Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 2: Dãy số

Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau:

a) Dãy số (u_n) với ${u_n} = {{2{n^2} - 3} \over n}$

b) Dãy số (u_n) với ${u_n} = {\sin ^2}{{n\pi } \over 4} + \cos {{2n\pi } \over 3}$

c) Dãy số (u_n) với ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.\sqrt {{4^n}}$

Phương pháp giải:

Thay các giá trị n = 1,...,5 và tính giá trị của u_n.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\eqalign{ & {u_1} = {{{{2.1}^2} - 3} \over 1} = - 1 \cr & {u_2} = {{{{2.2}^2} - 3} \over 2} = {5 \over 2} \cr & {u_3} = {{{{2.3}^2} - 3} \over 3} = 5 \cr & {u_4} = {{{{2.4}^2} - 3} \over 4} = {{29} \over 4} \cr & {u_5} = {{{{2.5}^2} - 3} \over 5} = {{47} \over 5} \cr}$

b) Ta có:

$\eqalign{ & {u_1} = {\sin ^2}{\pi \over 4} + \cos {{2\pi } \over 3} \cr& = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + \left( { - \frac{1}{2}} \right)= {1 \over 2} - {1 \over 2} = 0 \cr & {u_2} = {\sin ^2}{\pi \over 2} + \cos {{4\pi } \over 3} \cr&= {1^2} + \left( { - \frac{1}{2}} \right)= 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2} \cr & {u_3} = {\sin ^2}{{3\pi } \over 4} + \cos 2\pi \cr& = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + 1= {1 \over 2} + 1 = {3 \over 2} \cr & {u_4} = {\sin ^2}\pi + \cos {{8\pi } \over 3} \cr& = {0^2} + \cos \left( {2\pi + \frac{{2\pi }}{3}} \right) \cr& = 0+\cos \frac{{2\pi }}{3} = - {1 \over 2} \cr & {u_5} = {\sin ^2}{{5\pi } \over 4} + \cos {{10\pi } \over 3} \cr& = {\sin ^2}\left( {\pi + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {4\pi - \frac{{2\pi }}{3}} \right) \cr&= {\left( { - \sin \frac{\pi }{4}} \right)^2} + \cos \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right) \cr&= {\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + \left( { - \frac{1}{2}} \right)= {1 \over 2} - {1 \over 2} \cr&= 0 \cr}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l} {u_1} = {\left( { - 1} \right)^1}\sqrt {{4^1}} = - 2\\ {u_2} = {\left( { - 1} \right)^2}\sqrt {{4^2}} = 4\\ {u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}\sqrt {{4^3}} = - 8\\ {u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}\sqrt {{4^4}} = 16\\ {u_5} = {\left( { - 1} \right)^5}\sqrt {{4^5}} = - 32 \end{array}$

Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗi dãy số sau:

a) Dãy số (u_n) xác định bởi:

$\displaystyle {u_1} = 0\,\text{ và }\,{u_n} = {2 \over {u_{n - 1}^2 + 1}}$ với mọi n ≥ 2.

b) Dãy số (u_n) xác định bởi :

$\displaystyle {u_1} = 1,{u_2} = - 2$ và $u_n={u_{n - 1}} - 2{u_{n - 2}}$ với mọi n ≥ 3.

Phương pháp giải:

a) Thay n = 2, 3, 4, 5 tính lần lượt các số hạng của dãy số.

b) Thay n = 3, 4, 5 tính lần lượt các số hạng của dãy số.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\displaystyle \eqalign{ & {u_2} = {2 \over {u_1^2 + 1}} = \frac{2}{{{0^2} + 1}}= 2 \cr & {u_3} = {2 \over {u_2^2 + 1}} = {2 \over {{2^2} + 1}} = {2 \over 5} \cr & {u_4} = {2 \over {u_3^2 + 1}} = {2 \over {{4 \over {25}} + 1}} = {{50} \over {29}} \cr & {u_5} = {2 \over {u_4^2 + 1}} = {2 \over {{{\left( {{{50} \over {29}}} \right)}^2} + 1}} = {{1682} \over {3341}} \cr}$

b) Ta có:

$\displaystyle \eqalign{ & {u_3} = {u_2} - 2{u_1} = - 2 - 2.1 = - 4 \cr & {u_4} = {u_3} - 2{u_2} = - 4 - 2\left( { - 2} \right) = 0 \cr & {u_5} = {u_4} - 2{u_3} = 0-2.(-4)=8 \cr}$

Cho hình vuông $A_1B_1C_1D_1$ có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông $A_2B_2C_2D_2, \ A_3B_3C_3D_3, ..., A_nB_nC_nD_n,...$ theo cách sau: Với mỗi n = 2, 3, 4, … lấy các điểm $A_n ,B_n, C_n$ và $D_n$ tương ứng trên các cạnh $A_{n-1}B_{n-1},B_{n-1}C_{n-1},C_{n-1}D_{n-1}$ và $D_{n-1}A_{n-1}$sao cho $A_{n-1}A_n=1cm$ và $A_nB_nC_nD_n$ là một hình vuông (h.3.2). Xét dãy số (u_n) với u_n là độ dài cạnh của hình vuông $A_nB_nC_nD_n$.

Hãy cho dãy số (u_n) nói trên bởi hệ thức truy hồi.

Phương pháp giải:

Cho ${u_{n + 1}} = {A_{n + 1}}{B_{n + 1}}$ và biến đổi.

Hướng dẫn giải:

Với mỗi $n \in \mathbb N^*$, xét các hình vuông ${A_n}{B_n}{C_n}{D_n}$ và ${A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}}{D_{n + 1}},$ ta có:

$\eqalign{& {u_{n + 1}} = {A_{n + 1}}{B_{n + 1}} \cr&= \sqrt {{{\left( {{A_{n + 1}}{B_n}} \right)}^2} +{{\left( {{B_n}{B_{n + 1}}} \right)}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{A_n}{B_n} - 1} \right)}^2} + {1^2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{u_n} - 1} \right)}^2} + 1} \cr}$

Cho dãy số (un) xác định bởi:

${u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3$ với mọi n ≥ 2.

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có ${u_n} = {2^{n + 1}}-3$ (1).

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n ≥ 1, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n = k (k ≥ 1) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

+) Với n = 1 ta có ${u_1} = 1 = {2^2}-3.$

Vậy (1) đúng với n = 1

+) Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có: ${u_k} = {2^{k + 1}} - 3$

+) Ta chứng minh (1) đúng với $n = k + 1$, tức là phải chứng minh:

${u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} - 3$

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có:

${u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2\left( {{2^{k + 1}} - 3} \right) + 3 = {2^{k + 2}} - 3$

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi $n \in \mathbb N^*.$

Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) Dãy số (u_n) với ${u_n} = {n^3} - 3{n^2} + 5n - 7$

b) Dãy số (x_n) với ${x_n} = {{n + 1} \over {{3^n}}}$

c) Dãy số (a_n) với ${a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n$

Phương pháp giải:

a) Xét hiệu u_n+1 – u_n và so sánh với 0.

b) Xét tỉ số ${{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}}$ và so sánh với 1.

c) Viết lại công thức xác định a_n dưới dạng:

${a_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$ (sử dụng nhân chia liên hợp)

Tiếp theo, xét tỉ số ${{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}$ và so sánh với 1.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\eqalign{ & {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {\left( {n + 1} \right)^3} - 3{\left( {n + 1} \right)^2} + 5\left( {n + 1} \right) - 7 - \left( {{n^3} - 3{n^2} + 5n - 7} \right) \cr & = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 - 3\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) + 5n + 5 - 7- {n^3} + 3{n^2} - 5n + 7\cr&= 3{n^2} - 3n + 3 \cr& = 3n\left( {n - 1} \right) + 3> 0,\forall n \in \mathbb N^* \cr}$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

b) Ta có:

$\eqalign{ & {{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}} = {{n + 1} \over {{3^n}}}.{{{3^{n + 1}}} \over {n + 2}} \cr&= {{3\left( {n + 1} \right)} \over {n + 2}} = {{3n + 3} \over {n + 2}} > 1\;\forall n \in \mathbb N^*\cr&\text{Vì } \,3n + 3 > n + 2\;\forall n \in \mathbb N^* \cr & \Rightarrow {x_n} > {x_{n + 1}} \cr}$

⇒ (x_n) là dãy số giảm.

c) Ta có:

$\eqalign{ & {a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \cr& = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr&= \frac{{n + 1 - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\cr&= {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr & {{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} \cr&=\frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}:\frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}\cr&= {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 1 \cr & \Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}} \cr}$

⇒ (a_n) là dãy số giảm.

Chứng minh rằng dãy số $\displaystyle (u_n)$ với $\displaystyle {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}}$ là một dãy số giảm và bị chặn.

Phương pháp giải:

- Xét hiệu $H = {u_{n + 1}} - {u_n}$, chứng minh H < 0.

- Đánh giá $u_{n}$ bị chặn dưới và bị chặn trên, tức là chỉ ra tồn tại các số thực m, M sao cho $m \le {u_n} \le M.$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\displaystyle \eqalign{ & {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}} = {{{2 \over 3}\left( {3n + 2} \right) + {5 \over 3}} \over {3n + 2}} \cr&= {2 \over 3} + {5 \over {3\left( {3n + 2} \right)}} \cr }$

$\begin{array}{l} u_{n+1}-u_n\\= \left( {\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{{3\left[ {3\left( {n + 1} \right) + 2} \right]}}} \right) - \left( {\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}} \right)\\ = \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{{3\left( {3n + 5} \right)}} - \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \dfrac{5}{{3\left( {3n + 5} \right)}} - \dfrac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{5\left( {3n + 2} \right) - 5\left( {3n + 5} \right)}}{{3\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 15}}{{3\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = - \dfrac{5}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*} \end{array}$

$\displaystyle ⇒ (u_n)$ là dãy số giảm

Ta lại có:

+) $\dfrac{{2n + 3}}{{3n + 2}} > 0,\forall n \in {N^*}$

+) $2n + 3 < 3n + 2,\forall n \in {N^*}$ vì $2n + 3 - 3n - 2 = - n + 1 \le 0,\forall n \in {N^*}$

Do đó $\displaystyle 0 < {{2n + 3} \over {3n + 2}} \le 1 \;\forall n \in\mathbb N^*$

Vậy $\displaystyle (u_n)$ là dãy số giảm và bị chặn.