang 24 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình \(\cot(2x-{30}^o)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) là:

A. \({30}^o+k{90}^o\) \((k\in\mathbb{Z})\)

B. \({75}^o+k{90}^o\) \((k\in\mathbb{Z})\)

C. \({45}^o+k{90}^o\) \((k\in\mathbb{Z})\)

D. \({-75}^o+k{90}^o\) \((k\in\mathbb{Z})\)

Phương pháp giải:

Phương trình: cotx = a có β^o thỏa mãn cotβ^o=a có nghiệm là \(x=\beta^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\cot({-60}^o)\)

Khi đó \(\cot(2x-{30}^o)=\cot({-60}^o)\)

\(\Leftrightarrow 2x-{30}^o={-60}^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x={-15}^o+k{90}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

Hay \(x={75}^o+k{90}^o ,k\in\mathbb{Z}\)

Vậy chọn đáp án B.

7. Giải bài 1.20 trang 24 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình \(\tan x+\tan(x+\dfrac{\pi}{4})+2=0\) là

A. \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\) và \(x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\)

B. \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) và \(x=\dfrac{2\pi}{3}+k\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\)

C. \(x=\pm\dfrac{\pi}{6}+k\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\)

D. \(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\)

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Áp dụng công thức cộng: \(\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\).

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} \sin x\ne 0 \\ \sin (x+\dfrac{\pi}{4})\ne 0\end{array} \right.\)

\(\tan x+\tan(x+\dfrac{\pi}{4})+2=0\)

\(\Leftrightarrow \tan x+\dfrac{\tan x+\tan \dfrac{\pi}{4}}{1-\tan x\tan \dfrac{\pi}{4}}+2=0\)

\(\Leftrightarrow \tan x+\dfrac{\tan x+1}{1-\tan x}+2=0\)

\(\Leftrightarrow \tan x-{\tan}^2 x+\tan x+1+2-2\tan x=0\)

\(\Leftrightarrow {\tan}^2 x=3\)

\(\Leftrightarrow \tan x=\pm\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\) (thỏa mãn)

Vậy chọn đáp án D.

8. Giải bài 1.21 trang 25 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình sin3xcosx − sin4x = 0 là

A. \(k\pi\) và \(\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}\) \((k\in\mathbb{Z})\)

B. \(\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\)

C. \(\dfrac{\pi}{3}+k\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\)

D. \(\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\) và \(\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng để rút gọn phương trình.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\sin 3x\cos x=\dfrac{1}{2}[\sin(3x+x)+\sin(3x-x)]\) 

sin3xcosx − sin4x = 0

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(\sin 4x+\sin 2x)-\sin 4x=0\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(\sin 2x-\sin 4x)=0\)

\(\Leftrightarrow \sin 4x=\sin 2x\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = 2x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\4x= \pi-2x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy chọn đáp án A.

9. Giải bài 1.22 trang 25 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình cos2xcos4x = 1 thuộc đoạn \(\left[ { - \pi ; \pi} \right]\) là

A. \(-\dfrac{\pi}{2},0 \ và \ \pi\)

B. \(0, \dfrac{\pi}{2} \ và \ \pi\)

C. \(-\pi, 0 \ và \ \pi\)

D. \(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \ và \ \pi\)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng để thu gọn phương trình.

Hướng dẫn giải:

\(\cos 2x \cos 4x=1\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}[\cos(4x+2x)+\cos(4x-2x)]=1\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(\cos 6x+\cos 2x)=1\)

\(\Leftrightarrow \cos 6x+\cos 2x=2\)

Vì \(-1\le\cos 6x\le1\) và \(-1\le\cos 2x\le1\)

Nên phương trình xảy ra khi:

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos 6x=1\\\cos 2x=1\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6x=k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\2x=k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{3} ,k\in\mathbb{Z}\\x=k\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow x=k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

Với k = −1, k = 0 và k = 1 phương trình có 3 nghiệm \(-\pi, 0 \ và \ \pi\) thuộc đoạn \(\left[ { - \pi ; \pi} \right]\).

Vậy chọn đáp án C.

10. Giải bài 1.23 trang 25 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình tanxcot3x = −1 thuộc đoạn \(\left[ { 0 ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) là:

A. \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{\pi}{4}\) và \(\dfrac{\pi}{3}\)

B. \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\) và \(\pi\)

C. \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\) và \(\dfrac{5\pi}{4}\)

D. \(\dfrac{\pi}{4}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\) và \(\dfrac{5\pi}{4}\)

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Áp dụng công thức \(\cot x=\dfrac{1}{\tan x}\) để rút gọn phương trình.

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne 0 \\ \sin 3x\ne 0\end{array} \right.\)

tanxcot3x = −1

\(\Leftrightarrow \tan x \dfrac{1}{\tan 3x}=-1\)

\(\Leftrightarrow \tan x =-\tan 3x=\tan (-3x)\)

\(\Leftrightarrow x =-3x+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x =\dfrac{k\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}\)

Có bảy giá trị của \(\dfrac{k\pi}{4}\) thuộc đoạn \(\left[ { 0 ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) là 0, \(\dfrac{\pi}{4}\), \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\), \(\pi\), \(\dfrac{5\pi}{4}\) và \(\dfrac{3\pi}{2}\).

Vậy chọn đáp án D.

11. Giải bài 1.24 trang 25 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm lớn nhất của phương trình sin3x − cosx = 0 thuộc đoạn \(\left[ { -\frac{{\pi }}{2} ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) là

A. \(\dfrac{3\pi}{2}\)

B. \(\dfrac{4\pi}{3}\)

C. \(\dfrac{5\pi}{4}\)

D. \(\pi\)

Phương pháp giải:

- Đưa phương trình về dạng sina = sinb.

- Phương trình có các nghiệm là: \(a = b+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(a=\pi-b+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

sin3x − cosx = 0

\(\Leftrightarrow \sin 3x=\cos x\)

\(\Leftrightarrow \sin 3x=\sin (\dfrac{\pi}{2}-x)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2}-x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\3x= \pi-(\dfrac{\pi}{2}-x)+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Với \(x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2}\) ta có 4 giá trị là \(-\dfrac{3\pi}{8}\), \(\dfrac{\pi}{8}\), \(\dfrac{5\pi}{8}\) và \(\dfrac{9\pi}{8}\).

Với \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) ta có 2 giá trị là \(\dfrac{\pi}{4}\) và \(\dfrac{5\pi}{4}\).

Vậy chọn đáp án C.