Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 1: Khái niệm đạo hàm

Tìm số gia của hàm số \(y = {x^2} - 1\) tại điểm x₀ = 1 ứng với số gia ∆x, biết:

a) ∆x = 1.

b) ∆x = -0,1.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right).\)

Thay \(x_0,\Delta x\) vào công thức trên suy ra \(\Delta y\).

Hướng dẫn giải:

a) Đặt \(f(x) = {x^2} - 1\)

Ta có: \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)

\(= f\left( 1+1 \right) - f\left( 1 \right) \) \(= f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 3 - 0 = 3\)

b) \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)

\(=f(1-0,1)-f(1)\)

\(= f\left( {0,9} \right) - f\left( 1 \right) \) \(= ({\left( {0,9} \right)^2} - 1) -(1^2-1)= - 0,19\)

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x₀

a) \(y = 2x + 1,{x_0} = 2\)

b) \(y = {x^2} + 3x,{x_0} = 1\)

Phương pháp giải:

- Tính \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)

- Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(f(x) = 2x + 1\), cho x₀ = 2 một số gia Δx

Ta có:

\(\eqalign{ & \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) \cr & = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right) \cr & = 2\left( {2 + \Delta x} \right) + 1 - 5 = 2\Delta x \cr & \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = 2 \cr &\Rightarrow f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = 2 \cr} \)

b) \(f\left( x \right) = {x^2} + 3x;\) cho x₀ = 1 một số gia Δx

Ta có:

\(\eqalign{ & \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) \cr & = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right) \cr & = {\left( {1 + \Delta x} \right)^2} + 3\left( {1 + \Delta x} \right) - 4 \cr & = 5\Delta x + ({\Delta }x)^2 \cr & \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = 5 + \Delta x \cr &\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} =\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (5 + \Delta x )= 5 \cr} \)

Vậy f'(1) = 5.

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x₀ (a là hằng số).

a) y = ax + 3

b) \(y = {1 \over 2}a{x^2}\)

Phương pháp giải:

- Tính \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)

- Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

Hướng dẫn giải:

f(x) = ax + 3, cho x₀ một số gia Δx, ta có:

\(\eqalign{ & \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) \cr & = a\left( {{x_0} + \Delta x} \right) + 3 - \left( {a{x_0} + 3} \right)\cr & = a\Delta x \cr & \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = a\cr & \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = a \cr} \)

\(\eqalign{b) & f\left( x \right) = {1 \over 2}a{x^2}\cr &\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) \cr & = {1 \over 2}a{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} - {1 \over 2}ax_0^2 \cr & = \frac{1}{2}ax_0^2 + a{x_0}\Delta x + \frac{1}{2}a{\left( {\Delta x} \right)^2} - \frac{1}{2}ax_0^2\cr & = a{x_0}\Delta x + \frac{1}{2}a{\left( {\Delta x} \right)^2} \cr & = \Delta x\left( {a{x_0} + \frac{1}{2}a\Delta x} \right)\cr & \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {a{x_0} + \frac{1}{2}a\Delta x} \right) = a{x_0} \cr} \)

Cho parabol y = x² và hai điểm A(2 ; 4) và B(2 + ∆x ; 4 + ∆y) trên parabol đó.

a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết ∆x lần lượt bằng 1 ; 0,1 và 0,01.

b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A.

Phương pháp giải:

a) Công thức tính hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm A, B là: \(k = \dfrac{{{y_B} - {y_A}}}{{{x_B} - {x_A}}}\).

b) Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là đạo hàm của hàm số tại x = 2.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(A\left( {2;4} \right);B\left( {2 + \Delta x,{{\left( {2 + \Delta x} \right)}^2}} \right)\)

Hệ số góc của cát tuyến AB là:

\(k = \dfrac{{{y_B} - {y_A}}}{{{x_B} - {x_A}}}\\ = {{{{\left( {2 + \Delta x} \right)}^2} - 4} \over {2 + \Delta x - 2}} \\= {{4\Delta x + (\Delta {x})^2} \over {\Delta x}} \\= 4 + \Delta x\)

Nếu Δx = 1 thì k = 5

Nếu Δx = 0,1 thì k = 4,1

Nếu Δx = 0,01 thì k = 4,01

b) Ta có: Δy = f(2 + Δx) - f(2) = (2 + Δx)² - 4 = 4.Δx + (Δx)²

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {4 + \Delta x} \right) = 4 \)

\(\Rightarrow y'\left( 2 \right) = 4\)

Vậy hệ số góc tiếp tuyến của parabol tại A là: k = 4

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3},\) biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ bằng -1.

b) Tiếp điểm có tung độ bằng 8.

Phương pháp giải:

a) - Thay x = -1 vào hàm số để tìm y.

- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M(x_0;y_0)\) là: \(y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)\).

b) Thay y = 8 vào hàm số để tìm x.

- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M(x_0;y_0)\) là: \(y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\eqalign{ & {x_0} = - 1;{y_0} = {\left( { - 1} \right)^3} = - 1 \cr & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{{{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}^3} - x_0^3} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{3x_0^2\Delta x + 3{x_0}(\Delta x)^2 + {\Delta ^3}x} \over {\Delta x}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {3x_0^2 + 3{x_0}\Delta x + {\Delta ^2}x} \right) = 3x_0^2 \cr} \)

Với x₀ = -1 ta có \(f’(-1) = 3{\left( { - 1} \right)^2} = 3\)

Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại tiếp điểm có hoành độ bằng -1 là:

\(y - \left( { - 1} \right) = 3\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = 3x + 2\)

b) Với \({y_0} = 8 = x_0^3 \Rightarrow {x_0} = 2\)

\(f'\left( 2 \right) = {3.2^2} = 12\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

\(y - 8 = 12\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow y = 12x - 16\)

c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = 3 \Leftrightarrow 3x_0^2 = 3 \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1\)

Với x₀ = 1 ta có y₀ = 1 và phương trình tiếp tuyến là:

\(y - 1 = 3\left( {x - 1} \right)\,\) hay \(y = 3x - 2\)

Với x_­­0 = -1 ta có y₀ = -1 và phương trình tiếp tuyến là:

\(y -(- 1) = 3\left( {x + 1} \right)\) hay y = 3x + 2

Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là \(S = {1 \over 2}g{t^2},\) trong đó \(g = 9,8m/{s^2}\) và t được tính bằng giây (s).

a) Tìm vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t + ∆t với độ chính xác 0,001, biết t = 5 và ∆t lần lượt bằng 0,1 ; 0,01 ; 0,001.

b) Tìm vận tốc tại thời điểm t = 5.

Phương pháp giải:

a) Công thức tính vận tốc trung bình là \( {{\Delta s} \over {\Delta t}} \).

b) Vận tốc tại thời điểm t = 5 là đạo hàm của quãng đường tại t = 5.

Hướng dẫn giải:

Vận tốc trung bình của chuyển động là:

\(\eqalign{ & {{\Delta s} \over {\Delta t}} = {{s\left( {t + \Delta t} \right) - s\left( t \right)} \over {\Delta t}} \cr & = {1 \over 2}g.{{{{\left( {t + \Delta t} \right)}^2} - {t^2}} \over {\Delta t}} \cr & = {1 \over 2}g\left( {2t + \Delta t} \right) \cr & = {1 \over 2}g.\left( {10 + \Delta t} \right) \cr} \)

Với \(\Delta t = 0,1\,\text{ thì }\,{{\Delta s} \over {\Delta t}} = {1 \over 2}.g.10,1 = 49,49\,m/s\)

Với \(\Delta t = 0,01\,\text{ thì }\,{{\Delta s} \over {\Delta t}} = {1 \over 2}.g.10,01 = 49,049\,m/s\)

Với \(\Delta t = 0,001\,\text{ thì }\,{{\Delta s} \over {\Delta t}} = {1 \over 2}.g.10,001 = 49,0049\,m/s\)

b) Vận tốc tại thời điểm \(t = 5:v = S'\left( 5 \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} {{\Delta s} \over {\Delta t}} = {1 \over 2}g.10 = 49\,m/s\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^5}\) trên R rồi suy ra \(f'\left( { - 1} \right),f'\left( { - 2} \right)\,\text{ và }\,f'\left( 2 \right)\)

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} \).

- Thay x = -1; x = -2; x =2 vào đạo hàm của hàm số.

Hướng dẫn giải:

Với \(x_0\in\mathbb R\)

Ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{{x^5} - x_0^5} \over {x - {x_0}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^4} + {x^3}{x_0} + {x^2}x_0^2 + xx_0^3 + x_0^4} \right)\cr & = 5x_0^4 \cr & f'\left( { - 1} \right) =5.(-1)^4== 5\cr &f'\left( { - 2} \right) = {5.(-2)^4} = 80\cr &f'\left( 2 \right) =5.2^4= 80 \cr} \)

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau trên R.

a) \(y = a{x^2}\) (a là hằng số).

b) \(y = {x^3} + 2\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} \)

Hướng dẫn giải:

Đặt \(f(x)=y = a{x^2}\)

Với \(x_0\in\mathbb R\) ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{a{{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}^2} - ax_0^2} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} a\left( {2{x_0} + \Delta x} \right) = 2a{x_0} \cr} \)

b) Đặt \(f(x)=y = {x^3} + 2\)

Với \(x_0\in\mathbb R\) ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{{{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}^3} + 2 - x_0^3 - 2} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {{{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}^2} + \left( {{x_0} + \Delta x} \right){x_0} + x_0^2} \right] \cr &= 3x_0^2 \cr} \)

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) \(y = {1 \over {2x - 1}}\,\text{ với }\,x \ne {1 \over 2}\)

b) \(y = \sqrt {3 - x} \) với x < 3.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}}\)

Hướng dẫn giải:

Đặt \(f(x)=y = {1 \over {2x - 1}}\)

Với \({x_0} \ne {1 \over 2}\) ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{{1 \over {2{x_0} + 2\Delta x - 1}} - {1 \over {2{x_0} - 1}}} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{ - 2\Delta x} \over {\Delta x\left( {2{x_0} + 2\Delta x - 1} \right)\left( {2{x_0} - 1} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{ - 2} \over {\left( {2{x_0} + 2\Delta x - 1} \right)\left( {2{x_0} - 1} \right)}} \cr & = {{ - 2} \over {{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}}} \cr} \)

b) Đặt \(f(x)=y = \sqrt {3 - x} \)

Với x₀ < 3, ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\sqrt {3 - {x_0} - \Delta x} - \sqrt {3 - {x_0}} } \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{3 - {x_0} - \Delta x - 3 + {x_0}}}{{\Delta x\left( {\sqrt {3 - {x_0} - \Delta x} + \sqrt {3 - {x_0}} } \right)}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - \Delta x}}{{\Delta x\left( {\sqrt {3 - {x_0} - \Delta x} + \sqrt {3 - {x_0}} } \right)}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{ - 1} \over {\sqrt {3 - {x_0} - \Delta x} + \sqrt {3 - {x_0}} }} \cr &= {{ - 1} \over {2\sqrt {3 - {x_0}} }} \cr} \)

a) Tính f’(3) và f’(-4) nếu \(f(x) = {x^3}\).

b) Tính f’(1) và f’(9) nếu \(f\left( x \right) = \sqrt x \)

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính đạo hàm: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}}\).

- Thay x vào f'(x).

Hướng dẫn giải:

Với \(x_0\in\mathbb R\) ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{{x^3} - x_0^3} \over {x - {x_0}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x+ x{x_0} + x_0^2} \right) = 3x_0^2 \cr} \)

Suy ra \(f'\left( 3 \right) =3.3^2=27\)

\(f'\left( { - 4} \right) =3.(-4)^2= 48\)

b) Với \(x_0> 0\) ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{\sqrt x - \sqrt {{x_0}} } \over {x - {x_0}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x - \sqrt {{x_0}} }}{{\left( {\sqrt x - \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {{x_0}} } \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt x + \sqrt {{x_0}} }} = {1 \over {2\sqrt {{x_0}} }} \cr} \)

Suy ra: \(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 1 }} ={1 \over 2}\)

\(f'\left( 9 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }}= {1 \over 6}\)

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x₀ và đồ thị (G). Mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì tiếp tuyến của (G) tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) song song với trục hoành.

b) Nếu tiếp tuyến của G tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) song song với trục hoành thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\).

Phương pháp giải:

Suy luận từng mệnh đề, cho ví dụ minh họa nếu mệnh đề sai.

Hướng dẫn giải:

a) Mệnh đề sai vì tiếp tuyến có thể trùng với trục hoành.

Ví dụ: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\,\text{ với }\,{x_0} = 0\,\text{ thì }\,f'\left( 0 \right) = 0\) và tiếp tuyến tại điểm O(0 ; 0) trùng với trục hoành.

Mệnh đề sau đây mới đúng: “Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì tồn tại tiếp tuyến tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) của đồ thị hàm số y = f(x) song song hoặc trùng với trục hoành”

b) Mệnh đề đúng: Vì nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) song song với trục hoành thì hệ số góc của tiếp tuyến phải bằng 0, suy ra \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\)

Hình 5.4 là đồ thị của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b). Biết rằng tại các điểm M₁, M₂ và M₃, đồ thị hàm số có tiếp tuyến được thể hiện trên hình vẽ. Dựa vào hình vẽ, em hãy nêu nhận xét về dấu của \(f'\left( {{x_1}} \right),f'\left( {{x_2}} \right)\,và\,f'\left( {{x_3}} \right)\).

Phương pháp giải:

- Nếu tiếp tuyến tại x₀ là một đường thẳng “đi xuống” từ trái sang phải thì f'(x₀) < 0.

- Nếu tiếp tuyến tại x₀ là một đường thẳng song song với trục hoành thì f'(x₀) = 0.

- Nếu tiếp tuyến tại x₀ là một đường thẳng “đi lên” từ trái sang phải thì f'(x₀) > 0.

Hướng dẫn giải:

Đồ thị của hàm số y = f(x) có tiếp tuyến tại các điểm M₁, M₂ và M₃ nên hàm số y = f(x) có đạo hàm tại các điểm x₁, x₂ và x₃. Ta nhận thấy:

+ Tiếp tuyến tại các điểm M₁ là một đường thẳng “đi xuống” từ trái sang phải, nên hệ số góc của tiếp tuyến là một số âm, suy ra \(f'\left( {{x_1}} \right) < 0\)

+ Tiếp tuyến tại điểm M₂ là một đường thẳng song song với trục hoành nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 0, suy ra \(f'\left( {{x_2}} \right) = 0\)

+ Tiếp tuyến tại điểm M₃ là một đường thẳng “đi lên” từ trái sang phải, nên hệ số góc của tiếp tuyến là một số dương, suy ra \(f'\left( {{x_3}} \right) > 0\)

Chứng minh rằng để đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\), điều kiện cần và đủ là \(\left\{ {\matrix{ {a = f'\left( {{x_0}} \right)} \cr {a{x_0} + b = f\left( {{x_0}} \right)} \cr } } \right.\)

Phương pháp giải:

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) khi d và (C) cùng qua \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) và hệ số góc của d bằng đạo hàm của f tại x_o.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng: y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị (G) của hàm số f tại điểm \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) khi và chỉ khi đồng thời xảy ra:

(d) và (G) cùng đi qua điểm \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right),\) tức là \(a{x_0} + b = f\left( {{x_0}} \right)\)

Hệ số góc của (d) bằng đạo hàm của f tại x₀, tức là \(a = f'\left( {{x_0}} \right)\)

Từ đó suy ra đpcm.

Cho hàm số \(y = \left| x \right|\)

a) Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0.

b) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0, nếu có.

c) Mệnh đề “Hàm số liên tục tại điểm x₀ thì có đạo hàm tại x₀” đúng hay sai?

Phương pháp giải:

a) So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\) và f(0) và kết luận.

b) So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over x} \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over x} \) và kết luận.

c) Cho phản ví dụ để chứng tỏ mệnh đề sai.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| x \right| = 0 = f\left( 0 \right)\)

Vậy f liên tục tại x = 0.

b) Ta có:

\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\left| x \right|} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x \over x} = 1 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{\left| x \right|} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{ - x} \over x} = - 1 \cr} \)

Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over x}\) nên hàm số f không có đạo hàm tại x = 0.

c) Mệnh đề sai.

Thật vậy, hàm số \(f\left( x \right) = \left| x \right|\) liên tục tại điểm 0 (theo câu a) nhưng không có đạo hàm tại điểm đó (theo câu b).

Hình 5.5 là đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b). Dựa vào hình vẽ, hãy cho biết tại mỗi điểm x₁, x₂, x₃ và x₄:

a) Hàm số có liên tục hay không?

b) Hàm số có đạo hàm hay không? Hãy tính đạo hàm nếu có.

Phương pháp giải:

a) - Hàm số bị ngắt quãng khi đi qua các điểm thì sẽ gián đoạn tại điểm đó.

- Hàm số là đường “liền nét” khi đi qua các điểm thì sẽ liên tục tại điểm đó.

b) Hàm số có đạo hàm tại điểm nếu hàm số có tiếp tuyến và tiếp tuyến này song song với trục hoành.

Hướng dẫn giải:

a) Căn cứ vào hình ta nhận thấy:

+ Hàm số đã cho gián đoạn tại các điểm x₁ và x₃; vì đồ thị hàm số bị ngắt quãng khi đi qua các điểm M₁ và M₃.

+ Hàm số đã cho liên tục tại các điểm x₂ và x₄; vì đồ thị hàm số là đường “liền nét” khi đi qua các điểm M₂ và M₄.

+ Hàm số không có đạo hàm tại điểm x₂; vì điểm M₂ đồ thị là đường “gấp khúc” (và hiển nhiên tại đó không có tiếp tuyến của đồ thị hàm số), giống như đồ thị hàm số y = |x|.

b) Hàm số có đạo hàm tại điểm M₄ và \(f'\left( {{x_4}} \right) = 0;\) vì tại điểm M₄ đồ thị của hàm số có tiếp tuyến và tiếp tuyến này song song với trục hoành.