Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x₀ được cho kèm theo

a) \(y = 7 + x - {x^2},{x_0} = 1\)

b) \(y = {x^3} - 2x + 1,{x_0} = 2\)

c) \(y = 2{x^5} - 2x + 3,{x_0} = 1\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và các công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích một hàm số với một số thực.

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = (7 + x - x^2) = (7)' + (x)' - (x^2)'\)

\(= 0+ 1 - 2x = 1- 2x\)

\(⇒ y’(1) = 1- 2.1= -1\)

b) \(y' = (x^3 - 2x + 1)' = (x^3)' - (2x)' + (1)'\)

\(= 3x^2 – 2\)

\(⇒ y’(2) = 3.2^2- 2 = 10\)

c) \(y' = (2x^5 - 2x + 3)' = (2x^5)' - (2x)' + (3)'\)

\(= 10x^4 – 2\)

\(⇒ y’(1) = 10.1^4 – 2 = 8.\)

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau (a và b là hằng số)

a) \(y = {x^5} - 4{x^3} + 2x - 3\sqrt x \)

b) \(y = {1 \over 4} - {1 \over 3}x + {x^2} - 0,5{x^4}\)

c) \(y = {{{x^4}} \over 4} - {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} - x + {a^3}\)

d) \(y = {{ax + b} \over {a + b}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm:

+) \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}} \)

+) \(\left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\)

+ Các công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích một hàm số với một số thực.

Hướng dẫn giải:

a) \(y' =( {x^5} - 4{x^3} + 2x - 3\sqrt x )'\)

\(= 5{x^4} - 12{x^2} + 2 - {3 \over {2\sqrt x }}\)

b) \(y' = ({1 \over 4} - {1 \over 3}x + {x^2} - 0,5{x^4})'\)

\(= - {1 \over 3} + 2x - 2{x^3}\)

c) \(y' =( {{{x^4}} \over 4} - {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} - x + {a^3})'\)

\(= {x^3} - {x^2} + x - 1\)

d) \(y' =( {{ax + b} \over {a + b}})'\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{\left( {ax + b} \right)'.(a + b) - \left( {ax + b} \right).(a + b)'}}{{{{(a + b)}^2}}}\\ = \frac{{a(a + b)}}{{{{(a + b)}^2}}}\\ = \frac{a}{{a + b}} \end{array}\)

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \left( {{x^7} + {x}} \right)^2\)

b) \(y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 - 3{x^2}} \right)\)

c) \(y = {{2x} \over {{x^2} - 1}}\)

d) \(y = {{5x - 3} \over {{x^2} + x + 1}}\)

e) \(y = {{{x^2} + 2x + 2} \over {x + 1}}\)

f) \(y = x\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức  tính đạo hàm:

+ \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}} \)

+ Công thức đạo hàm của tích \((uv)'=u'v+uv'\).

+ Công thức đạo hàm của thương \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

a) \(y = {x^{14}} + 2{x^8} + {x^2} \Rightarrow y' = 14{x^{13}} + 16{x^7} + 2x\)

\(\eqalign{b) & y' = \left( {{x^2} + 1} \right)'\left( {5 - 3{x^2}} \right) + \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 - 3{x^2}} \right)' \cr & = 2x\left( {5 - 3{x^2}} \right) - 6x\left( {{x^2} + 1} \right) = 4x - 12{x^3} \cr}\)

c) \(y' = {{2\left( {{x^2} - 1} \right) - 2x\left( {2x} \right)} \over {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = {{ - 2\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}\)

d) \(y' = {{5\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {5x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}} = {{ - 5{x^2} + 6x + 8} \over {{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}\)

e) \(y' = {{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} + 2x} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(\eqalign{f) & y = \left( {2{x^2} - x} \right)\left( {3x + 2} \right) \cr & \Rightarrow y' = \left( {4x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right) + \left( {2{x^2} - x} \right)3 \cr & = 18{x^2} + 2x - 2 \cr}\)

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) \(y = {\left( {x - {x^2}} \right)^{32}}\)

b) \(y = {1 \over {x\sqrt x }}\)

c) \(y = {{1 + x} \over {\sqrt {1 - x} }}\)

d) \(y = {x \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\) (a là hằng số).

Phương pháp giải:

a) Sử dung công thức tính đạo hàm: \(\left( {{u^n}} \right)' = n{u^{n - 1}}u'\).

b) Sử dụng các công thức tính đạo hàm: \(\left( {\frac{1}{u}} \right)' = \frac{{ - u'}}{{{u^2}}}\), \(\left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\).

c) d) Sử dụng các công thức tính đạo hàm : \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\), \(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{u'}{{2\sqrt u }}\).

Hướng dẫn giải:

a) \(y'= 32{\left( {x - {x^2}} \right)^{31}}(x-x^2)'\)

\(= 32{\left( {x - {x^2}} \right)^{31}}\left( {1 - 2x} \right)\)

b) \(y' = \frac{{1'.x\sqrt x - 1.\left( {x\sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {x\sqrt x } \right)}^2}}}\)

\( =- {{\left( {x\sqrt x } \right)'} \over {{x^3}}} \\= -{{\sqrt x + {x \over {2\sqrt x }}} \over {{x^3}}} \\= {{ - 3x} \over {2\sqrt x .{x^3}}} \\= {{ - 3} \over {2{x^2}\sqrt x }}\)

c) \(y' = \frac{{\left( {1 + x} \right)'\sqrt {1 - x} - \left( {1 + x} \right)\left( {\sqrt {1 - x} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2}}}\)

\(= {{\sqrt {1 - x} - \left( {1 + x} \right).{{ - 1} \over {2\sqrt {1 - x} }}} \over {1 - x}} \\= {{2\left( {1 - x} \right) + 1 + x} \over {2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} }} \\= {{3 - x} \over {2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} }}\)

d) \(y' = \frac{{x'\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\)

\(\eqalign{ & = {{\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x.{{ - 2x} \over {2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \over {{{\left({\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}} \cr &= {{2\left( {{a^2} - {x^2}} \right) + 2{x^2}} \over {2{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^3}}} \cr & = {{{a^2}} \over {\sqrt {{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)}^3}} }} \cr}\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x} \). Hãy giải bất phương trình \(f'\left( x \right) \le f\left( x \right)\).

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) theo công thức \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\).

- Giải bất phương trình và kết luận nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Vì \(f'(x) = \frac{{\left( {{x^2} - 2x} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x} }} = \frac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x} }} = \frac{{x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x} }}\)

Nên ta cần giải bất phương trình: \({{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }} \le \sqrt {{x^2} - 2x}\)

Ta có:

\(\eqalign{ & {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }} \le \sqrt {{x^2} - 2x} \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x < 0\,\text{ hoặc }\,x > 2} \cr {x - 1 \le {x^2} - 2x} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x < 0\,\text{ hoặc }\,x > 2} \cr {x \le {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\,\text{ hoặc }\,x \ge {{3 + \sqrt 5 } \over 2}} \cr } } \right. \cr}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left[ {{{3 + \sqrt 5 } \over 2}; + \infty } \right)\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2.\) Hãy giải bất phương trình:

a) \(f'\left( x \right) > 0\)

b) \(f'\left( x \right) \le 3\)

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) theo công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

- Giải các bpt.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\)

\(f'\left( x \right) > 0 \\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x > 0 \\\Leftrightarrow x < 0\,\text{ hoặc }\,x > 2\)

b) \(f'\left( x \right) \le 3\)

\(\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x \le 3\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 \le 0 \\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt 2 \le x \le 1 + \sqrt 2\)

Tìm các nghiệm của phương trình sau (làm tròn kết quả nghiệm gần đúng đến hàng phần nghìn)

a) \(f'\left( x \right) = 0\,\text{ với }\,f\left( x \right) = {{{x^3}} \over 3} - 2{x^2} - 6x - 1\)

b) \(f'\left( x \right) = - 5\,\text{ với }\,f\left( x \right) = {{{x^4}} \over 4} - {x^3} - {{3{x^2}} \over 2} - 3.\)

Phương pháp giải:

- Tính f'(x) theo công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

- Giải các phương trình.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = {x^2} - 4x - 6 \cr & f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = 2 - \sqrt {10} \approx - 1,162} \cr {x = 2 + \sqrt {10} \approx 5,162} \cr } } \right. \cr}\)

b) Ta có: \(f' = {x^3} - 3{x^2} - 3x.\)

Do đó:

\(\eqalign{ & f' + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - 3x + 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 5} \right) = 0 \cr}\)

Phương trình có ba nghiệm là \(1;1 + \sqrt 6 \;\text{ và }\,1 - \sqrt 6\)

Vậy các nghiệm gần đúng của phương trình với sai số tuyệt đối không vượt quá 0,001 là:

\(\eqalign{ & {x_1} = 1 \cr & {x_2} = 3,449 \pm 0,001 \cr & {x_3} = - 1,449 \pm 0,001 \cr}\)

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) \(y = {{2x + 3} \over {{x^2} - 5x + 5}}\)

b) \(y = {1 \over {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^5}}}\)

c) \(y = {x^2} + x\sqrt x + 1\)

d) \(y = \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^3}\)

e) \(y = \sqrt {{{{x^2} + 1} \over x}}\)

Phương pháp giải:

a) b) Sử dụng các công thức tính đạo hàm: \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\), \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

c) Sử dụng các công thức tính đạo hàm: \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\), \(\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{{1}}{{2\sqrt x }}\).

d) Áp dụng công thức: \((u.v.w)=u'.v.w+u.v'.w+u.v.w'\), \(\left( {{u^n}} \right)' = n{u^{n - 1}}.u'\)

e) Sử dụng các công thức tính đạo hàm: \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\), \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\), \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = \frac{{\left( {2x + 3} \right)'\left( {{x^2} - 5x + 5} \right) - \left( {2x + 3} \right)\left( {{x^2} - 5x + 5} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - 5x + 5} \right)}^2}}}\)

\( = {{2\left( {{x^2} - 5x + 5} \right) - \left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 5} \right)} \over {{{\left( {{x^2} - 5x + 5} \right)}^2}}} \\ = {{ - 2{x^2} - 6x + 25} \over {{{\left( {{x^2} - 5x + 5} \right)}^2}}}\)

b) \(y' = \frac{{1'{{({x^2} - x + 1)}^5} - 1.\left[ {{{({x^2} - x + 1)}^5}} \right]'}}{{{{({x^2} - x + 1)}^{10}}}}\)

\(= {{ - 5{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^4}\left( {2x - 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^{10}}}} \\= {{ - 5\left( {2x - 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^6}}}\)

c) \(y' = 2x + \sqrt x + x.{1 \over {2\sqrt x }} = 2x + {3 \over 2}\sqrt x\)

d) \(y' = \left( {x + 1} \right)'{\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^3}+ \left( {x + 1} \right)\left[{\left( {x + 2} \right)^2}\right]'{\left( {x + 3} \right)^3}+ \left( {x + 1} \right)'{\left( {x + 2} \right)^2}\left[{\left( {x + 3} \right)^3}\right]'\)

\(\eqalign{ & = {\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x + 3} \right)^2} + \left( {x + 1} \right).2\left( {x + 2} \right){\left( {x + 3} \right)^3} + \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}3{\left( {x + 3} \right)^2} \cr & = 2\left( {x + 2} \right){\left( {x + 3} \right)^2}\left( {3{x^2} + 11x + 9} \right) \cr}\)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

a) \(y = {{x - 1} \over {x + 1}}\), biết hoành độ tiếp điểm là x₀ = 0.

b) \(y = \sqrt {x + 2} ,\) biết tung độ tiếp điểm là y₀ = 2.

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M(x_0;y_0)\) là: \(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {{x - 1} \over {x + 1}} \cr & {x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = f\left( 0 \right) = - 1 \cr & f'\left( x \right) = {{\left| {\matrix{ 1 & { - 1} \cr 1 & 1 \cr } } \right|} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {2 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow f\left( 0 \right) = 2 \cr}\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

\(y - \left( { - 1} \right) = 2\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y = 2x - 1\).

b) Ta có:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} ;f\left( {{x_0}} \right) = 2 \cr&\Leftrightarrow \sqrt {{x_0} + 2} = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \cr & f'\left( x \right) = {1 \over {2\sqrt {x + 2} }} \Rightarrow f'\left( 2 \right) = {1 \over 4} \cr}\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

\(y - 2 = {1 \over 4}\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow y = {{x + 6} \over 4}\)

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = x²,  biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1).

Hướng dẫn: Trước hết viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x₀ thuộc parabol đã cho. Sau đó tìm x₀ để tiếp tuyến đi qua điểm A (chú ý rằng điểm A không thuộc parabol).

Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x₀ thuộc parabol đã cho.

Sau đó tìm x₀ để tiếp tuyến đi qua điểm A (chú ý rằng điểm A không thuộc parabol).

Hướng dẫn giải:

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2}\) và gọi M₀ là điểm thuộc (P) với hoành độ x₀.

Khi đó tọa độ của điểm M₀ là \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) hay \(\left( {{x_0};x_0^2} \right)\)

Ta có: \(y’ = 2x\). Phương trình tiếp điểm của (P) tại điểm M₀ là:

\(y = 2{x_0}\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^2 \Leftrightarrow y = 2{x_0}x - x_0^2\)

Tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1) nên ta có:

\(- 1 = 2{x_0}.0 - x_0^2 \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1\)

+ Với x₀ = 1 thì f(x₀) = 1, f ’(x₀) = 2 và phương trình tiếp tuyến phải tìm là:

\(y = 2\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 2x - 1\)

+ Với x₀ = -1 thì f(x₀) = 1, f ’(x₀) = -2 và phương trình tiếp tuyến phải tìm là:

\(y = - 2\left( {x + 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = - 2x - 1\)

Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua A với các phương trình tương ứng là: y = ±2x – 1.

Hình 5.6 thể hiện màn hình của một trò chơi điện tử. Một máy bay xuất hiện ở bên trái màn hình rồi bay sang phải theo một quỹ đạo (C) là đồ thị của hàm số y = f(x), trong đó \(f\left( x \right) = - 1 - {1 \over x},\left( {x > 0} \right).\) Biết rằng tên lửa được bắn ra từ máy bay tại một điểm thuộc (C) sẽ bay theo phương tiếp tuyến của (C) tại điểm đó. Tìm hoành độ các điểm thuộc (C) sao cho tên lửa bắn ra từ đó có thể bắn trúng một trong bốn mục tiêu nằm ở trên màn hình có tọa độ (1 ; 0), (2 ; 0), (3 ; 0) và (4 ; 0) (làm tròn kết quả đến hàng phần vạn).

Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x₀ thuộc parabol đã cho.

Sau đó tìm x₀ để tiếp tuyến đi qua các điểm (1 ; 0), (2 ; 0), (3 ; 0) và (4 ; 0).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(f'\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến (d) của quỹ đạo (C) tại tiếp điểm \({M_0}\left( {{x_0}; - 1 - {1 \over {{x_0}}}} \right)\) là:

\(\eqalign{ & y = {1 \over {x_0^2}}\left( {x - {x_0}} \right) - 1 - {1 \over {{x_0}}} \cr} \) hay \( x_0^2 + 2{x_0} - x + x_0^2y = 0\)

Ta phải tìm x₀ > 0, sao cho (d) lần lượt đi qua 4 điểm có tọa độ (1 ; 0), (2 ; 0), (3 ; 0) và (4 ; 0).

a) Với x = 1, y = 0, ta có \(x_0^2 + 2{x_0} - 1 = 0.\)

Suy ra \({x_0} = - 1 + \sqrt 2 \approx 0,4142\)

b) Với x = 2, y = 0, ta có \(x_0^2 + 2{x_0} - 2 = 0.\)

Suy ra \({x_0} = - 1 + \sqrt 3 \approx 0,7321\)

c) Với x = 3, y = 0, ta có \(x_0^2 + 2{x_0} - 3 = 0.\)

Suy ra \({x_0} = 1\)

d) Với x = 4, y = 0, ta có \(x_0^2 + 2{x_0} - 4 = 0.\)

Suy ra \({x_0} = - 1 + \sqrt 5 \approx 1,2361\)

Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v₀ = 196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí). Tìm thời điểm tại đó tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó, viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

Phương pháp giải:

- Viết phương trình chuyển động của viên đạn.

- Vận tốc tại thời điểm t là đạo hàm của phương trình chuyển động.

Hướng dẫn giải:

Cho Ox theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ mặt đất lên trời, gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên, khi đó phương trình chuyển động của viên đạn là:

\(y = {v_0}t - {1 \over 2}g{t^2}\,\left( {g = 9,8m/{s^2}} \right)\)

Ta có vận tốc tại thời điểm t là:

\(v = y'\left( t \right) = {v_0} - gt\)

Do đó:

\(v = 0 \\\Leftrightarrow {v_0} - gt = 0\\ \Leftrightarrow t = {{{v_0}} \over g} = {{196} \over {9,8}} = 20\left( s \right)\)

Vậy khi t = 20s thì viên đạn bắt đầu rơi, lúc đó viên đạn cách mặt đất:

\(y = {v_0}t - {1 \over 2}g{t^2} \\= 196.20 - {1 \over 2}.9,{8.20^2} \) \(= 1960\,\left( m \right)\)