Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 1: Khái niệm đạo hàm

Dưới đây là hướng dẫn giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao bài Khái niệm đạo hàm trang 192, 195 với nội dung gồm các bài tập có hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. eLib hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.

Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 1: Khái niệm đạo hàm

1. Giải bài 1 trang 192 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Tìm số gia của hàm số \(y = {x^2} - 1\) tại điểm x0 = 1 ứng với số gia ∆x, biết:

a) ∆x = 1.

b) ∆x = -0,1.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right).\)

Thay \(x_0,\Delta x\) vào công thức trên suy ra \(\Delta y\).

Hướng dẫn giải:

a) Đặt \(f(x) = {x^2} - 1\)

Ta có: \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)

\(= f\left( 1+1 \right) - f\left( 1 \right) \) \(= f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 3 - 0 = 3\)

b) \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)

\(=f(1-0,1)-f(1)\)

\(= f\left( {0,9} \right) - f\left( 1 \right) \) \(= ({\left( {0,9} \right)^2} - 1) -(1^2-1)= - 0,19\)

2. Giải bài 2 trang 192 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0

a) \(y = 2x + 1,{x_0} = 2\)

b) \(y = {x^2} + 3x,{x_0} = 1\)

Phương pháp giải:

- Tính \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)

- Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(f(x) = 2x + 1\), cho x0 = 2 một số gia Δx

Ta có:

\(\eqalign{ & \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) \cr & = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right) \cr & = 2\left( {2 + \Delta x} \right) + 1 - 5 = 2\Delta x \cr & \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = 2 \cr &\Rightarrow f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = 2 \cr} \)

b) \(f\left( x \right) = {x^2} + 3x;\) cho x0 = 1 một số gia Δx

Ta có:

\(\eqalign{ & \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) \cr & = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right) \cr & = {\left( {1 + \Delta x} \right)^2} + 3\left( {1 + \Delta x} \right) - 4 \cr & = 5\Delta x + ({\Delta }x)^2 \cr & \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = 5 + \Delta x \cr &\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} =\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (5 + \Delta x )= 5 \cr} \)

Vậy f'(1) = 5.

3. Giải bài 3 trang 192 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0 (a là hằng số).

a) y = ax + 3

b) \(y = {1 \over 2}a{x^2}\)

Phương pháp giải:

- Tính \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)

- Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

Hướng dẫn giải:

f(x) = ax + 3, cho x0 một số gia Δx, ta có:

\(\eqalign{ & \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) \cr & = a\left( {{x_0} + \Delta x} \right) + 3 - \left( {a{x_0} + 3} \right)\cr & = a\Delta x \cr & \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = a\cr & \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = a \cr} \)

\(\eqalign{b) & f\left( x \right) = {1 \over 2}a{x^2}\cr &\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) \cr & = {1 \over 2}a{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} - {1 \over 2}ax_0^2 \cr & = \frac{1}{2}ax_0^2 + a{x_0}\Delta x + \frac{1}{2}a{\left( {\Delta x} \right)^2} - \frac{1}{2}ax_0^2\cr & = a{x_0}\Delta x + \frac{1}{2}a{\left( {\Delta x} \right)^2} \cr & = \Delta x\left( {a{x_0} + \frac{1}{2}a\Delta x} \right)\cr & \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {a{x_0} + \frac{1}{2}a\Delta x} \right) = a{x_0} \cr} \)

4. Giải bài 4 trang 192 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Cho parabol y = x2 và hai điểm A(2 ; 4) và B(2 + ∆x ; 4 + ∆y) trên parabol đó.

a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết ∆x lần lượt bằng 1 ; 0,1 và 0,01.

b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A.

Phương pháp giải:

a) Công thức tính hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm A, B là: \(k = \dfrac{{{y_B} - {y_A}}}{{{x_B} - {x_A}}}\).

b) Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là đạo hàm của hàm số tại x = 2.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(A\left( {2;4} \right);B\left( {2 + \Delta x,{{\left( {2 + \Delta x} \right)}^2}} \right)\)

Hệ số góc của cát tuyến AB là:

\(k = \dfrac{{{y_B} - {y_A}}}{{{x_B} - {x_A}}}\\ = {{{{\left( {2 + \Delta x} \right)}^2} - 4} \over {2 + \Delta x - 2}} \\= {{4\Delta x + (\Delta {x})^2} \over {\Delta x}} \\= 4 + \Delta x\)

Nếu Δx = 1 thì k = 5

Nếu Δx = 0,1 thì k = 4,1

Nếu Δx = 0,01 thì k = 4,01

b) Ta có: Δy = f(2 + Δx) - f(2) = (2 + Δx)2 - 4 = 4.Δx + (Δx)2

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {4 + \Delta x} \right) = 4 \)

\(\Rightarrow y'\left( 2 \right) = 4\)

Vậy hệ số góc tiếp tuyến của parabol tại A là: k = 4

5. Giải bài 5 trang 192 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3},\) biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ bằng -1.

b) Tiếp điểm có tung độ bằng 8.

Phương pháp giải:

a) - Thay x = -1 vào hàm số để tìm y.

- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M(x_0;y_0)\) là: \(y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)\).

b) Thay y = 8 vào hàm số để tìm x.

- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M(x_0;y_0)\) là: \(y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\eqalign{ & {x_0} = - 1;{y_0} = {\left( { - 1} \right)^3} = - 1 \cr & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{{{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}^3} - x_0^3} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{3x_0^2\Delta x + 3{x_0}(\Delta x)^2 + {\Delta ^3}x} \over {\Delta x}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {3x_0^2 + 3{x_0}\Delta x + {\Delta ^2}x} \right) = 3x_0^2 \cr} \)

Với x0 = -1 ta có \(f’(-1) = 3{\left( { - 1} \right)^2} = 3\)

Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại tiếp điểm có hoành độ bằng -1 là:

\(y - \left( { - 1} \right) = 3\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = 3x + 2\)

b) Với \({y_0} = 8 = x_0^3 \Rightarrow {x_0} = 2\)

\(f'\left( 2 \right) = {3.2^2} = 12\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

\(y - 8 = 12\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow y = 12x - 16\)

c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = 3 \Leftrightarrow 3x_0^2 = 3 \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1\)

Với x0 = 1 ta có y0 = 1 và phương trình tiếp tuyến là:

\(y - 1 = 3\left( {x - 1} \right)\,\) hay \(y = 3x - 2\)

Với x­­0 = -1 ta có y0 = -1 và phương trình tiếp tuyến là:

\(y -(- 1) = 3\left( {x + 1} \right)\) hay y = 3x + 2

6. Giải bài 6 trang 192 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là \(S = {1 \over 2}g{t^2},\) trong đó \(g = 9,8m/{s^2}\) và t được tính bằng giây (s).

a) Tìm vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t + ∆t với độ chính xác 0,001, biết t = 5 và ∆t lần lượt bằng 0,1 ; 0,01 ; 0,001.

b) Tìm vận tốc tại thời điểm t = 5.

Phương pháp giải:

a) Công thức tính vận tốc trung bình là \( {{\Delta s} \over {\Delta t}} \).

b) Vận tốc tại thời điểm t = 5 là đạo hàm của quãng đường tại t = 5.

Hướng dẫn giải:

Vận tốc trung bình của chuyển động là:

\(\eqalign{ & {{\Delta s} \over {\Delta t}} = {{s\left( {t + \Delta t} \right) - s\left( t \right)} \over {\Delta t}} \cr & = {1 \over 2}g.{{{{\left( {t + \Delta t} \right)}^2} - {t^2}} \over {\Delta t}} \cr & = {1 \over 2}g\left( {2t + \Delta t} \right) \cr & = {1 \over 2}g.\left( {10 + \Delta t} \right) \cr} \)

Với \(\Delta t = 0,1\,\text{ thì }\,{{\Delta s} \over {\Delta t}} = {1 \over 2}.g.10,1 = 49,49\,m/s\)

Với \(\Delta t = 0,01\,\text{ thì }\,{{\Delta s} \over {\Delta t}} = {1 \over 2}.g.10,01 = 49,049\,m/s\)

Với \(\Delta t = 0,001\,\text{ thì }\,{{\Delta s} \over {\Delta t}} = {1 \over 2}.g.10,001 = 49,0049\,m/s\)

b) Vận tốc tại thời điểm \(t = 5:v = S'\left( 5 \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} {{\Delta s} \over {\Delta t}} = {1 \over 2}g.10 = 49\,m/s\)

7. Giải bài 7 trang 192 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^5}\) trên R rồi suy ra \(f'\left( { - 1} \right),f'\left( { - 2} \right)\,\text{ và }\,f'\left( 2 \right)\)

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} \).

- Thay x = -1; x = -2; x =2 vào đạo hàm của hàm số.

Hướng dẫn giải:

Với \(x_0\in\mathbb R\)

Ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{{x^5} - x_0^5} \over {x - {x_0}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^4} + {x^3}{x_0} + {x^2}x_0^2 + xx_0^3 + x_0^4} \right)\cr & = 5x_0^4 \cr & f'\left( { - 1} \right) =5.(-1)^4== 5\cr &f'\left( { - 2} \right) = {5.(-2)^4} = 80\cr &f'\left( 2 \right) =5.2^4= 80 \cr} \)

8. Giải bài 8 trang 192 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau trên R.

a) \(y = a{x^2}\) (a là hằng số).

b) \(y = {x^3} + 2\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} \)

Hướng dẫn giải:

Đặt \(f(x)=y = a{x^2}\)

Với \(x_0\in\mathbb R\) ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{a{{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}^2} - ax_0^2} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} a\left( {2{x_0} + \Delta x} \right) = 2a{x_0} \cr} \)

b) Đặt \(f(x)=y = {x^3} + 2\)

Với \(x_0\in\mathbb R\) ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{{{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}^3} + 2 - x_0^3 - 2} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {{{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}^2} + \left( {{x_0} + \Delta x} \right){x_0} + x_0^2} \right] \cr &= 3x_0^2 \cr} \)

9. Giải bài 9 trang 192 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) \(y = {1 \over {2x - 1}}\,\text{ với }\,x \ne {1 \over 2}\)

b) \(y = \sqrt {3 - x} \) với x < 3.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}}\)

Hướng dẫn giải:

Đặt \(f(x)=y = {1 \over {2x - 1}}\)

Với \({x_0} \ne {1 \over 2}\) ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{{1 \over {2{x_0} + 2\Delta x - 1}} - {1 \over {2{x_0} - 1}}} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{ - 2\Delta x} \over {\Delta x\left( {2{x_0} + 2\Delta x - 1} \right)\left( {2{x_0} - 1} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{ - 2} \over {\left( {2{x_0} + 2\Delta x - 1} \right)\left( {2{x_0} - 1} \right)}} \cr & = {{ - 2} \over {{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}}} \cr} \)

b) Đặt \(f(x)=y = \sqrt {3 - x} \)

Với x0 < 3, ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\sqrt {3 - {x_0} - \Delta x} - \sqrt {3 - {x_0}} } \over {\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{3 - {x_0} - \Delta x - 3 + {x_0}}}{{\Delta x\left( {\sqrt {3 - {x_0} - \Delta x} + \sqrt {3 - {x_0}} } \right)}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - \Delta x}}{{\Delta x\left( {\sqrt {3 - {x_0} - \Delta x} + \sqrt {3 - {x_0}} } \right)}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{ - 1} \over {\sqrt {3 - {x_0} - \Delta x} + \sqrt {3 - {x_0}} }} \cr &= {{ - 1} \over {2\sqrt {3 - {x_0}} }} \cr} \)

10. Giải bài 10 trang 195 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

a) Tính f’(3) và f’(-4) nếu \(f(x) = {x^3}\).

b) Tính f’(1) và f’(9) nếu \(f\left( x \right) = \sqrt x \)

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính đạo hàm: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}}\).

- Thay x vào f'(x).

Hướng dẫn giải:

Với \(x_0\in\mathbb R\) ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{{x^3} - x_0^3} \over {x - {x_0}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x+ x{x_0} + x_0^2} \right) = 3x_0^2 \cr} \)

Suy ra \(f'\left( 3 \right) =3.3^2=27\)

\(f'\left( { - 4} \right) =3.(-4)^2= 48\)

b) Với \(x_0> 0\) ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{\sqrt x - \sqrt {{x_0}} } \over {x - {x_0}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x - \sqrt {{x_0}} }}{{\left( {\sqrt x - \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {{x_0}} } \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt x + \sqrt {{x_0}} }} = {1 \over {2\sqrt {{x_0}} }} \cr} \)

Suy ra: \(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 1 }} ={1 \over 2}\)

\(f'\left( 9 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }}= {1 \over 6}\)

11. Giải bài 11 trang 195 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 và đồ thị (G). Mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì tiếp tuyến của (G) tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) song song với trục hoành.

b) Nếu tiếp tuyến của G tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) song song với trục hoành thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\).

Phương pháp giải:

Suy luận từng mệnh đề, cho ví dụ minh họa nếu mệnh đề sai.

Hướng dẫn giải:

a) Mệnh đề sai vì tiếp tuyến có thể trùng với trục hoành.

Ví dụ: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\,\text{ với }\,{x_0} = 0\,\text{ thì }\,f'\left( 0 \right) = 0\) và tiếp tuyến tại điểm O(0 ; 0) trùng với trục hoành.

Mệnh đề sau đây mới đúng: “Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì tồn tại tiếp tuyến tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) của đồ thị hàm số y = f(x) song song hoặc trùng với trục hoành”

b) Mệnh đề đúng: Vì nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) song song với trục hoành thì hệ số góc của tiếp tuyến phải bằng 0, suy ra \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\)

12. Giải bài 12 trang 195 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Hình 5.4 là đồ thị của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b). Biết rằng tại các điểm M1, M2 và M3, đồ thị hàm số có tiếp tuyến được thể hiện trên hình vẽ. Dựa vào hình vẽ, em hãy nêu nhận xét về dấu của \(f'\left( {{x_1}} \right),f'\left( {{x_2}} \right)\,và\,f'\left( {{x_3}} \right)\).

Phương pháp giải:

- Nếu tiếp tuyến tại x0 là một đường thẳng “đi xuống” từ trái sang phải thì f'(x0) < 0.

- Nếu tiếp tuyến tại x0 là một đường thẳng song song với trục hoành thì f'(x0) = 0.

- Nếu tiếp tuyến tại x0 là một đường thẳng “đi lên” từ trái sang phải thì f'(x0) > 0.

Hướng dẫn giải:

Đồ thị của hàm số y = f(x) có tiếp tuyến tại các điểm M1, M2 và M3 nên hàm số y = f(x) có đạo hàm tại các điểm x1, x2 và x3. Ta nhận thấy:

+ Tiếp tuyến tại các điểm M1 là một đường thẳng “đi xuống” từ trái sang phải, nên hệ số góc của tiếp tuyến là một số âm, suy ra \(f'\left( {{x_1}} \right) < 0\)

+ Tiếp tuyến tại điểm M2 là một đường thẳng song song với trục hoành nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 0, suy ra \(f'\left( {{x_2}} \right) = 0\)

+ Tiếp tuyến tại điểm M3 là một đường thẳng “đi lên” từ trái sang phải, nên hệ số góc của tiếp tuyến là một số dương, suy ra \(f'\left( {{x_3}} \right) > 0\)

13. Giải bài 13 trang 195 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng để đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\), điều kiện cần và đủ là \(\left\{ {\matrix{ {a = f'\left( {{x_0}} \right)} \cr {a{x_0} + b = f\left( {{x_0}} \right)} \cr } } \right.\)

Phương pháp giải:

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) khi d và (C) cùng qua \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) và hệ số góc của d bằng đạo hàm của f tại xo.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng: y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị (G) của hàm số f tại điểm \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) khi và chỉ khi đồng thời xảy ra:

(d) và (G) cùng đi qua điểm \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right),\) tức là \(a{x_0} + b = f\left( {{x_0}} \right)\)

Hệ số góc của (d) bằng đạo hàm của f tại x0, tức là \(a = f'\left( {{x_0}} \right)\)

Từ đó suy ra đpcm.

14. Giải bài 14 trang 195 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số \(y = \left| x \right|\)

a) Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0.

b) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0, nếu có.

c) Mệnh đề “Hàm số liên tục tại điểm x0 thì có đạo hàm tại x0” đúng hay sai?

Phương pháp giải:

a) So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\) và f(0) và kết luận.

b) So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over x} \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over x} \) và kết luận.

c) Cho phản ví dụ để chứng tỏ mệnh đề sai.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| x \right| = 0 = f\left( 0 \right)\)

Vậy f liên tục tại x = 0.

b) Ta có:

\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\left| x \right|} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x \over x} = 1 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{\left| x \right|} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{ - x} \over x} = - 1 \cr} \)

Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over x}\) nên hàm số f không có đạo hàm tại x = 0.

c) Mệnh đề sai.

Thật vậy, hàm số \(f\left( x \right) = \left| x \right|\) liên tục tại điểm 0 (theo câu a) nhưng không có đạo hàm tại điểm đó (theo câu b).

15. Giải bài 15 trang 195 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Hình 5.5 là đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b). Dựa vào hình vẽ, hãy cho biết tại mỗi điểm x1, x2, x3 và x4:

a) Hàm số có liên tục hay không?

b) Hàm số có đạo hàm hay không? Hãy tính đạo hàm nếu có.

Phương pháp giải:

a) - Hàm số bị ngắt quãng khi đi qua các điểm thì sẽ gián đoạn tại điểm đó.

- Hàm số là đường “liền nét” khi đi qua các điểm thì sẽ liên tục tại điểm đó.

b) Hàm số có đạo hàm tại điểm nếu hàm số có tiếp tuyến và tiếp tuyến này song song với trục hoành.

Hướng dẫn giải:

a) Căn cứ vào hình ta nhận thấy:

+ Hàm số đã cho gián đoạn tại các điểm x1 và x3; vì đồ thị hàm số bị ngắt quãng khi đi qua các điểm M1 và M3.

+ Hàm số đã cho liên tục tại các điểm x2 và x4; vì đồ thị hàm số là đường “liền nét” khi đi qua các điểm M2 và M4.

+ Hàm số không có đạo hàm tại điểm x2; vì điểm M2 đồ thị là đường “gấp khúc” (và hiển nhiên tại đó không có tiếp tuyến của đồ thị hàm số), giống như đồ thị hàm số y = |x|.

b) Hàm số có đạo hàm tại điểm M4 và \(f'\left( {{x_4}} \right) = 0;\) vì tại điểm M4 đồ thị của hàm số có tiếp tuyến và tiếp tuyến này song song với trục hoành.

Ngày:10/11/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM