Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 2: Đạo hàm của các hàm số lượng giác

eLib xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh nội dung giải bài tập bài Đạo hàm của các hàm số lượng giác Toán 11 Nâng cao. Tài liệu gồm 11 bài tập có phương pháp và hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài sẽ giúp các em ôn tập thật tốt kiến thức, cũng cố kỹ năng làm bài tập hiệu quả. Mời các em cùng tham khảo.

Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 2: Đạo hàm của các hàm số lượng giác

1. Giải bài 28 trang 211 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 2x} \over {\sin 5x}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 - {{\cos }^2}x} \over {x\sin 2x}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 + \sin x - \cos x} \over {1 - \sin x - \cos x}}\)

Phương pháp giải:

a) b) Sử dụng công thức giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\).

c) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn khử dạng vô định.

Hướng dẫn giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 2x} \over {\sin 5x}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 2x} \over {\cos 2x.\sin 5x}} \)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{\sin 2x}}{{2x}}.\frac{{2x}}{{\cos 2x\sin 5x}}} \right]\\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{1}{{\cos 2x}}.\frac{{\sin 2x}}{{2x}}.\frac{{\frac{{2x}}{{5x}}}}{{\frac{{\sin 5x}}{{5x}}}}} \right] \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{2}{{5\cos 2x}}.\frac{{\sin 2x}}{{2x}}.\frac{1}{{\frac{{\sin 5x}}{{5x}}}}} \right] \\ = \frac{2}{{5\cos 0}}.1.1 = \frac{2}{5}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 - {{\cos }^2}x} \over {x\sin 2x}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{{\sin }^2}x} \over {2x\sin x\cos x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over {2x\cos x}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{1}{{2\cos x}}.\frac{{\sin x}}{x}} \right] \\= \frac{1}{{2\cos 0}}.1 = \frac{1}{2}\)

\(\eqalign{c) & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{1 + \sin x - \cos x} \over {1 - \sin x - \cos x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 - \cos x} \right) + \sin x}}{{\left( {1 - \cos x} \right) - \sin x}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2\sin^2 {x \over 2} + 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}} \over {2{{\sin }^2}{x \over 2} - 2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin \frac{x}{2}\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}}{{2\sin \frac{x}{2}\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin {x \over 2} + \cos {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2} - \cos {x \over 2}}} \cr & = \frac{{\sin 0 + \cos 0}}{{\sin 0 - \cos 0}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1 \cr} \)

2. Giải bài 29 trang 211 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 5\sin x - 3\cos x\)

b) \(y = \sin \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\)

c) \(y = \cos \sqrt {2x + 1} \)

d) \(y = 2\sin 3x\cos 5x\)

e) \(y = {{\sin x + \cos x} \over {\sin x - \cos x}}\)

f) \(y = \sqrt {\cos 2x} \)

Phương pháp giải:

a) Sử dụng các công thức \((\sin x)'=\cos x\)\((\cos x)'=-\sin x\).

b) Sử dụng công thức \((\sin u)'=u'\cos u\).

c) Sử dụng công thức \((\cos u)'=-u'\sin u\).

d) Biến đổi tích thành tổng và tính đạo hàm.

e) Sử dụng công thức đạo hàm của một thương \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

f) Sử dụng công thức \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\).

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = 5\cos x + 3\sin x\)

b) \(y'=\left[ {\sin \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)} \right]'\)

\(= \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)'\cos \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\\= \left( {2x - 3} \right)\cos \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\)

c) \(y' = - \left( {\sqrt {2x + 1} } \right)'\sin \sqrt {2x + 1}\)

\(= - \frac{{\left( {2x + 1} \right)'}}{{2\sqrt {2x + 1} }}\sin \sqrt {2x + 1} \\= -{2 \over {2\sqrt {2x + 1} }}\left( { \sin \sqrt {2x + 1} } \right)\\= {{ - \sin \sqrt {2x + 1} } \over {\sqrt {2x + 1} }}\)

d) \(y = 2.\frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {3x + 5x} \right) + \sin \left( {3x - 5x} \right)} \right] \)

\(= \sin 8x + \sin \left( { - 2x} \right)\\= \sin 8x - \sin x\\\Rightarrow y' = \left( {8x} \right)'\cos 8x - \left( {2x} \right)'\cos 2x\\= 8\cos 8x - 2\cos 2x\)

e) \(y' = {{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right) - {{\left( {\cos x + \sin x} \right)}^2}} \over {{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\)

\( = {{ - 2} \over {{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\)

f) \(y' = \frac{{\left( {\cos 2x} \right)'}}{{2\sqrt {\cos 2x} }} \)

\(= \frac{{\left( {2x} \right)'.\left( { - \sin 2x} \right)}}{{2\sqrt {\cos 2x} }}\\= {{ - 2\sin 2x} \over {2\sqrt {\cos 2x} }} \\ = {-{\sin 2x} \over {\sqrt {\cos 2x} }}\)

3. Giải bài 30 trang 211 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng hàm số \(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\) có đạo hàm bằng 0.

Phương pháp giải:

Chứng minh hàm số y là một hàm hằng.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\eqalign{ & y = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right) + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr & = {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\cos ^4}x \cr & = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = 1 \cr & \Rightarrow y' = 0 \cr} \)

4. Giải bài 31 trang 212 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \tan {{x + 1} \over 2}\)

b) \(y = \cot \sqrt {{x^2} + 1} \)

c) \(y = {\tan ^3}x + \cot 2x\)

d) \(y = \tan 3x - \cot 3x\)

e) \(y = \sqrt {1 + 2\tan x} \)

f) \(y = x\cot x\)

Phương pháp giải:

a) Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\tan u} \right)' = \dfrac{u'}{{{{\cos }^2}u}}\)

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

b) Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\cos u = -u'\sin u\)

\(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{u'}{{2\sqrt u }}\)

\(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

c) Sử dụng các công thức đạo hàm:

- Công thức đạo hàm hợp

- Các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp:

\(\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

\(\left( {\cot u} \right)' = - \dfrac{u'}{{{{\sin }^2}u}}\)

d) Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\tan u} \right)' = \dfrac{u'}{{{{\cos }^2}u}}\)

\(\left( {\cot u} \right)' = - \dfrac{u'}{{{{\sin }^2}u}}\)

e) Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{u'}{{2\sqrt u }}\)

\(\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

f) Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

\(u.v=u'v+uv'\)

\(\left( {\cot x} \right)' = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = \left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} \right)'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{{x + 1}}{2}}}\)

\(= {1 \over {2{{\cos }^2}{{x + 1} \over 2}}}\)

b) \(y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

\(= \left( {{x^2} + 1} \right)'.\dfrac{1}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\\= \dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = {{ - x} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}.{1 \over {{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

c) \(y' = 3{\tan ^2}x\left( {\tan x} \right)' + \left( {2x} \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}2x}}\)

\(= 3{\tan ^2}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\\ = {{3{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} - {2 \over {{{\sin }^2}2x}}\)

d) \(y' = \left( {3x} \right)'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}3x}} - \left( {3x} \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}3x}}\)

\(= {3 \over {{{\cos }^2}3x}} + {3 \over {{{\sin }^2}3x}} \\= {{12} \over {{{\sin }^2}6x}}\)

e) \(y' = \left( {1 + 2\tan x} \right)'.\dfrac{1}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\)

\(= 2\left( {\tan x} \right)'.\dfrac{1}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\dfrac{1}{{\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\ = {1 \over {{\sqrt {1 + 2\tan x}.{\cos }^2}x }}\)

f) \(y' = x'\cot x + x.\left( {\cot x} \right)'\)

\(= \cot x + x.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\\= \cot x - {x \over {{{\sin }^2}x}}\)

5. Giải bài 32 trang 212 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng:

a) Hàm số y = tanx thỏa mãn hệ thức \(y' - {y^2} - 1 = 0\).

b) Hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức \(y' + 2{y^2} + 2 = 0\)

Phương pháp giải:

Tính y' rồi thay vào tính vế trái của các đẳng thức, kiểm tra bằng vế phải và kết luận.

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\)

Do đó \(y' - {y^2} - 1= \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - {\tan ^2}x - 1 = 0\)

b) \(y' = \left( {2x} \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}2x}} \) \(\)

\( - 2.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}2x}} = - 2\left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right).\)

Do đó \(y' + 2{y^2} + 2= - 2\left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right) + 2{\cot ^2}2x + 2 = 0\)

6. Giải bài 33 trang 212 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) \(\displaystyle y = {{\sin x} \over x} + {x \over {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}\)

b) \(\displaystyle y = {{{{\sin }^2}x} \over {1 + \tan 2x}}\)

c) \(y = \tan \left( {\sin x} \right)\)

d) \(y = x\cot \left( {{x^2} - 1} \right)\)

e) \(y = {\cos ^2}\sqrt {{\pi \over 4} - 2x} \)

f) \(y = x\sqrt {\sin 3x}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp và các công thức tính đạo hàm các hàm số sơ cấp:

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\\\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\)

\(\left( {\cos u} \right)' = -u'. \sin u\)

\(\left( {\tan u} \right)' = \dfrac{u'}{{{{\cos }^2}u}}\)

\(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = \dfrac{{\left( {\sin x} \right)'.x - \sin x.\left( {x'} \right)}}{{{x^2}}} + \dfrac{{x'\sin x - x.\left( {\sin x} \right)'}}{{{{\sin }^2}x}}\)

\(\eqalign{ & = {{x\cos x - \sin x} \over {{x^2}}} + {{\sin x - x\cos x} \over {{{\sin }^2}x}} \cr & = \left( {x\cos x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \right)\left( {{1 \over {{x^2}}} - {1 \over {{{\sin }^2}x}}} \right) \cr} \)

b) \(y' = \frac{{\left( {{{\sin }^2}x} \right)'.\left( {1 + \tan 2x} \right) - {{\sin }^2}x.\left( {1 + \tan 2x} \right)'}}{{{{\left( {1 + \tan 2x} \right)}^2}}}\)

\(\eqalign{ & y' = {{2\sin x\cos x\left( {1 + \tan 2x} \right) - {{\sin }^2}x.2\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right)} \over {{{\left( {1 + \tan 2x} \right)}^2}}} \cr & = {{\sin 2x} \over {\left( {1 + \tan 2x} \right)}} - {{2{{\sin }^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right)} \over {{{\left( {1 + \tan 2x} \right)}^2}}} \cr}\)

c) \(y' = \left( {\sin x} \right)'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\sin x} \right)}}\)

\(= {{\cos x} \over {{{\cos }^2}\left( {\sin x} \right)}}\)

d) \(y' = x'.\cot \left( {{x^2} - 1} \right) + x.\left[ {\cot \left( {{x^2} - 1} \right)} \right]'\)

\(= \cot \left( {{x^2} - 1} \right) + x.\left( {{x^2} - 1} \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)

\(\eqalign{ & = \cot \left( {{x^2} - 1} \right) + x.{{ - 2x} \over {{{\sin }^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}} \cr & = \cot \left( {{x^2} - 1} \right) - {{2{x^2}} \over {{{\sin }^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}} \cr} \)

e) \(y = {1 \over 2}\left( {1 + \cos 2\sqrt {{\pi \over 4} - 2x} } \right)\)

\(y' = - {1 \over 2}. \sin 2\sqrt {{\pi \over 4} - 2x} .\,2{{ - 2} \over {2\sqrt {{\pi \over 4} - 2x} }} \\= {{2\sin \sqrt {\pi - 8x} } \over {\sqrt {\pi - 8x} }}\)

f) \(y' = x'\sqrt {\sin 3x} + x.\left( {\sqrt {\sin 3x} } \right)'\)

\(= \sqrt {\sin 3x} + x.\dfrac{{\left( {\sin 3x} \right)'}}{{2\sqrt {\sin 3x}}}\)

\(= \sqrt {\sin 3x} + x.{{3\cos 3x} \over {2\sqrt {\sin 3x} }} \\= {{2\sin 3x + 3x\cos 3x} \over {2\sqrt {\sin 3x} }}\)

7. Giải bài 34 trang 212 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Tính \(f'\left( \pi \right)\) nếu \(f\left( x \right) = {{\sin x - x\cos x} \over {\cos x - x\sin x}}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm:

\(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\\\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\)

\(u.v=u'v+uv'\)

Hướng dẫn giải:

Với mọi x sao cho \(\cos x - x\sin x \ne 0,\) ta có:

\(f'\left( x \right) = {{\left[ {\cos x - \left( {\cos x - x\sin x} \right)} \right]\left( {\cos x - x\sin x} \right) - \left( {\sin x - x\cos x} \right)\left[ { - \sin x - \left( {\sin x + x\cos x} \right)} \right]} \over {{{\left( {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} - xsinx} \right)}^2}}}\)

Vì \(\sin \pi = 0,\cos \pi = - 1\) nên:

\(f'\left( \pi \right) = {{\left[ { - 1 - \left( { - 1} \right)} \right].\left( { - 1} \right) - \pi .\pi } \over {{{\left( { - 1} \right)}^2}}} = - {\pi ^2}\)

8. Giải bài 35 trang 212 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau:

a) y = sin2x - 2cosx

b) y = 3sin2x + 4cos2x + 10x

c) \(y = {\cos ^2}x + \sin x\)

d) y = tan x + cot x

Phương pháp giải:

- Tính y' bằng cách sử dụng các công thức:

\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\\\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\)                       \(\left( {\sin u} \right)' =u'. \cos u\\\left( {\cos u} \right)' = -u' \sin u\)

\(\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)                       \(\left( {\cot x} \right)' = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)

- Giải phương trình y' = 0 và kết luận nghiệm.

Hướng dẫn giải:

a) Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có:

\(y' = 2\cos 2x + 2\sin x\) \( = 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x\) \(=-4{{\sin }^2}x+2\sin x+2\)

Vậy \(y' = 0 \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - \sin x - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\sin x = 1} \cr {\sin x = -{1 \over 2}} \cr } } \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 2} + k2\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi } \cr }\left( {k \in \mathbb Z} \right) } \right.\)

b) Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có: \(y' = 6\cos 2x - 8\sin 2x + 10\)

\(y' = 0\\ \Leftrightarrow 6\cos 2x - 8\sin 2x + 10 = 0 \\\Leftrightarrow 3\cos 2x - 4\sin 2x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow 4\sin 2x - 3\cos 2x = 5\\\Leftrightarrow {4 \over 5}\sin 2x - {3 \over 5}\cos 2x = 1\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \({\left( {{4 \over 5}} \right)^2} + {\left( {{3 \over 5}} \right)^2} = 1\) nên có số α sao cho \(\cos \alpha = {4 \over 5}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {3 \over 5}\)

Thay vào (1), ta được:

\(\eqalign{ & \sin 2x\cos \alpha - \sin\alpha \cos 2x = 1 \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \alpha } \right) = 1 \cr & \Leftrightarrow 2x - \alpha = {\pi \over 2} + k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\left( {\alpha + {\pi \over 2} + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)

c) Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có: \(y' = - 2\cos x{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + cosx = cosx\left( {1 - 2\sin x} \right)\)

\(\eqalign{ & y' = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0\cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ { \cos x = 0 } \cr {1 - 2\sin x = 0 } \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 2} + k\pi} \cr {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi } \cr } } \right. } \cr } } \right. \cr} \)

Vậy \(x = {\pi \over 2} + k\pi ;x = {\pi \over 6} + k2\pi ;x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \left( {k \in\mathbb Z} \right)\)

d) Ta có:

\(\eqalign{ & y' = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - {1 \over {{{\sin }^2}x}}\,\forall\,x \ne k{\pi \over 2} \cr & y' = 0 \Leftrightarrow {1 \over {{{\cos }^2}x}} = {1 \over {{{\sin }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\cr &\Leftrightarrow {\tan ^2}x = 1 \cr & \Leftrightarrow \tan x = \pm 1 \cr & \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 4} + k\pi,\ k \in \mathbb Z \cr} \)

9. Giải bài 36 trang 212 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\cos ^2}\left( {4x - 1} \right)\). Chứng minh rằng với mọi x ta có \(\left| {f'\left( x \right)} \right| \le 8.\) Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.

Phương pháp giải:

Tính f'(x) và đánh giá sử dụng tính chất của hàm số lượng giác.

Hướng dẫn giải:

Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có:

\(f'\left( x \right) = 2.2\cos \left( {4x - 1} \right).\left[ { - \sin \left( {4x - 1} \right)} \right]4\\ = - 8\sin 2\left( {4x - 1} \right)\)

Suy ra: \(\left| {f'\left( x \right)} \right| = 8\left| {\sin 2\left( {4x - 1} \right)} \right| \le 8\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\eqalign{ & \sin 2\left( {4x - 1} \right) = \pm 1 \cr & \Leftrightarrow 2\left( {4x - 1} \right) = {\pi \over 2} + k\pi \cr & \Leftrightarrow x = {\pi \over 16} + {{k\pi } \over 8} + {1 \over 4} \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over {16}}\left( {\pi + 4 + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)

10. Giải bài 37 trang 212 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Cho mạch điện như hình 5.7. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q0. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây; điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức \(q\left( t \right) = {Q_0}\sin \omega t.\) Trong đó, ω là tốc độ góc. Biết rằng cường độ \(I(t)\) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức \(I\left( t \right) = q'\left( t \right).\) Cho biết \({Q_0} = {10^{ - 8}}\,\text{ và }\,\omega = {10^6}\pi \,rad/s.\) Hãy tính cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6s (tính chính xác đến 10-5 mA)

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của q(t).

- Thay t = 6 vào I(t) và kết luận.

Hướng dẫn giải:

Cường độ dòng điện tại thời điểm t là:

\(I\left( t \right) = q'\left( t \right) = {Q_0}\omega \cos \omega t\)

Khi \({Q_0} = {10^{ - 8}}C\,\text{ và }\,\omega = {10^6}\pi \,rad/s\) thì cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6s là:

\(I\left( 6 \right) = {10^{ - 8}}{.10^6}\pi .\cos \left( {{{10}^6}\pi .6} \right) \) \(= {\pi \over {100}}\left( A \right) \approx 31,41593\,\left( {mA} \right)\)

11. Giải bài 38 trang 213 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số \(y = {\cos ^2}x + m\sin x\) (m là tham số) có đồ thị là (C). Tìm m trong mỗi trường hợp sau:

a) Tiếp tuyến của (C) tại điểm với hoành độ x = π có hệ số góc bằng 1.

b) Hai tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ \(x = - {\pi \over 4}\) và \(x = {\pi \over 3}\) song song hoặc trùng nhau.

Phương pháp giải:

a) Giải phương trình \(f'(\pi )=1\) tìm m.

b) Giải phương trình \(f'\left( { - {\pi \over 4}} \right) = f'\left( {{\pi \over 3}} \right)\) tìm m.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x + m\sin x,\) ta có :

\(f'\left( x \right) = 2\cos x\left( { - \sin x} \right) + m\cos x\) \(= - \sin 2x + m\cos x\)

Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = π là:

\(\eqalign{ & f'\left( \pi \right) = - \sin 2\pi + m\cos \pi = - m \cr & \text{Vậy}\,f'\left( \pi \right) = 1 \Leftrightarrow m = - 1 \cr} \)

b) Theo đề bài, ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( { - {\pi \over 4}} \right) = f'\left( {{\pi \over 3}} \right) \cr & \Leftrightarrow - \sin \left( { - {\pi \over 2}} \right) + m\cos \left( { - {\pi \over 4}} \right) \cr &= - \sin {{2\pi } \over 3} + m\cos {\pi \over 3} \cr & \Leftrightarrow 1 + m{{\sqrt 2 } \over 2} = - {{\sqrt 3 } \over 2} + {m \over 2} \cr &\Leftrightarrow m = {{\sqrt 3 + 2} \over {1 - \sqrt 2 }} \cr} \)

Ngày:10/11/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM