Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Tìm hệ số của ${x^{101}}{y^{99}}$ trong khai triển ${\left( {2x - 3y} \right)^{200}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton:

$T_{k+1}={C_n^k{a^{n-k}}{b^k}} \,\,\left( {k \in Z} \right)$ với k = 99.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${\left( {2x - 3y} \right)^{200}} = \sum\limits_{k = 0}^{200} {C_{200}^k{{\left( {2x} \right)}^{200 - k}}{{\left( { - 3y} \right)}^k}}$

Số hạng chứa ${x^{101}}{y^{99}}$ ứng với k = 99, đó là: $C_{200}^{99}.{\left( {2x} \right)^{101}}{\left( { - 3y} \right)^{99}}$

Vậy hệ số của ${x^{101}}{y^{99}}$ là $C_{200}^{99}.{\left( {2} \right)^{101}}{\left( { - 3} \right)^{99}}$

Tính hệ số của ${x^5}{y^8}$ trong khai triển ${\left( {x + y} \right)^{13}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton: 

$T_{k+1}={C_n^k{a^{n-k}}{b^k}} \,\,\left( {k \in Z} \right)$ với k = 8

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${\left( {x + y} \right)^{13}} = \sum\limits_{k = 0}^{13} {C_{13}^k{x^{13 - k}}{y^k}}$

Số hạng chứa ${x^5}{y^8}$ ứng với k = 8 đó là $C_{13}^8{x^5}{y^8}.$

Vậy hệ số của ${x^5}{y^8}\,\text{ là }\,C_{13}^8 = 1287$

Tính hệ số của $x^7$ trong khai triển ${\left( {1 + x} \right)^{11}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton: 

$T_{k+1}={C_n^k{a^{n-k}}{b^k}} \,\,\left( {k \in Z} \right)$ với k = 7

Hướng dẫn giải:

${\left( {1 + x} \right)^{11}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^k}{{.1}^{11 - k}}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^k}}$

Hệ số ${x^7}$ trong khai triển ${\left( {1 + x} \right)^{11}}$ ứng với $k=7 \text{ là }\,C_{11}^7 = 330.$

Tính hệ số của $x^9$ trong khai triển ${\left( {2 - x} \right)^{19}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton: 

$T_{k+1}={C_n^k{a^{n-k}}{b^k}} \,\,\left( {k \in Z} \right)$ với k = 9

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${\left( {2 - x} \right)^{19}} = \sum\limits_{k = 0}^{19} {C_{19}^k{2^{19 - k}}{{\left( { - x} \right)}^k}}$

$= \sum\limits_{k = 0}^{19} {C_{19}^k{2^{19 - k}}.{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^k}}$

Hệ số của ${x^9}$ (ứng với k = 9 là $(-1)^{19} C_{19}^9{2^{10}} = - 94595072$

Khai triển ${\left( {3x + 1} \right)^{10}}$ cho tới x³.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

$\begin{array}{l} {\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ...\\ ... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n} \end{array}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\eqalign{ & {\left( {3x + 1} \right)^{10}} = {\left( {1 + 3x} \right)^{10}}\cr& = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{.1}^{10 - k}}{{\left( {3x} \right)}^k}} \cr&= \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {3x} \right)}^k}} \cr&= 1 + C_{10}^1\left( {3x} \right) + C_{10}^2{{\left( {3x} \right)}^2} + C_{10}^3{{\left( {3x} \right)}^3} + ... \cr & = 1 + 30x + 405{x^2} + 3240{x^3} + ... \cr}$

Tìm hệ số của $x^7$ trong khai triển của ${\left( {3 - 2x} \right)^{15}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton: 

$T_{k+1}={C_n^k{a^{n-k}}{b^k}} \,\,\left( {k \in Z} \right)$ với k = 7

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${\left( {3 - 2x} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{3^{15 - k}}{{\left( { - 2x} \right)}^k}}$ $= \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{{.3}^{15 - k}}{{\left( { - 2} \right)}^k}{x^k}}$

Hệ số của $x^7$ (ứng với k = 7) là: $C_{15}^7{.3^8}{\left( { - 2} \right)^7} = - C_{15}^7{.3^8}{.2^7}$

Tính hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ trong khai triển của ${\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}}$

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton: 

$T_{k+1}={C_n^k{a^{n-k}}{b^k}} \,\,\left( {k \in Z} \right)$

- Để tìm hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ ta cho số mũ của x bằng 25, của y bằng 10, giải phương trình tìm k.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{{\left( {{x^3}} \right)}^{15 - k}}{{\left( {xy} \right)}^k}}$

$= \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{x^{45 - 3k}}{x^k}{y^k}}$ $= \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{x^{45 - 2k}}{y^k}}$

Số hạng chứa ${x^{25}}{y^{10}}$ thì:

$\left\{ \begin{array}{l} 45 - 2k = 25\\ k = 10 \end{array} \right. \Leftrightarrow k = 10$

Do đó k = 10 nên số hạng đó là: $C_{15}^{10}{x^{25}}{y^{10}}$

Vậy hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}\,\ là \ \,C_{15}^{10} = 3003$

Biết rằng hệ số của ${x^{n - 2}}$ trong khai triển ${\left( {x - {1 \over 4}} \right)^n}$ bằng 31. Tìm n.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

${\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}}$

Để tìm hệ số của ${x^{n - 2}}$ ta cho số mũ của x bằng n - 2, giải phương trình tìm n.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${\left( {x - {1 \over 4}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}}{{\left( { - {1 \over 4}} \right)}^k}}$

Hệ số của $x^{n-2}$ (ứng với k=2) là $C_n^2{\left( { - {1 \over 4}} \right)^2}$

Theo bài ra: $C_n^2{\left( { - {1 \over 4}} \right)^2} = 31$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\frac{1}{{16}} = 31\\ \Leftrightarrow \frac{{{n^2} - n}}{{32}} = 31\\ \Leftrightarrow {n^2} - n = 992\\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 992 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 32\left( {nhận} \right)\\ n = - 31\left( {loại} \right) \end{array} \right. \end{array}$

Vậy n = 32.