Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 3: Cấp số cộng

Chứng minh rằng mỗi dãy số sau là một cấp số cộng và hãy xác định công sai của cấp số cộng đó:

a) Dãy số (u_n) với \(u_n= 19n – 5 \);

b) Dãy số (u_n) với \(u_n= an + b\), trong đó a và b là các hằng số.

Phương pháp giải:

Dãy số (u_n) được gọi là 1 CSC nếu \({u_{n + 1}} = {u_n} + d,\forall n \in {N^*}\) với d là một hằng số.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} \)

\(= 19\left( {n + 1} \right) - 5 - \left( {19n - 5} \right) \)

\(= 19n + 19 - 5 - 19n + 5\)

= 19 với mọi n ≥ 1.

\(\Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + 19,\forall n \in {N^*}\)

Do đó (u_n) là một cấp số cộng với công sai d = 19.

b) Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n}\) \( = an + a + b - an - b\) \( = a\left( {n + 1} \right) + b - \left( {an + b} \right) \)

= a với mọi n ≥ 1.

\(\Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + a,\forall n \in {N^*}\)

Do đó (u_n) là một cấp số cộng với công sai d = a.

Trên tia Ox lấy các điểm A₁, A₂, …, A_n, … sao cho với mỗi số nguyên dương n, OA_n = n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính OA_n, n = 1, 2, … . Kí hiệu u₁ là diện tích của nửa hình tròn đường kính OA₁ và với mỗi n ≥ 2, kí hiệu u_n là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OA_{n – 1}, nửa đường tròn đường kính OA_n và tia Ox (h 3.3). Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.

Phương pháp giải:

Dãy số (u_n) là CSC nếu u_n+1−u_n = d không đổi.

Hướng dẫn giải:

Với n ≥ 2 ta có:

Diện tích nửa đường tròn đường kính \(OA_n\) là: \({S_n} = \frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{{O{A_n}}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{8}\pi {n^2}\)

Diện tích nửa đường tròn đường kính \(OA_{n-1}\) là: \({S_{n-1}} = \frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{{O{A_{n-1}}}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{8}\pi {(n-1)^2}\)

Do đó,

\(\eqalign{ & {u_n} ={S_n} - {S_{n-1}}\cr& = \frac{1}{8}\pi {n^2} - \frac{1}{8}\pi {\left( {n - 1} \right)^2} \cr & = {1 \over 8}\pi \left[ {\left( {{n^2} - {{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right)} \right] \cr & = \frac{1}{8}\pi \left( {{n^2} - {n^2} + 2n - 1} \right)\cr&= {{\left( {2n - 1} \right)\pi } \over 8}\,\left( {n \ge 2} \right) \cr & \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {{2n + 1} \over 8}\pi - {{\left( {2n - 1} \right)} \over 8}\pi \cr&= {\pi \over 4},\forall n \ge 2 \cr} \)

Mặt khác

\({u_2} - {u_1} = {{3\pi } \over 8} - {\pi \over 8} = {\pi \over 4}\)

Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} = {\pi \over 4}\;\forall n \in\mathbb N^*\)

Do đó (u_n) là cấp số cộng với công sai \(d = {\pi \over 4}.\)

Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng:

a) Mỗi cấp số cộng với công sai d > 0 là một dãy số

 Tăng

 Giảm

 Không tăng cũng không giảm.

b) Mỗi cấp số cộng với công sai d < 0 là một dãy số

 Tăng

 Giảm

 Không tăng cũng không giảm.

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất của CSC và chọn đáp án đúng.

Hướng dẫn giải:

a)  Tăng

b)  Giảm

Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40. Hãy tìm cấp số cộng đó.

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất của CSC: \({u_{k + 1}} + {u_{k - 1}} = 2{u_k}\).

- Sử dụng công thức trên và kết hợp dữ kiện vài toán lập hệ phương trình.

- Giải hệ phương trình tìm được các số hạng của CSC.

Hướng dẫn giải:

Với mỗi \(n \in \left\{ {1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5} \right\}\), kí hiệu u_n là số hạng thứ n của cấp số cộng đã cho.

Ta có:

\(\eqalign{ & 28 = {u_1} + {u_3} = 2{u_2} \Rightarrow {u_2} = 14, \cr & 40 = {u_3} + {u_5} = 2{u_4} \Rightarrow {u_4} = 20, \cr & 2{u_3} = {u_2} + {u_4} = 34 \Rightarrow {u_3} = 17. \cr}\)

Ta có:

\(\eqalign{ & {u_1} + {u_3} = 28 \Rightarrow {u_1} = 28 - {u_3} = 11 \cr & {u_3} + {u_5} = 40 \Rightarrow {u_5} = 40 - {u_3} = 23 \cr} \)

Vậy cấp số cộng cần tìm là: 11, 14, 17, 20, 23.

Cho cấp số cộng (u_n) có \(u_{20}= -52\) và \(u_{51}= -145\). Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

Phương pháp giải:

- Công thức số hạng tổng quát của CSC: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

- Sử dụng công thức trên và kết hợp dữ kiện vài toán lập hệ phương trình ẩn d và \(u_1\).

- Giải hệ tìm d và \(u_1\) suy ra \(u_n\).

Hướng dẫn giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng.

Ta có:

\(\left\{ {\matrix{{{u_{20}} = - 52} \cr {{u_{51}} = - 145} \cr} } \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{u_1} + 19d = - 52} \cr {{u_1} + 50d = - 145} \cr} } \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{u_1} = 5} \cr {d = - 3} \cr} } \right.\)

Vậy \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 5 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 3} \right) \)

\( \\{u_n} = - 3n + 8 \)

Cho cấp số cộng (u_n) với công sai d và cho các số nguyên dương m và k, với m ≥ k. Chứng minh rằng \({u_m} = {u_k} + \left( {m-k} \right)d.\)

Áp dụng: Hãy tìm công sai d của cấp số cộng (u_n) mà \({u_{18}} - {u_3} = 75.\)

Phương pháp giải:

- Viết công thức tính \(u_m,u_k\) theo \(u_1,d\) rồi trừ hai số hạng cho nhau suy ra đpcm.

- Sử dụng công thức \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\eqalign{ & {u_m} = {u_1} + \left( {m - 1} \right)d\,\left( 1 \right) \cr & {u_k} = {u_1} + \left( {k - 1} \right)d\,\left( 2 \right) \cr} \)

Lấy (1) trừ (2) ta được :

\({u_m} - {u_k} \)\( = {u_1} + \left( {m - 1} \right)d - {u_1} - \left( {k - 1} \right)d \\= \left( {m - 1 - k + 1} \right)d \\= \left( {m - k} \right)d \\\Rightarrow {u_m} = {u_k} + \left( {m - k} \right)d\)

Áp dụng:

Ta có:

\(\eqalign{ & {u_{18}} - {u_3} = \left( {18 - 3} \right)d = 15d = 75 \cr & \Rightarrow d = 5 \cr} \)

Cho cấp số cộng (u_n) có \({u_1} - {u_3} = 6\) và \(u_5= -10\). Hãy tìm công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

Phương pháp giải:

- Công thức số hạng tổng quát của CSC: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

- Sử dụng công thức trên và kết hợp dữ kiện vài toán lập hệ phương trình ẩn d và \(u_1\).

- Giải hệ tìm d và \(u_1\) suy ra \(u_n\).

Hướng dẫn giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng

Ta có:

\(\left\{ {\matrix{{{u_1} - {u_3} = 6} \cr {{u_5} = - 10} \cr} } \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) = 6} \cr {{u_1} + 4d = - 10} \cr} } \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2d = 6\\ {u_1} + 4d = - 10 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{d = - 3} \cr {{u_1} = 2} \cr} } \right.\)

Vậy d = -3 và \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2 - 3\left( {n - 1} \right) = - 3n + 5\)

Hãy chứng minh định lí 3: \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in N^*\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n = k ( k ≥ 1 ) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

Ta sẽ chứng minh \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}\) (1)

+) Với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với n = 1, ta có \({S_1} = {u_1} = {{1\left( {{u_1} + {u_1}} \right)} \over 2}.\) Như vậy (1) đúng với n = 1.

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in \mathbb N^*\), tức là:

\({S_k} = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1

\(\eqalign{ & {S_{k + 1}} = {S_k} + {u_{k + 1}} \cr & = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2} + {u_{k + 1}} \cr & = {{k\left( {{u_1} + {u_{k + 1}} - d} \right) + 2{u_{k + 1}}} \over 2} \cr & = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_{k + 1}} - kd} \over 2} \cr & = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_1}} \over 2} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{u_1} + {u_{k + 1}}} \right)} \over 2} \cr} \)

Vậy (1) đúng với n = k + 1.

Vậy (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*.\)

Cho cấp số cộng (u_n) có \({u_2} + {u_{22}} = 60\). Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 3: \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}.\)

Hướng dẫn giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có:

\({u_1} = {u_2} - d\,\text{ và }\,{u_{23}} = {u_{22}} + d\)

Do đó, áp dụng định lí 3 cho n = 23, ta được:

\({S_{23}} = {{23\left( {{u_1} + {u_{23}}} \right)} \over 2} = \frac{{23\left( {{u_2} - d + {u_{22}} + d} \right)}}{2}\) \(= {{23\left( {{u_2} + {u_{22}}} \right)} \over 2} = {{23.60} \over 2} = 23.30 = 690\)

Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm số đo ba góc đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tổng ba góc của tam giác bằng \(180^o\)

Tính chất CSC: \({u_{k + 1}} + {u_{k - 1}} = 2{u_k}\)

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu A, B, C là số đo ba góc (tính theo đơn vị đo) của tam giác vuông đã cho.

Không mất tổng quát, có thể giả sử A ≤ B ≤ C.

Khi đó, từ giả thiết tam giác vuông suy ra C = 90^o và A, B, C theo thứ tự đó là một cấp số cộng.

Ta có:

\(\left\{ {\matrix{{A + C = 2B} \cr {A + B + C = 180^\circ } \cr} } \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{A + 90^\circ = 2B} \cr {A + B = 90^\circ } \cr} } \right. \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A - 2B = - {90^0}\\ A + B = {90^0} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3B = - {180^0}\\ A + B = {90^0} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B = {60^0}\\ A + {60^0} = {90^0} \end{array} \right. \end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{A = 30^\circ } \cr {B = 60^\circ } \cr} } \right.\)