Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Ôn tập chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?

a) Các hàm số y = sin x, y = cos x có cùng tập xác định.

b) Các hàm số y = tan x, y = cot x có cùng tập xác định.

c) Các hàm số y = sin x, y = tan x là những hàm số lẻ.

d) Các hàm số y = cos x, y = cot x là những hàm số chẵn.

e) Các hàm số y = sin x, y = cos x cùng nghịch biến trên khoảng $\left( {{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)$.

f) Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng (-2π; -π).

g) Trên mỗi khoảng mà hàm số y = tan x đồng biến thì hàm số y = cot x nghịch biến.

Phương pháp giải:

a) b) Tìm TXĐ của hai hàm số và kết luận.

c) d) Xét tính chẵn lẻ của từng hàm số và kết luận.

e) f) g) Xét tính đơn điệu của các hàm số và kết luận.

Hướng dẫn giải:

a) Đúng vì hàm số y = sin x, y = cos x có cùng tập xác định D = R.

b) Sai vì y = tan x xác định $∀x \ne {\pi \over 2} + k\pi$ còn y = cot x xác định $∀x ≠ kπ$.

c) Đúng.

d) Sai vì y = cot x là hàm số lẻ.

e) Sai vì y = cos x không nghịch biến trên khoảng $\left( {{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)$.

f) Đúng.

g) Sai vì trên khoảng $\left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right)$ hàm số y = tan x đồng biến nhưng hàm số y = cot x không nghịch biến.

Xét hàm số $y = f(x) = \sinπx.$

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên chẵn m ta có f (x + m) = f(x) với mọi x.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-1 ; 1].

c) Vẽ đồ thị của hàm số.

Phương pháp giải:

a) Tính f (x + m) và so sánh với f(x).

b) Vẽ bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-1 ; 1].

c) Vẽ đồ thị của hàm số đó.

Hướng dẫn giải:

Đặt $m = 2k, k \in\mathbb Z$. Ta có:

$f(x + m) \\= \sinπ(x + m) \\ = \sin(πx + 2kπ) \\ = \sinπx = f(x)$

b) Bảng biến thiên

c) Đồ thị:

Đưa các biểu thức sau về dạng $C\sin(x + α)$

a) $\sin x + \tan {\pi \over 7}\cos x$

b) $\tan {\pi \over 7}\sin x + \cos x$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng các công thức sau để biến đổi:

$\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}$

$\sin (a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$

b) Sử dụng các công thức sau để biến đổi:

$\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}$

$\cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l} \sin x + \tan \dfrac{\pi }{7}\cos x\\ = \sin x + \dfrac{{\sin \dfrac{\pi }{7}}}{{\cos \dfrac{\pi }{7}}}.\cos x\\ = \sin x + \dfrac{{\sin \dfrac{\pi }{7}\cos x}}{{\cos \dfrac{\pi }{7}}}\\ = \dfrac{{\sin x\cos \dfrac{\pi }{7} + \sin \dfrac{\pi }{7}\cos x}}{{\cos \dfrac{\pi }{7}}}\\ = \dfrac{{\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{7}} \right)}}{{\cos \dfrac{\pi }{7}}} \end{array}$

$= \dfrac{1}{{\cos \dfrac{\pi }{7}}}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{7}} \right)$

b)

$\begin{array}{l} \tan \dfrac{\pi }{7}\sin x + \cos x\\ = \dfrac{{\sin \dfrac{\pi }{7}}}{{\cos \dfrac{\pi }{7}}}.\sin x + \cos x\\ = \dfrac{{\sin \dfrac{\pi }{7}\sin x}}{{\cos \dfrac{\pi }{7}}} + \cos x\\ = \dfrac{{\sin \dfrac{\pi }{7}\sin x + \cos x\cos \dfrac{\pi }{7}}}{{\cos \dfrac{\pi }{7}}}\\ = \dfrac{{\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{7}} \right)}}{{\cos \dfrac{\pi }{7}}} = \dfrac{{\cos \left( {\dfrac{\pi }{7} - x} \right)}}{{\cos \dfrac{\pi }{7}}}\\ = \dfrac{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{7} + x} \right)}}{{\cos \dfrac{\pi }{7}}}\\ = \dfrac{{\sin \left( {\dfrac{{5\pi }}{{14}} + x} \right)}}{{\cos \dfrac{\pi }{7}}}\\ = \dfrac{1}{{\cos \dfrac{\pi }{7}}}\sin \left( {x + \dfrac{{5\pi }}{{14}}} \right) \end{array}$

Giải các phương trình sau:

a) $\sin \left( {x - {{2\pi } \over 3}} \right) = \cos 2x$

b) $\tan \left( {2x + 45^\circ } \right)\tan \left( {180^\circ - {x \over 2}} \right) = 1$

c) $\cos 2x - {\sin ^2}x = 0$

d) $5\tan x - 2\cot x = 3$

Phương pháp giải:

a) - Sử dụng công thức $\cos x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$

- Giải phương trình cơ bản của sin.

b) Sử dụng công thức:

$\tan \left( {180^\circ - x} \right) = \tan \left( { - x} \right)$

tan x.cot x = 1

c) Sử dụng công thức hạ bậc ${\sin ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2}$

d) Sử dụng công thức tan x.cot x = 1 để biến đổi phương trình thành phương trình bậc 2 theo tan x.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\eqalign{& \sin \left( {x - {{2\pi } \over 3}} \right) = \cos 2x \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {x - {{2\pi } \over 3}} \right) = \sin \left( {{\pi \over 2} - 2x} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - {{2\pi } \over 3} = {\pi \over 2} - 2x + k2\pi } \cr {x - {{2\pi } \over 3} = \pi - {\pi \over 2} + 2x + k2\pi } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {{7\pi } \over {18}} + k{{2\pi } \over 3}} \cr {x = - {{7\pi } \over 6} - k2\pi } \cr} } \right. \cr}$

b) Với ĐKXĐ của phương trình ta có:

$\tan \left( {2x + {{45}^0}} \right) = \cot \left( {{{90}^0} - 2x - {{45}^0}} \right) = \cot \left( {{{45}^0} - 2x} \right)$

$\tan \left( {180^\circ - {x \over 2}} \right) = \tan \left( { - {x \over 2}} \right)$

Nên:

$\eqalign{ & \tan \left( {2x + 45^\circ } \right)\tan \left( {180^\circ - {x \over 2}} \right) = 1 \cr & \Leftrightarrow \cot \left( {45^\circ - 2x} \right)\tan \left( { - {x \over 2}} \right) = 1 \cr & \Leftrightarrow \tan \left( { - \frac{x}{2}} \right) = \frac{1}{{\cot \left( {{{45}^0} - 2x} \right)}}\cr&\Leftrightarrow \tan \left( { - {x \over 2}} \right) = \tan \left( {45^\circ - 2x} \right) \cr & \Leftrightarrow - {x \over 2} = 45^\circ - 2x + k180^\circ \cr & \Leftrightarrow x = 30^\circ + k120^\circ,k \in\mathbb Z \cr}$

c) Ta có:

$\eqalign{ & \cos 2x - {\sin ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos 2x - {{1 - \cos 2x} \over 2} = 0 \cr & \Leftrightarrow 3\cos 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 3} \cr & \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \alpha \,\left( {\text{ với }\,\cos \alpha = {1 \over 3}} \right) \cr & \Leftrightarrow x = \pm {\alpha \over 2} + k\pi \,\,(k\in\mathbb Z)\cr}$

d)

$\eqalign{& 5\tan x - 2\cot x = 3 \cr & \Leftrightarrow 5\tan x - {2 \over {\tan x}} = 3 \cr & \Leftrightarrow 5{\tan ^2}x - 3\tan x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = 1} \cr {\tan x = - {2 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr}k\in\mathbb Z } \right. \cr & \text{Trong đó}\,\tan \alpha = - {2 \over 5} \cr}$

Giải các phương trình sau:

a) $\sin 2x + {\sin ^2}x = {1 \over 2}$

b) $2{\sin ^2}x + 3\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0$

c) ${\sin ^2}{x \over 2} + \sin x - 2{\cos ^2}{x \over 2} = {1 \over 2}$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức hạ bậc: ${\sin ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2}$

b) - Chia hai vế phương trình cho ${\cos ^2}x$ .

- Giải phương trình bậc hai ẩn tan x.

- Giải phương trình cơ bản của tan.

c)- Chia hai vế phương trình cho ${\cos ^2}{x \over 2}$.

- Giải phương trình bậc hai ẩn $\tan \dfrac x2$.

- Giải phương trình cơ bản của tan.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\eqalign{ & \sin 2x + {\sin ^2}x = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \sin 2x + {1 \over 2}\left( {1 - \cos 2x} \right) = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \sin 2x - {1 \over 2}\cos 2x = 0 \cr & \Leftrightarrow \tan 2x = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2x = \alpha + k\pi \,\text{ với }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow x = {\alpha \over 2} + k{\pi \over 2},\,k \in\mathbb Z \cr}$

b) $x = {\pi \over 2} + k\pi$ không là nghiệm phương trình.

Chia hai vế phương trình cho ${\cos ^2}x$ ta được:

$\eqalign{& 2{\tan ^2}x + 3\tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - 1} \cr {\tan x = - {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right.\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr & \left( {\text{ với }\,\tan \alpha = - {1 \over 2}} \right) \cr}$

c) Ta có:

$\eqalign{ & {\sin ^2}{x \over 2} + \sin x - 2{\cos ^2}{x \over 2} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow {\sin ^2}{x \over 2} + 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2} - 2{\cos ^2}{x \over 2} = {1 \over 2} \cr}$

Với x mà $\cos {x \over 2} = 0$ không là nghiệm phương trình.

Chia hai vế phương trình cho ${\cos ^2}{x \over 2}$ ta được:

$\eqalign{& {\tan ^2}{x \over 2} + 2\tan {x \over 2} - 2 = {1 \over 2}\left( {1 + {{\tan }^2}{x \over 2}} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}{x \over 2} + 4\tan {x \over 2} - 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan {x \over 2} = 1} \cr {\tan {x \over 2} = - 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{x \over 2} = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {{x \over 2} = \alpha + k\pi } \cr} } \right.\,\left( {\text{ với }\,\tan \alpha = - 5} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 2} + k2\pi } \cr {x = 2\alpha + k2\pi } \cr} } \right.\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr}$

a) Chứng minh rằng  $\sin {\pi \over {12}} = {{\sqrt 3 - 1} \over {2\sqrt 2 }}$

b) Giải các phương trình $2\sin x – 2\cos x =1 - \sqrt 3$ bằng cách biến đổi vế trái về dạng $C\sin(x + α).$

c) Giải phương trình $2\sin x – 2\cos x =1 - \sqrt 3$ bằng cách bình phương hai vế.

Phương pháp giải:

a) - Thay $\frac{\pi }{{12}} = \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}$

- Sử dụng công thức $\sin (a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$ để chứng minh.

b) - Chia hai vế của phương trình cho $2\sqrt2$.

- Sử dụng công thức $\sin (a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$ để biến đổi về dạng $C\sin(x + α).$

- Giải phương trình cơ bản của sin và kết luận.

c) - Bình phương hai vế.

- Sử dụng công thức $\sin^2x+\cos^2x=1$ để thu gọn phương trình.

- Giải phương trình cơ bản của sin và tìm nghiệm.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\eqalign{ & \sin {\pi \over {12}} = \sin \left( {{\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right) \cr & = \sin {\pi \over 3}\cos {\pi \over 4} - \sin {\pi \over 4}\cos {\pi \over 3} \cr & = {{\sqrt 3 } \over 2}.{{\sqrt 2 } \over 2} - {{\sqrt 2 } \over 2}.{1 \over 2} \cr & = {{\sqrt 6 - \sqrt 2 } \over 4} = {{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over 4} \cr & = {{\sqrt 3 - 1} \over {2\sqrt 2 }} \cr}$

b) Ta có:

$\eqalign{& 2\sin x - 2\cos x = 1 - \sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x - {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \cr & \Leftrightarrow \sin x.\cos {\pi \over 4} - \sin {\pi \over 4}\cos x = - \sin {\pi \over {12}} \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = \sin \left( { - {\pi \over {12}}} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - {\pi \over 4} = - {\pi \over {12}} + k2\pi } \cr {x - {\pi \over 4} = \pi + {\pi \over {12}} + k2\pi } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{4\pi } \over 3} + k2\pi } \cr} } \right.\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr}$

c)Ta có: $1 - \sqrt 3 < 0$, ta đặt điều kiện $\sin x – \cos x < 0$ rồi bình phương hai vế của phương trình thì được:

$\eqalign{& 4\left( {1 - \sin 2x} \right) = 4 - 2\sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x = {{\sqrt 3 } \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k\pi } \cr {x = {\pi \over 3} + k\pi } \cr}\,\,(k\in\mathbb Z) } \right. \cr}$

Thử vào điều kiện $\sin x – \cos x < 0$, ta thấy:

+ Họ nghiệm $x = {\pi \over 6} + k\pi$ thỏa mãn điều kiện sin x – cos x < 0 khi và chỉ khi k chẵn, tức là $x = {\pi \over 6} + 2m\pi$ với $m \in\mathbb Z.$

+ Họ nghiệm $x = {\pi \over 3} + k\pi$ thỏa mãn điều kiện sin x – cos x < 0 khi và chỉ khi k lẻ, tức là $x = {\pi \over 3} + \left( {2m + 1} \right)\pi = {{4\pi } \over 3} + 2m\pi$ với $m \in\mathbb Z.$

Ta có kết quả như đã nêu ở câu b.

Giải phương trình:

${{1 + \cos 2x} \over {\cos x}} = {{\sin 2x} \over {1 - \cos 2x}}$

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Biến đổi phương trình bằng cách sử dụng các công thức sau:

$\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1$

$\sin 2x = 2\sin x\cos x$

- Giải phương trình cơ bản của sin và kết luận.

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: $\cos x \ne 0\,\text{ và }\,\cos 2x \ne 1$.

Với điều kiện đó, ta có:

$\eqalign{& {{1 + \cos 2x} \over {\cos x}} = {{\sin 2x} \over {1 - \cos 2x}} \cr & \Leftrightarrow {{2{{\cos }^2}x} \over {\cos x}} = {{2\sin x\cos x} \over {2{{\sin }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow 1 - {1 \over {2\sin x}} = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin x = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k2\pi \,\left( \text{nhận} \right)} \cr {x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \,\left( \text{nhận} \right)} \cr} } \right. \cr}$

Cho phương trình ${{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x} \over {2\cos x - \sin x}} = \cos 2x.$

a) Chứng minh rằng $x = {\pi \over 2} + k\pi$ nghiệm đúng phương trình.

b) Giải phương trình bằng cách đặt tan x = t (khi $x \ne {\pi \over 2} + k\pi$)

Phương pháp giải:

a) Thay $x = {\pi \over 2} + k\pi$ vào phương trình.

b) - Đặt tan x = t, giải phương trình ẩn t.

- Giải phương trình cơ bản ủa tan để tìm nghiệm x.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}$

(nghĩa là bằng 1 nếu k chẵn, bằng -1 nếu k lẻ)

Thay $x = {\pi \over 2} + k\pi$ vào phương trình ta được:

$\begin{array}{l} \frac{{{{\sin }^3}\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) + {{\cos }^3}\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)}}{{2\cos \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)}} = \cos \left[ {2\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{3k}} + 0}}{{2.0 - {{\left( { - 1} \right)}^k}}} = \cos \left( {\pi + k2\pi } \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{3k}}}}{{ - {{\left( { - 1} \right)}^k}}} = \cos \pi \\ \Leftrightarrow - {\left( { - 1} \right)^{2k}} = - 1\\ \Leftrightarrow - 1 = - 1 \end{array}$

Vậy $x = {\pi \over 2} + k\pi$ là nghiệm phương trình

b) Ta có:

+ $x = {\pi \over 2} + k\pi$ là nghiệm phương trình.

+ Với $x \ne {\pi \over 2} + k\pi$ chia tử và mẫu của vế trái cho ${\cos ^3}x$ ta được:

${{{{\tan }^3}x + 1} \over {2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}} = {{1 - {{\tan }^2}x} \over {1 + {{\tan }^2}x}}$

Đặt t = tan x ta được:

$\eqalign{& {{{t^3} + 1} \over {\left( {2 - t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)}} = {{1 - {t^2}} \over {1 + {t^2}}} \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {t - 2} \right) \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = {t^3} - 2{t^2} - t + 2 \cr & \Leftrightarrow 2{t^2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {t = - 1} \cr {t = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - 1} \cr {\tan x = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right. \cr & \text{ với }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

$x = {\pi \over 2} + k\pi,x = - {\pi \over 4} + k\pi, x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in\mathbb Z} \right)$

Giá trị lớn nhất của các biểu thức ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. ${1 \over 2}$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức:

$\begin{array}{l} {(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {(a + b)^2} - 2ab \end{array}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${\sin ^4}x + {\cos ^4}x \\ = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \\ = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \le 1$

Chọn B.

Giá trị bé nhất của biểu thức $\sin x + \sin \left( {x + {{2\pi } \over 3}} \right)$ là

A. -2

B. ${{\sqrt 3 } \over 2}$

C. -1

D. 0

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích:

$\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\sin x + \sin \left( {x + {{2\pi } \over 3}} \right)$

$=2\sin \left( {x + {\pi \over 3}} \right)\cos {\pi \over 3} \\ = \sin \left( {x + {\pi \over 3}} \right) \ge - 1$

Chọn C.

Tập giá trị của hàm số y = 2sin2x + 3 là:

A. [0 ; 1]

B. [2 ; 3]

C. [-2 ; 3]

D. [1 ; 5]

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất -1 ≤ sinx ≤ 1.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $-1 ≤ \sin 2x ≤ 1 \Rightarrow - 2 \le 2\sin 2x \le 2$

$\Rightarrow 1 \le 2\sin 2x + 3 \le 5$

 ⇒ 1 ≤ y ≤ 5

Chọn D.

Tập giá trị của hàm số y = 1 – 2|sin3x| là:

A. [-1 ; 1]

B. [0 ; 1]

C. [-1 ; 0]

D. [-1 ; 3]

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất 0 ≤ |sinx| ≤ 1.

Hướng dẫn giải:

Vì 0 ≤ |sin3x| ≤ 1 nên -1 ≤ y ≤ 1

Chọn A.

Giá trị lớn nhất của biểu thức $y = {\cos ^2}x - \sin x$ là:

A. 2

B. 0

C. ${5 \over 4}$

D. 1

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\sin^2x+\cos^2x=1$ để rút gọn y.

⇒ GTLN của hàm số.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\eqalign{ & y = 1 - {\sin ^2}x - \sin x \cr&= 1 - \left( {{{\sin }^2}x + \sin x} \right) \cr & = {5 \over 4} - \left( {{{\sin }^2}x + \sin x + {1 \over 4}} \right) \cr&= {5 \over 4} - {\left( {\sin x + {1 \over 2}} \right)^2} \le {5 \over 4} \cr}$

Chọn C.

Tập giá trị của hàm số $y = 4\cos2x – 3\sin2x + 6$ là:

A. [3 ; 10]

B. [6 ; 10]

C. [-1 ; 13]

D. [1 ; 11]

Phương pháp giải:

- Đặt 5 làm nhân tử chung.

- Sử dụng công thức cộng: $\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ để rút dọn hàm số.

- Tìm GTLN, GTNN của hàm số.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\eqalign{& 4\cos 2x - 3\sin 2x\cr& = 5\left( {{4 \over 5}\cos 2x - {3 \over 5}\sin 2x} \right) \cr & = 5\left( {\cos 2x\cos \alpha - \sin 2x\sin \alpha } \right)\cr&\text{với}\,\left\{ {\matrix{{\cos \alpha = {4 \over 5}} \cr {\sin \alpha = {3 \over 5}} \cr} } \right. \cr & = 5\cos \left( {2x + \alpha } \right) \cr&\Rightarrow y = 6 + 5\cos \left( {2x + \alpha } \right)\cr& \Rightarrow 1 \le y \le 11 \cr}$

Chọn D.

Khi x thay đổi trong khoảng $\left( {{{5\pi } \over 4};{{7\pi } \over 4}} \right)$ thì y = sin x lấy mọi giá trị thuộc

A. $\left[ {{{\sqrt 2 } \over 2};1} \right]$

B. $\left[ { - 1; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)$

C. $\left[ { - {{\sqrt 2 } \over 2};0} \right]$

D. $\left[ { - 1;1} \right]$

Phương pháp giải:

Tìm tập giá trị của hàm số y = sin x trên khoảng $\left( {{{5\pi } \over 4};{{7\pi } \over 4}} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${{5\pi } \over 4} < x < {{7\pi } \over 4} \\ \Rightarrow - 1 \le \sin x < - {{\sqrt 2 } \over 2} \\ \Rightarrow - 1 \le y < - {{\sqrt 2 } \over 2}$

Chọn B.

Khi x thay đổi trong nửa khoảng $\left( { - {\pi \over 3};{\pi \over 3}} \right]$ thì y = cos x lấy mọi giá trị thuộc:

A. $\left[ {{1 \over 2};1} \right]$

B. $\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)$

C. $\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)$

D. $\left[ { - 1;{1 \over 2}} \right]$

Phương pháp giải:

Tìm tập giá trị của hàm số y = cos x trên nửa khoảng $\left( { - {\pi \over 3};{\pi \over 3}} \right]$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$- {\pi \over 3} < x \le {\pi \over 3} \\ \Rightarrow {1 \over 2} \le \cos x \le 1 \\ \Rightarrow {1 \over 2} \le y \le 1$

Chọn A.

Số nghiệm của phương trình $\sin \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 1$ thuộc đoạn [π; 2π] là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Phương pháp giải:

Giải phương trình cơ bản của sin và đếm số nghiệm thuộc đoạn [π; 2π].

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\sin \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 1 \\ \Leftrightarrow x + {\pi \over 4} = {\pi \over 2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k2\pi \\ \pi \le \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 2\pi \\\Leftrightarrow \frac{3}{8} \le k \le \frac{7}{8}$

Do k nguyên nên không có k thỏa mãn.

Phương trình không có nghiệm thuộc [π ; 2π]

Chọn C.

Số nghiệm của phương trình $\sin \left( {2x + {\pi \over 4}} \right) = - 1$ thuộc đoạn [0; π] là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Phương pháp giải:

Giải phương trình cơ bản của sin và đếm số nghiệm thuộc đoạn [0; π].

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\sin \left( {2x + {\pi \over 4}} \right) = - 1 \\ \Leftrightarrow 2x + {\pi \over 4} = - {\pi \over 2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = - {{3\pi } \over 8} + k\pi \\ 0 \le - \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \le \pi \Leftrightarrow \frac{3}{8} \le k \le \frac{{11}}{8}$

⇒ k = 1 ta được nghiệm $x = {{5\pi } \over 8} \in \left[ {0;\pi } \right]$

Chọn A.

Một nghiệm của phương trình ${\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x = 2$ là

A. ${\pi \over {12}}$

B. ${\pi \over {3}}$

C. ${\pi \over {8}}$

D. ${\pi \over {6}}$

Phương pháp giải:

Thay từng giá trị ở các đáp án vào phương trình để tìm nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Thế các đáp áp vào phương trình ta thấy ${\pi \over {6}}$ là nghiệm của phương trình.

Chọn D. 

Số nghiệm của phương trình $\cos \left( {{x \over 2} + {\pi \over 4}} \right) = 0$ thuộc khoảng (π; 8π) là

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Phương pháp giải:

Giải phương trình cơ bản của cos và đếm số nghiệm thuộc khoảng (π; 8π).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\cos \left( {{x \over 2} + {\pi \over 4}} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow {x \over 2} + {\pi \over 4} = {\pi \over 2} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k2\pi \\ \pi < \frac{\pi }{2} + k2\pi < 8\pi \\ \Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{{15}}{4}$

Chọn $k{\rm{ }} \in {\rm{ }}\left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right\}$

Chọn B

Số nghiệm của phương trình ${{\sin 3x} \over {\cos x + 1}} = 0$ thuộc đoạn [2π; 4π] là

A. 2

B. 4

C. 5

D. 6

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Giải phương trình cơ bản của sin và đếm số nghiệm thuộc đoạn [2π; 4π].

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${{\sin 3x} \over {\cos x + 1}} = 0 \\ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\sin 3x = 0} \cr {\cos x \ne - 1} \cr} } \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = k{\pi \over 3}} \cr {x \ne \pi + k2\pi } \cr} } \right. \\ 2\pi \le x \le 4\pi \Leftrightarrow 2\pi \le \frac{{k\pi }}{3} \le 4\pi \\ \Leftrightarrow 6 \le k \le 12.$

Cho k nhận các giá trị từ 6 đến 12 ta thấy $x = \frac{{9\pi }}{3} = 3\pi$ có $\cos x=-1$ nên không thỏa mãn(loại).

Chọn $k \in {\rm{ }}\left\{ {6;{\rm{ }}7;{\rm{ }}8;{\rm{ }}10;{\rm{ }}11;{\rm{ }}12} \right\}$

Chọn D.