Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 8: Hàm số liên tục

Nội dung giải bài tập trang 172, 173 SGK Toán 11 Nâng cao Bài Hàm số liên tục bên dưới đây sẽ giúp các em học thật tốt môn Toán. Qua tài liệu này các em sẽ nắm được phương pháp giải cụ thể của từng bài từ đó đưa ra lời giải phù hợp với đề ra. Mời các em cùng tham khảo.

Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 8: Hàm số liên tục

1. Giải bài 46 trang 172 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng:

a) Các hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\,\text {và }\,g\left( x \right) = {{{x^3} - 1} \over {{x^2} + 1}}\) liên tục tại mọi điểm \(x \in\mathbb R\).

b) Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}}\,\text{ với}\,x \ne 2,} \cr {1\,\text{ với}\,x = 2} \cr} } \right.\) liên tục tại điểm x = 2.

c) Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} - 1} \over {x - 1}}\,\text{ với}\,x \ne 1} \cr {2\,\text{ với}\,x = 1} \cr} } \right.\) gián đoạn tại điểm x = 1.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định lí: Hàm đa thức, phân thức, lượng giác liên tục trên tập xác định.

b) Hàm số y = f(x) liên tục tại \(x_0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

c) Hàm số y = f(x) gián đoạn tại \(x_0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\) xác định trên R. Với mọi \(x_0\in R\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^3} - x + 3} \right) \) \(= x_0^3 - {x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy f liên tục tại điểm x0. Do đó hàm số f liên tục trên R.

Hàm số g là hàm phân thức xác định trên R (do \(x^2+1\ne 0, \forall x\)) nên g liên tục trên tập xác định D = R.

b) Với mọi x ≠ 2, ta có:

\(f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}} = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {x - 2}} = x - 1\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( x-1 \right) = 1 = f\left( 2 \right)\)

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x = 2.

c) Với mọi x ≠ 1, ta có:

\(f(x) = {{{x^3} - 1} \over {x - 1}} = {x^2} + x + 1\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,({x^2} + x + 1) = 3 \ne 2 = f(1)\)

Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm x = 1.

2. Giải bài 47 trang 172 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng:

a) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) liên tục trên R.

b) Hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\) liên tục trên khoảng (-1 ; 1).

c) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) liên tục trên đoạn [-2 ; 2].

d) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Phương pháp giải:

a)- Chứng minh hàm số xác định trên R.

- So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) với \(f(x_0)\) và kết luận.

b) - Chứng minh hàm số xác định trên (-1 ; 1).

- So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) với \(f(x_0)\) và kết luận.

b) - Chứng minh hàm số f(x) liên tục trên khoảng (-2; 2).

- So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) \) với \(f(-2)\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) \) với \(f(2)\) và kết luận.

c) - Chứng minh hàm số f(x) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

- So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} f\left( x \right)\) với \(f(\frac12)\) và kết luận.

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) xác định trên R.

Với mọi \(x_0\in\mathbb R\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}f(x) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^4} - {x^2} + 2} \right) \) \(= x_0^4 - x_0^2 + 2 = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy f liên tục tại x0 nên f liên tục trên R.

b) Hàm số f xác định khi và chỉ khi:

\(1 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\)

Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1 ; 1)

Với mọi \(x_0 \in (-1;1)\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} \) \(= {1 \over {\sqrt {1 - x_0^2} }} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x0. Do đó f liên tục trên khoảng (-1 ; 1)

c) ĐKXĐ: \(8 - 2{x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\)

Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) xác định trên đoạn [-2 ; 2]

Với mọi \({x_0} \in \left( { - 2;2} \right)\), ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2x_0^2} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2 ; 2).

Ngoài ra, ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{{\left( { - 2} \right)}^2}} = 0 = f\left( { - 2} \right)\) nên hàm số liên tục phải tại x = -2.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ - }} = \sqrt {8 - {{2.2}^2}} = 0 = f\left( 2 \right)\) nên hàm số liên tục trái tại x = 2.

Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2 ; 2]

d) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) xác định trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Với \({x_0} \in \left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\) ta có

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2x - 1} \) \(= \sqrt {2{x_0} - 1} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Mặt khác ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} f\left( x \right)= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} \sqrt {2x - 1} = 0 = f\left( {{1 \over 2}} \right)\)

Nên hàm số liên tục phải tại \(\dfrac12\).

Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right).\)

3. Giải bài 48 trang 173 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó:

a) \(f\left( x \right) = {{{x^2} + 3x + 4} \over {2x + 1}}\)

b) \(f\left( x \right) = \sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} \)

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định lí hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định.

b) - Tìm điều kiện xác định của hàm số.

- Tính và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \) với \(f(x_0)\).

- Tính và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) với \(f(1)\).

Hướng dẫn giải:

Tập xác định của hàm số f là \(\mathbb R \backslash \left\{ {{1 \over 2}} \right\}.\)

Hàm số phân thức hữu tỉ nên f liên tục trên tập xác định của nó, tức là liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)\)

b) Hàm số f xác định khi và chỉ khi:

\(\left\{ {\matrix{{1 - x \ge 0} \cr {2 - x \ge 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x \le 1\)

Do đó tập xác định của hàm số f là \(\left( { - \infty ;1} \right]\)

Với mọi \({x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)\),ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} } \right) \) \(= \sqrt {1 - {x_0}} + \sqrt {2 - {x_0}} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right).\)

Ngoài ra

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} } \right)= 1 = f\left( 1 \right)\) nên hàm số liên tục trái tại x = 1.

Do đó hàm số f liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right]\).

4. Giải bài 49 trang 173 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng phương trình: \({x^2}\cos x + x\sin x + 1 = 0\)

Có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0 ; π).

Phương pháp giải:

Chứng minh f(0).f(1) < 0 ⇒ đpcm.

Hướng dẫn giải:

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\cos x + x\sin x + 1\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l} f\left( 0 \right) = {0^2}\cos 0 + 0\sin 0 + 1 = 1 > 0\\ f\left( \pi \right) = {\pi ^2}\cos \pi + \pi \sin \pi + 1\\ = {\pi ^2}.\left( { - 1} \right) + \pi .0 + 1 = 1 - {\pi ^2} < 0 \end{array}\)

Vì f(0).f(1) < 0 nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in (0 ; π)\) sao cho f(c) = 0.

Hay phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm (số c) trong khoảng \((0;\pi)\).

Ngày:09/11/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM