Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 5: Hai hình bằng nhau
Môn Toán là môn quan trọng và tương đối khó với các em học sinh, với mong muốn giúp các em nắm thật vững kiến thức và làm bài thật hiệu quả eLib đã biên soạn và tổng hợp nội dung giải bài tập SGK Nâng cao trang 23 bài Hai hình bằng nhau. Với nội dung chi tiết, rõ ràng được trình bày logic, khoa học hứa hẹn sẽ mang lại cho các em thật nhiều kiến thức bổ ích.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 20 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
Chứng tỏ rằng hai hình chữ nhật cùng kích thước (cùng chiều dài và chiều rộng) thì bằng nhau.
Phương pháp giải:
Chứng minh có phép dời hình F biến hình chữ nhật này thành hình chữ nhật kia.
Hướng dẫn giải:
Giả sử hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ có AB = CD = A’B’= C’D’, AD = BC = A’D = B’C’.
Khi đó ABC và A’B’C’ là hai tam giác vuông bằng nhau.
Do đó có phép dời hình F biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.
Khi đó phép dời hình F biến trung điểm O của AC thành trung điểm O’ của A’C’.
Nhưng vì O và O’ lần lượt cũng là trung điểm của BD và B’D’ nên F cũng biến D thành D’.
Vậy F biến ABCD thành A’B’C’D’, nên theo định nghĩa, hai hình chữ nhật đó bằng nhau.
2. Giải bài 21 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
a) Chứng minh rằng hai tứ giác lồi có cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp đường chéo tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
b) Chứng minh rằng hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp góc tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
c) Hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì có bằng nhau hay không?
Phương pháp giải:
a) Chứng minh có phép dời hình F biến các đỉnh của tứ giác lồi này thành các đỉnh của tứ giác lồi kia.
b) Áp dụng kết quả câu a để chứng minh.
c) Cho phản ví dụ.
Hướng dẫn giải:
a) Giả sử hai tứ giác lồi ABCD và A’B’C’D’ có AB = A′B′; BC = B′C′; CD = C′D′, DA = D′A′.
Khi đó \(\Delta ABC=\Delta A'B'C'\) nên có phép dời hình F biến ba điểm A, B, C lần lượt thành ba điểm A’, B’, C’.
Gọi D” là điểm đối xứng với điểm D’ qua đường thẳng A’C’.
⇒ Hai tam giác A’C’D’ và A’C’D” bằng nhau và theo giả thiết, cùng bằng tam giác ACD.
Bởi vậy phép F chỉ có thể biến điểm D thành điểm D’ hoặc D” (do phép dời hình bảo toàn độ dài đoạn thẳng).
Ta có:
ABCD là tứ giác lồi nên hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau.
A’B’C’D’ cũng là tứ giác lồi nên hai đoạn thẳng nên hai đoạn thẳng A’C’ và B’D’ cắt nhau.
Do đó hai đoạn thẳng A’C’ và B’D” không cắt nhau.
Từ đó ta suy ra F biến D thành D’.
Vậy F biến tứ giác ABCD thành tứ giác A’B’C’D’ và do đó hai tứ giác đó bằng nhau.
b) Giả sử hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’ có:
AB = A′B′, BC = B′C′, CD = C′D′, DA = D′A′ và góc ABC bằng góc A’B’C’.
Khi đó AC = A′C′ và ta đưa về trường hợp ở câu a).
c) Có thể không bằng nhau.
Hai hình thoi có cạnh bằng nhau nhưng có thể là hai hình không bằng nhau (vì phép dời hình biến góc thành góc bằng nó).
3. Giải bài 22 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
Đa giác lồi n cạnh gọi là n – giác đều nếu tất cả các cạnh của nó bằng nhau và tất cả các góc của nó bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cạnh bằng nhau
Phương pháp giải:
Chứng minh có phép dời hình F biến các đỉnh của đa giác này thành các đỉnh của đa giác kia.
Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa, hai n - giác đều bằng nhau thì cạnh bằng nhau.
Ngược lại, giả sử hai n-giác đều A1A2…An có cạnh bằng nhau
Gọi O và O’ lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đó
⇒ Hai tam giác OA1A2 và O’A’1A’2 bằng nhau
Vậy có phép dời hình F biến tam giác OA1A2 thành tam giác O’A’1A’2.
Vì hai tam giác OA2A3 và O’A’2A’3 cũng bằng nhau nên F biến điểm A3 thành điểm A’3 (vì A3 không thể biến thành A’1)
Lập luận tương tự ta cũng có F biến các điểm A4,…, An lần lượt thành các điểm A4 ,…, An
Như vậy hai đa giác đều đã cho bằng nhau
4. Giải bài 23 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
Hình H1 gồm ba đường tròn (O1; r1), (O2; r2) và (O3;r3) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau.
Hình H2 gồm ba đường tròn (I1; r1), (I2; r2) và (I3; r3) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau.
Chứng tỏ rằng hai hình H1 và H2 bằng nhau.
Phương pháp giải:
Chứng minh có phép dời hình F biến ba điểm O1, O2, O3 lần lượt thành ba điểm I1, I2, I3.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\({{O_1}{O_2} = {r_1} + {\rm{ }}{r_2} = {I_1}{I_2}}\)
\({{O_2}{O_3} = {r_2} + {\rm{ }}{r_3} = {I_2}{I_3}}\)
\({{O_3}{O_1} = {r_3} + {\rm{ }}{r_1} = {I_3}{I_1}}\)
Suy ra \(\Delta {O_1}{O_2}{O_3} = \Delta {I_1}{I_2}{I_3}\) nên có phép dời hình F biến ba điểm O1, O2, O3 lần lượt thành ba điểm I1, I2, I3
Hiển nhiên khi đó F biến ba đường tròn \(({O_{1}}{\rm{; }}{r_1}),{\rm{ }}({O_2};{\rm{ }}{r_2}),{\rm{ }}({O_3};{\rm{ }}{r_3})\) lần lượt thành ba đường tròn \(({I_1};{r_1}),({I_2};{r_2}),({I_3};{r_3})\), tức là biến hình H1 thành hình H2
Vậy hai hình H1 và H2 bằng nhau.
5. Giải bài 24 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai hình bình hành. Hãy vẽ một đường thẳng chia mỗi hình bình hành đó thành hai hình bằng nhau.
Phương pháp giải:
Đường thẳng đi qua tâm của một hình bình hành thì sẽ chia hình bình hành thành hai phần bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành thì chia hình bình hành đó thành hai phần bằng nhau (vì phép đối xứng qua tâm O sẽ biến phần này thành phần kia).
⇒ Ta chỉ cần vẽ đường thẳng đi qua tâm của hình bình hành.
