Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn
eLib xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh nội dung giải bài tập bài Dãy số có giới hạn hữu hạn Toán 11 Nâng cao. Tài liệu gồm 6 bài tập trang 134, 135 có phương pháp và hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài sẽ giúp các em ôn tập thật tốt kiến thức, cũng cố kỹ năng làm bài tập hiệu quả. Mời các em cùng tham khảo.
Mục lục nội dung
Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn
1. Giải bài 5 trang 134 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn sau:
a) lim(2+(−1)nn+2)
b) lim(sin3n4n−1)
c) limn−1n
d) limn+2n+1
Phương pháp giải:
a) b) Sử dụng phương pháp đánh giá và giới hạn kẹp:
Cho hai dãy số (un),(vn). Nếu |un|≤vn,∀n mà limvn=0 thì limun=0.
Và định nghĩa lim(un−L)=0 thì limun=L.
c) d) Chia cả tử và mẫu cho n và sử dụng giới hạn lim1n=0
Hướng dẫn giải:
a) Đặt un=2+(−1)nn+2⇒un−2=(−1)nn+2
Ta có:
|un−2|=|(−1)nn+2|=1n+2<1n Và lim1n=0⇒lim(un−2)=0⇒limun=2
b) Đặt un=sin3n4n−1⇒un+1=sin3n4n
Ta có:
|un+1|=|sin3n4n|≤14n Và lim14n=0⇒lim(un+1)=0⇒limun=−1
c) limn−1n=lim(1−1n)=lim1−lim1n=1
d) limn+2n+1
=limn(1+2n)n(1+1n)=lim1+2n1+1n=lim1+lim2nlim1+lim1n=1+01+0=1
2. Giải bài 6 trang 134 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tìm limun với:
a) un=n2−3n+52n2−1
b) un=−2n2+n+23n4+5
c) un=√2n2−n1−3n2
d) un=4n2.3n+4n
Phương pháp giải:
- Chia cả tử và mẫu của biểu thức cần tính giới hạn cho lũy thừa bậc cao nhất của n và sử dụng giới hạn lim1nk=0.
- Chia cả tử và mẫu un cho 4n.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
limun=limn2(1−3n+5n2)n2(2−1n2)=lim1−3n+5n22−1n2=lim1−lim3n+lim5n2lim2−lim1n2=1−0+02−0=12
b) Ta có:
limun=limn4(−2n2+1n3+2n4)n4(3+5n4)=lim−2n2+1n3+2n43+5n4=0+0+03+0=03=0
c) limun=lim√2n2−n1−3n2
=lim√2n2−nn21−3n2n2=lim√2n2−nn41n2−3=lim√2n2−1n31n2−3=√0−00−3=0
d) Chia cả tử và mẫu un cho 4n ta được:
limun=lim4n2.3n+4n=lim4n4n(2.3n4n+1)=lim12(34)n+1=12.0+1=1
3. Giải bài 7 trang 135 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy số (un) xác định bởi
u1=10 và un+1=un5+3 với mọi n ≥ 1
a) Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi vn=un−154 là một cấp số nhân.
b) Tìm limun.
Phương pháp giải:
a) Dãy số (vn) là cấp số nhân nếu vn+1=q.vn với q là số thực không đổi (công bội).
b) Tìm số hạng tổng quát vn=v1qn−1 suy ra giới hạn limvn.
Từ đó suy ra limun.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
vn+1=un+1−154 =un5+3−154=un5−34
Thay un=vn+154 vào ta được:
vn+1=15(vn+154)−34 =15vn+34−34=15vn,∀n
Vậy (vn) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q=15
b) Ta có:
v1=u1−154=10−154=254vn=v1.qn−1=254.(15)n−1lim(15)n−1=0⇒limvn=0⇒lim(un−154)=0⇒limun=154
4. Giải bài 8 trang 135 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1,…, tam giác An+1Bn+1Cn+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác AnBnCn, … . Gọi p1, p2, ..., pn, … và S1, S2, …, Sn, … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác
a) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).
b) Tìm các tổng p1+p2+...+pn+... và p1+p2+...+pn+...
Phương pháp giải:
a) - Chứng minh pn=3a2n, Sn=a2√34.(14)n bằng phương pháp quy nạp.
- Sau đó tìm giới hạn của (pn) và (Sn).
b) Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn S=u11−q
Hướng dẫn giải:
Ta có:
p1=a2+a2+a2=3a2;p2=a4+a4+a4=3a4=3a22...pn=3a2n(1)
Chứng minh bằng qui nạp:
+) Với n = 1 thì p1=3a2 (đúng).
+) Giả sử (1) đúng với n = k, tức là pk=3a2k.
Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1.
Tam giác Ak+1Bk+1Ck+1 đồng dạng tam giác AkBkCk theo tỉ số 12
Nên có chu vi pk+1=12pk=12.3a2k=3a2k+1
Do đó ta có pn=3a2n.
Vì lim12n=lim(12)n=0 nên limpn=0
Diện tích tam giác ABC là S=a2√34. Diện tích tam giác A1B1C1 là S1=S4
Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được rằng diện tích tam giác AnBnCn là Sn=a2√34.(14)n
Vì lim(14)n=0 nên limSn=0.
b) Ta có (pn) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q=12, do đó:
p1+p2+...+pn+...=p11−12=2p1=2.3a2=3a
(Sn) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q′=14 do đó:
S1+S2+...+Sn+...=S11−14=43S1=S3=a2√312
5. Giải bài 9 trang 135 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
a) 0,444…
b) 0,2121…
c) 0,32111…
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn S=u11−q
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
0,444...=0,4+0,04+0,004+...=410+4102+4103+...=4(110+1102+...)=4.1101−110=49
b) Ta có:
0,2121...=0,21+0,0021+...=21102+21104+...=21(1102+1104+...)=21.11021−1102=2199=733.
c) Ta có:
0,32111...=32100+11000+110000+...=32100+11000(1+110+1102+...)=32100+11000.11−110=32100+1900=289900
6. Giải bài 10 trang 135 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính AB2, C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính AB4,... Cn là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính AB2n,.... Gọi pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB.
a) Tính pn và Sn.
b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính chu vi và diện tích hình tròn:
+) Chu vi 2πR.
+) Diện tích πR2.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
pn=2n.R2n.π=πR với mọi n
Sn=2n.(R2n)2.π2=πR22.12n
b) Ta có:
limpn=limπR=πRlimSn=limπR22n+1=0
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 1: Dãy số có giới hạn 0
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 3: Dãy số có giới hạn vô cực
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 5: Giới hạn một bên
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 6: Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 7: Các dạng vô định
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 8: Hàm số liên tục
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Ôn tập chương 4: Giới hạn