Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 5: Các quy tắc tính xác suất

Gieo ba đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để:

a) Cả ba đồng xu đều sấp;

b) Có ít nhất một đồng xu sấp;

c) Có đúng một đồng xu sấp.

Phương pháp giải:

a) - Gọi A_i là biến cố “Đồng xu thứ i sấp”.

- Tính P(A_i).

- Sử dụng quy tắc nhân xác suất: \(P({A_1}{A_2}{A_3}) = P({A_1})P({A_2})P({A_3})\)

b) - Gọi H là biến cố “Có ít nhất một đồng xu sấp”.

- Tính xác suất để xảy ra biến cố đối \(\overline H \): "Cả ba đồng xu đều ngửa”.

- Tính \(P(H)=1-P\left( {\overline H } \right)\).

c) Sử dụng quy tắc cộng và nhân để tính xác suất để:

\(P(A \cup B \cup C) = P\left( A \right) + P\left( B \right) + P\left( C \right)\)

\(P(ABC) = P({A})P({B})P({C})\)

Hướng dẫn giải:

a) Gọi A_i là biến cố “Đồng xu thứ i sấp” (i = 1, 2, 3), ta có: \(P\left( A_i \right) = {1 \over 2}.\)

Các biến cố \({A_1},{\rm{ }}{A_2},{\rm{ }}{A_3}\) độc lập.

Theo quy tắc nhân xác suất, ta có: 

\(P({A_1}{A_2}{A_3}) = P({A_1})P({A_2})P({A_3})={1 \over 2}.{1 \over 2}.{1 \over 2}= {1 \over 8}\)

b) Gọi H là biến cố “Có ít nhất một đồng xu sấp”.

Biến cố đối của biến cố H là \(\overline H \): "Cả ba đồng xu đều ngửa”.

Gọi \(B_i\) là biến cố “Đồng xu thứ i ngửa” (i = 1,2,3), ta có: \(P\left( B_i \right) = {1 \over 2}.\)

Các biến cố \({B_1},{\rm{ }}{B_2},{\rm{ }}{B_3}\) độc lập.

Theo quy tắc nhân xác suất, ta có:

\(P({B_1}{B_2}{B_3}) \\= P({B_1})P({B_2})P({B_3}) \\={1 \over 2}.{1 \over 2}.{1 \over 2}= {1 \over 8}\)

Do đó \(P\left( {\overline H } \right) = {1 \over 8}.\)

Vậy: \(P\left( H \right) = 1 - {1 \over 8} = {7 \over 8}\)

c) Gọi K là biến cố “Có đúng một đồng xu sấp”.

Ta có:

\(K = {A_1}\overline {{A_2}}\, \overline {{A_3}} \cup \overline {{A_1}}\, {A_2}\overline {{A_3}} \cup \overline {{A_1}} \,\overline {{A_2}} {A_3}\)

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có:

\(P\left( K \right) = P\left( {{A_1}\overline {{A_2}}\, \overline {{A_3}} } \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} } \right)+ P\left( {\overline {{A_1}}\, \overline {{A_2}} {A_3}} \right)\)

Theo quy tắc nhân xác suất, ta tìm được:

\(P\left( {{A_1}\overline {{A_2}}\, \overline {{A_3}} } \right) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {\overline {{A_2}} } \right)P\left( {\overline {{A_3}} } \right) = {1 \over 8}\)

Tương tự \(P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} } \right) = P\left( {\overline {{A_1}}\, \overline {{A_2}} {A_3}} \right) = {1 \over 8}\)

Từ đó \(P\left( K \right) = {3 \over 8}\)

Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là \(0,2\). Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập :

a) Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần;

b) Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần.

Phương pháp giải:

- Liệt kê các trường hợp có thể.

- Sử dụng phối hợp các quy tắc nhân và quy tắc cộng để tính xác suất.

\(P(A \cup B \cup C) = P\left( A \right) + P\left( B \right) + P\left( C \right)\)

\(P(ABC) = P({A})P({B})P({C})\)

Hướng dẫn giải:

a) Gọi \(A_i\) là biến cố “Người bắn cung bắn trúng hồng tâm ở lần thứ i” (i = 1, 2, 3), ta có \(P(A_i) = 0,2.\)

Gọi K là biến cố “Trong ba lần bắn có duy nhất một lần người đó bắn trúng hồng tâm”, ta có:

\(K = {A_1}\overline {{A_2}}\, \overline {{A_3}} \cup \overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} \cup \overline {{A_1}} \, \overline {{A_2}} {A_3}\)

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có:

\(P\left( K \right) = P\left( {{A_1}\overline {{A_2}}\, \overline {{A_3}} } \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} } \right) + P\left( {\overline {{A_1}} \, \overline {{A_2}} {A_3}} \right)\)

Theo quy tắc nhân xác suất, ta tìm được:

\(P\left( {{A_1}\overline {{A_2}}\, \overline {{A_3}} } \right) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {\overline {{A_2}} } \right)P\left( {\overline {{A_3}} } \right) = 0,2.0,8.0,8 = 0,128.\)

Tương tự \(P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} \, \overline {{A_2}} {A_3}} \right) = 0,128\)

Vậy P(K) = 3.0,128 = 0,384.

b) Gọi B là biến cố "Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần".

\({\overline B }\) là biến cố "Người đó không bắn trúng hồng tâm lần nào".

Khi đó \(P\left( {\overline B } \right) = 0,8.0,8.0,8 = 0,512\)

Vậy \(P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,512 = 0,488\)

Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp ba lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để:

a) Khi gieo hai đồng xu một lần thì cả hai đồng xu đều ngửa;

b) Khi gieo hai đồng xu hai lần thì hai lần cả hai đồng xu đều ngửa.

Phương pháp giải:

- Tính các xác suất đồng xu A sấp, A ngửa, B sấp, B ngửa.

- Sử dụng quy tắc nhân để tính xác suất: P(AB)= P(A). P(B).

Hướng dẫn giải:

Gọi A₁ là biến cố “Đồng xu A sấp”, A₂ là biến cố “Đồng xu A ngửa”

Ta có: \(P({A_1}) = P({A_2}) = 0,5\)

B₁ là biến cố “Đồng xu B sấp”, B₂ là biến cố “Đồng xu B ngửa”.

Theo bài ra ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} P\left( {{B_1}} \right) = 3P\left( {{B_2}} \right)\\ P\left( {{B_1}} \right) + P\left( {{B_2}} \right) = 1 \end{array} \right.\)

Do đó \(P({B_1})= 0,75; P({B_2}) = 0,25\)

\({A_2}{B_2}\) là biến cố “Cả hai đồng xu A và B đều ngửa”.

Theo quy tắc nhân xác suất, ta có:

\(P\left( {{A_2}{B_2}} \right) = 0,5.0,25 = 0,125 = {1 \over 8}\)

b) Gọi H₁ là biến cố “Khi gieo hai đồng xu lần đầu thì cả hai đồng xu đều ngửa”

H₂ là biến cố “Khi gieo hai đồng xu lần thứ hai thì cả hai đồng xu đều ngửa”.

Khi đó \({H_1}{H_2}\) là biến cố “Khi gieo hai đồng xu hai lần thì hai lần cả hai đồng xu đều ngửa”

Từ câu a ta có \( P\left( {{H_1}} \right) = P\left( {{H_2}} \right) = {1 \over 8}\)

Áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta có:

\(P\left( {{H_1}{H_2}} \right) = P\left( {{H_1}} \right)P\left( {{H_2}} \right) = {1 \over 8}.{1 \over 8} = {1 \over {64}}\)

Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu. Mỗi câu có 5 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bài bằng cách với mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để học sinh đó trả lời không đúng cả 10 câu (tính chính xác đến hàng phần vạn).

Phương pháp giải:

- Gọi A_i là biến cố “Học sinh đó trả lời không đúng câu thứ i”. Tính P(A_i).

- Sử dụng quy tắc nhân để tính xác suất: \(P\left( {{A_1}{A_2}...{A_k}} \right) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{A_2}} \right)...P\left( {{A_k}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Gọi A_i là biến cố “Học sinh đó trả lời không đúng câu thứ i” với i = 1,…,10.

Khi đó \({A_1}{A_2} \ldots {A_{10}}\) là biến cố “Học sinh đó trả lời không đúng cả 10 câu”.

Từ giả thiết ta có \(P({A_i}){\rm{ = }}{4 \over 5} = 0,8\)

Áp dụng qui tắc nhân xác suất, ta có:

\(P({A_1}{A_2} \ldots {A_{10}})= P({A_1})P({A_2}) \ldots P({A_{10}})= {\left( {0,8} \right)^{10}} \approx 0,1074\)

Có hai hòm đựng thẻ, mỗi hòm đựng 12 thẻ đánh số từ 1 đến 12. Từ mỗi hòm rút ngẫu nhiên một thẻ. Tính xác suất để trong hai thẻ rút ra có ít nhất một thẻ đánh số 12.

Phương pháp giải:

- Tính xác suất của biến cố “Thẻ rút từ hòm thứ nhất không đánh số 12” và “Thẻ rút từ hòm thứ hai không đánh số 12”.

- Sử dụng các công thức sau để tính xác suất:

P(AB) = P(A).P(B)

\(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\)

Hướng dẫn giải:

Goị A là biến cố “Thẻ rút từ hòm thứ nhất không đánh số 12”

B là biến cố “Thẻ rút từ hòm thứ hai không đánh số 12”.

Ta có: \(P\left( A \right) = P\left( B \right) = {{11} \over {12}}.\)

Gọi H là biến cố “Trong hai thẻ rút từ hai hòm có ít nhất một thẻ đánh số 12”.

Khi đó biến cố đối của biến cố H là \(\overline H \): “Cả hai thẻ rút từ hai hòm đều không đánh số 12”.

Vậy \(\overline H = AB\).

Theo qui tắc nhân xác suất, ta có:

\(\eqalign{ & P\left( {\overline H } \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) = {{121} \over {144}} \cr & \text{Vậy }\,P\left( H \right) = 1 - P\left( {\overline H } \right) = 1 - {{121} \over {144}} = {{23} \over {144}} \cr} \)

Cho hai biến cố A và B với P(A) = 0,3; P(B) = 0,4; P(AB) = 0,2. Hỏi hai biến cố A và B có:

a) Xung khắc hay không?

b) Độc lập với nhau hay không?

Phương pháp giải:

a) Hai biến cố A, B xung khắc nếu \(A \cap B = \emptyset\) hay \(P\left( {AB} \right) = 0\).

b) Hai biến cố A, B độc lập nếu \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\)

Hướng dẫn giải:

a) Vì \(P(AB) = 0,2 ≠ 0\) nên hai biến cố A và B không xung khắc.

b) Ta có: P(A)P(B) = 0,3.0,4=0,12.

Vì \(P(AB) = 0,2 ≠ 0,12 = P(A)P(B)\) nên hai biến cố A và B không độc lập với nhau.

Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng trong một trận là 0,4 (không có hòa). Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95 ?

Phương pháp giải:

- Tính xác suất của biến cố A: “An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi n trận”.

- Giải phương trình P(A) ≥ 0,95 để tìm n.

Hướng dẫn giải:

Gọi n là số trận mà An chơi.

A là biến cố “An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi n trận”.

Biến cố A là \(\overline A \): “An thua cả n trận”.

Ta có: \(P\left( {\overline A } \right) = {\left( {0,6} \right)^n}\)

Vậy \(P(A) = 1 – (0,6)^n\).

Ta cần tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn P(A) ≥ 0,95.

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 - 0,{6^n} \ge 0,95\\ \Leftrightarrow 0,{6^n} \le 0,05 \end{array}\)

Ta có: \({\left( {0,6} \right)^5} \approx {\rm{ }}0,078;{\rm{ }}{\left( {0,6} \right)^6} \approx {\rm{ }}0,047, 0,{6^7} \approx 0,028\) nên n nhỏ nhất là 6. 

Vậy An phải chơi tối thiểu 6 trận.

Gieo hai con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.

Phương pháp giải:

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Liệt kê các trường hợp thuận lợi cho biến cố "Tổng số chấm bằng 8".

- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}.\)

Hướng dẫn giải:

Gọi T là phép thử: "Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất".

Số phần tử của không gian mẫu: \(\left| \Omega \right| = 6.6 = 36\)

Gọi B là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là 8”.

Tập hợp mô tả biến cố B gồm 5 phần tử:

\({\Omega _B} = \left\{ {\left( {2;6} \right),\left( {6;2} \right),\left( {3;5} \right),\left( {5;3} \right),\left( {4;4} \right)} \right\}\)

Khi đó \(\displaystyle P\left( B \right) = {5 \over {36}}.\)

Gieo ba con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 9.

Phương pháp giải:

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Liệt kê các trường hợp thuận lợi cho biến cố "Tổng số chấm bằng 9".

- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}.\)

Hướng dẫn giải:

Giả sử T là phép thử “Gieo ba con súc sắc”.

Kết quả của T là bộ ba số (x, y, z), trong đó x, y, z tương ứng là kết quả của việc gieo con súc sắc thứ nhất, thứ hai, thứ ba.

Không gian mẫu T có 6.6.6 = 216 phần tử.

Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc là 9”.

Ta có tập hợp các kết quả thuận lợi cho A là :

Ω_A = {(x;y;z) | x + y + z = 9,x, y, z ∈ N*, 1 ≤x,y,z ≤ 6}

Nhận xét:

9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 + 3 + 4

= 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3

Tập {1,2,6} cho ta 6 phần tử của Ω_A là (1,2,6); (1,6,2); (2,1,6); (2,6,1); (6,1,2); (6,2,1).

Tương tự tập {1,3,5},{2,3,4} mỗi tập cho ta 6 phần tử của Ω_A.

Tập {1,4,4} cho ta 3 kết quả của Ω_A là: (1,4,4);(4,1,4);(4,4,1)

Tương tự tập {2,2,5} cho ta 3 phần tử của Ω_A

Tập {3,3,3} cho ta 1 phần tử của Ω_A

Vậy |Ω_A| = 6 + 6 + 6 + 3 + 3 + 1 = 25

Suy ra  \(P\left( A \right) = {{25} \over {216}}\)