Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 1: Dãy số có giới hạn 0

Nội dung giải SGK môn Toán lớp 11 Nâng cao bài Dãy số có giới hạn 0 được eLib biên soạn và tổng hợp bên dưới đây sẽ giúp các em học sinh học vừa ôn tập kiến thức vừa củng cố kĩ năng làm bài. Thông qua hệ thống các bài tập có hướng dẫn giải chi tiết để các em có thể đối chiếu với bài làm của mình từ đó có kế hoạch học tập phù hợp. Mời các em cùng tham khảo.

Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 1: Dãy số có giới hạn 0

1. Giải bài 1 trang 130 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0:

a) \({{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 5}}\)

b) \({{\sin n} \over {n + 5}}\)

c) \({{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý:

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right).\)

Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 5}}} \right| = {1 \over {n + 5}} < {1 \over n} \\ \lim {1 \over n} = 0 \\ \Rightarrow \lim {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 5}} = 0\)

b) \(\left| {{{\sin n} \over {n + 5}}} \right| \le {1 \over {n + 5}} < {1 \over n}\)

\(\lim {1 \over n} = 0\) 

\(\Rightarrow \lim {{\sin n} \over {n + 5}} = 0\)

c) \(\left| {{{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}}} \right| \le {1 \over {\sqrt n + 1}} < {1 \over {\sqrt n }}\)

\(\lim{1 \over {\sqrt n }} = 0\)

\(\Rightarrow \lim {{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}} = 0\)

2. Giải bài 2 trang 130 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng hai dãy số (un) và (vn) với \({u_n} = {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}},\,{v_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos n} \over {{n^2} + 1}}\) có giới hạn 0.

Phương pháp giải:

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right).\)

Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\eqalign{ & \left| {{u_n}} \right| = {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}} < {1 \over n}\cr &\,\lim {1 \over n} = 0 \\& \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr & \left| {{v_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos n} \over {{n^2} + 1}}} \right| \cr &= {{\left| {\cos n} \right|} \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over {{n^2} + 1}} < {1 \over {{n^2}}}\cr &\lim {1 \over {{n^2}}} = 0 \cr & \Rightarrow \lim {v_n} = 0 \cr}\)

3. Giải bài 3 trang 130 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng các dãy số (un) sau đây có giới hạn 0:

a) \({u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}\)

b) \({u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{2^n} + 1}}\)

c) \({u_n} = - {{\sin {{n\pi } \over 5}} \over {{{\left( {1,01} \right)}^n}}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lý:

+) Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right).\)

Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

+) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\left| {0,99} \right| < 1\)

Nên \(\lim {u_n} = \lim {\left( {0,99} \right)^n} = 0\)

b) 

\(\eqalign{ & \left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{2^n} + 1}}} \right| = {1 \over {{2^n} + 1}}\cr & <\frac{1}{{{2^n}}} = {\left( {{1 \over 2}} \right)^n}\cr &\lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0 \cr & \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr} \)

c) \(\left| {{u_n}} \right| = {{\left| {\sin {{n\pi } \over 5}} \right|} \over {{{\left( {1,01} \right)}^n}}} \le \frac{1}{{1,{{01}^n}}} = {\left( {{1 \over {1,01}}} \right)^n}\)

\(\lim {\left( {{1 \over {1,01}}} \right)^n} = 0\)

\(\Rightarrow \lim {u_n} = 0\)

4. Giải bài 4 trang 130 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (un) với \( {u_n} = {n \over {{3^n}}}\)

a) Chứng minh rằng \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {2 \over 3}\) với mọi n.

b) Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng \(0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\) với mọi n.

c) Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.

Phương pháp giải:

a) Tính un, un + 1\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}\) và suy ra đpcm.

b) Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n ≥ 1, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n = k (k ≥ 1) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

c) Sử dụng các định lý:

+) Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\)

Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

+) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\eqalign{ & {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {{3^{n + 1}}}}:{n \over {{3^n}}} = \frac{{n + 1}}{{{{3.3}^n}}}.\frac{{{3^n}}}{n}\cr &= {1 \over 3}.{{n + 1} \over n} = {1 \over 3}\left( {1 + {1 \over n}} \right) \cr & \le {1 \over 3}(1+1)={2 \over 3},\forall n \ge 1. \cr} \)

(Vì \(\forall n \ge 1 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \le 1\))

b) Rõ ràng un> 0, ∀n ≥ 1.

Ta chứng minh \( {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Với n = 1 ta có \({u_1} = {1 \over 3} \le {2 \over 3}\)

Vậy (1) đúng với n = 1

+) Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:

\({u_k} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^k}\)

Khi đó \(\frac{{{u_{k + 1}}}}{{{u_k}}} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}{u_k}\) (theo câu a)

\(\Rightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}.{\left( {{2 \over 3}} \right)^k} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^{k + 1}}\)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 nên (1) đúng với mọi n.

c) Ta có:

\(0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\)

\(\lim {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} = 0\) \( \Rightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\)

Ngày:05/11/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM