Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 6: Biến ngẫu nhiên rời rạc

Một cuộc điều tra được tiến hành như sau: Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh trên đường và hỏi xem gia đình bạn đó có bao nhiêu người. Gọi X là số người trong gia đình bạn học sinh đó. Hỏi X có phải là biến ngẫu nhiên rời rạc không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Chứng tỏ X:

- Nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó.

- Giá trị đó là ngẫu nhiên.

Hướng dẫn giải:

X là một biến ngẫu nhiên rời rạc vì:

- Giá trị của X là một số thuộc tập hợp {1, 2, …, 100} (vì số người trong mỗi gia đình ở Việt Nam chắc chắn không thể vượt quá 100).

- Giá trị của X là ngẫu nhiên (vì giá trị đó phụ thuộc vào bạn học sinh mà ta chọn một cách ngẫu nhiên).

Chọn ngẫu nhiên một gia đình trong số các gia đình có ba con. Gọi X là số con trai trong gia đình đó. Hãy lập bảng phân bố xác suất của X (giả thiết là xác suất sinh con trai là 0,5).

Phương pháp giải:

- Tìm tập giá trị của X.

- Tính các xác suất để X nhận các giá trị đó.

⇒ Lập bảng phân bố xác suất của X.

Hướng dẫn giải:

X là một biến ngẫu nhiên rời rạc.

Tập hợp các giá trị của X là {0, 1, 2, 3}.

Để lập bảng phân bố xác suất của X, ta phải tính các xác suất P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2) và P(X = 3).

Không gian mẫu gồm 8 phần tử sau:

(TTT, TTG, TGT, TGG, GTT, GTG, GGT, GGG),

Trong đó chẳng hạn GTG chỉ giới tính ba người con lần lượt là Gái, Trai, Gái.

Như vậy không gian mẫu gồm 8 kết quả có đồng khả năng.

Gọi A_k­ là biến cố “Gia đình đó có k con trai” (k = 0, 1, 2, 3)

\(P\left( {X = 0} \right) = P\left( {{A_0}} \right) = {1 \over 8}\) (vì chỉ có một kết quả thuận lợi cho A0 là GGG);

\(P\left( {X = 1} \right) = P\left( {{A_1}} \right) = {3 \over 8}\) (vì có ba kết quả thuận lợi cho A1 là TGG, GTG và GGT);

\(P\left( {X = 2} \right) = P\left( {{A_2}} \right) = {3 \over 8}\) (vì có ba kết quả thuận lợi cho A2 là GTT, TGT và TTG);

\(P\left( {X = 3} \right) = P\left( {{A_3}} \right) = {1 \over 8}\) (vì có 1 kết quả thuận lợi cho A3 là TTT);

Vậy bảng phân bổ xác suất của X là:

Số ca cấp cứu ở một bệnh viện vào tối thứ bảy là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

:

Biết rằng, nếu có hơn 2 ca cấp cứu thì phải tăng cường thêm bác sĩ trực .

a) Tính xác suất để phải tăng cường thêm bác sĩ trực vào tối thứ bảy.

b) Tính xác suất để có ít nhất một ca cấp cứu vào tối thứ bảy.

Phương pháp giải:

a) Tính P (X > 2).

b) Tính P (X > 0).

Hướng dẫn giải:

a) Gọi A là biến cố “Phải tăng bác sĩ trực”. Từ điều kiện của bài ra, ta có:

\(\eqalign{ & P\left( A \right) = P\left( {X > 2} \right) \cr&= P\left( {X = 3} \right) + P\left( {X = 4} \right) + P\left( {X = 5} \right) \cr & = 0,2 + 0,1 + 0,05 = 0,35 \cr} \)

b) \(P\left( {X > 0} \right) = 1 - P\left( {X = 0} \right)\)

\(= 1 - 0,15 = 0,85.\)

Số cuộc điện thoại gọi đến một tổng đài trong khoảng thời gian 1 phút vào buổi trưa (từ 12 giờ đến 13 giờ) là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau :

Tính xác suất để trong khoảng thời gian từ 12 giờ 30 phút đến 12 giờ 31 phút có nhiều hơn hai cuộc gọi.

Phương pháp giải:

- Tính xác suất để có nhiều hơn hai cuộc gọi nên X > 2

- Tính P (X > 2).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\( P\left( {X > 2} \right) \\= P\left( {X = 3} \right) + P\left( {X = 4} \right) + P\left( {X = 5} \right) \\= 0,15 + 0,1 + 0,1 = 0,35 \)

Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 44 (tính chính xác đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải:

- Lập bảng phân bố xác suất của X.

- Áp dụng các công thức:

\(\begin{array}{l} E(X) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + ... + {x_n}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}} \\ V(X) = {\left( {{x_1} - \mu } \right)^2}{p_1} + {\left( {{x_2} - \mu } \right)^2}{p_2} + ... + {\left( {{x_n} - \mu } \right)^2}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \mu } \right)}^2}{p_i}} \\ \sigma (X) = \sqrt {V(X)} \end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: X = {0, 1, 2, 3}

Bảng phân bố xác suất của X là:

Kỳ vọng của X là:

\(E\left( X \right) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + {x_3}{p_3} + {x_4}{p_4} \)

\(= 0.{1 \over 8} + 1.{3 \over 8} + 2.{3 \over 8} + 3.{1 \over 8} = 1,5\)

Phương sai của X là:

\(V\left( X \right) = {\left( {{x_1} - 1,5} \right)^2}{p_1} + {\left( {{x_2} - 1,5} \right)^2}{p_2} \) \(+ {\left( {{x_3} - 1,5} \right)^2}{p_3} + {\left( {{x_4} - 1,5} \right)^2}{p_4} = 0,75\)

Độ lệch chuẩn của X là: \(\sigma \left( X \right) = \sqrt {V\left( X \right)} \approx 0,87\)

Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 45 (tính chính xác đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải:

- Lập bảng phân bố xác suất của X.

- Áp dụng các công thức:

\(\begin{array}{l} E(X) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + ... + {x_n}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}} \\ V(X) = {\left( {{x_1} - \mu } \right)^2}{p_1} + {\left( {{x_2} - \mu } \right)^2}{p_2} + ... + {\left( {{x_n} - \mu } \right)^2}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \mu } \right)}^2}{p_i}} \\ \sigma (X) = \sqrt {V(X)} \end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Bảng phân bố xác suất của X là:

Kỳ vọng của X là :

\(E(X) = 0.0,15 + 1.0,2 + 2.0,3+ 3.0,2 + 4.0,1 + 5.0,05 = 2,05\)

Phương sai :

\(\eqalign{ & V\left( X \right) = {\left( {0 - 2,05} \right)^2}.0,15 + {\left( {1 - 2,05} \right)^2}.0,2+ {\left( {2 - 2,05} \right)^2}.0,3 + {\left( {3 - 2,05} \right)^2}.0,2 \cr & + {\left( {4 - 2,05} \right)^2}.0,1 + {\left( {5 - 2,05} \right)^2}.0,05\approx 1,85 \cr} \)

Độ lệch chuẩn của X là: \(\sigma \left( X \right) = \sqrt {V\left( X \right)} \approx 1,36\)

Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 46 (tính chính xác đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải:

- Lập bảng phân bố xác suất của X.

- Áp dụng các công thức:

\(\begin{array}{l} E(X) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + ... + {x_n}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}} \\ V(X) = {\left( {{x_1} - \mu } \right)^2}{p_1} + {\left( {{x_2} - \mu } \right)^2}{p_2} + ... + {\left( {{x_n} - \mu } \right)^2}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \mu } \right)}^2}{p_i}} \\ \sigma (X) = \sqrt {V(X)} \end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Bảng phân bố xác suất của X là:

Kỳ vọng của X là:

\(E(X) = 0.0,3 + 1.0,2 + 2.0,15 + 3.0,15 + 4.0,1 + 5.0,1 = 1,85\)

Phương sai:

\(\eqalign{ & V\left( X \right) = {\left( {0 - 1,85} \right)^2}.0,3 + {\left( {1 - 1,85} \right)^2}.0,2 + {\left( {2 - 1,85} \right)^2}.0,15 \cr &+ {\left( {3 - 1,85} \right)^2}.0,15 + {\left( {4 - 1,85} \right)^2}.0,1 + {\left( {5 - 1,85} \right)^2}.0,1 \approx 2,83 \cr} \)

Độ lệch chuẩn của X là: \( \sigma = \sqrt {V\left( X \right)} \approx 1,68\)

Chọn ngẫu nhiên 3 đứa trẻ từ một nhóm trẻ gồm 6 trai và 4 gái. Gọi X là số bé gái trong số 3 đứa trẻ được chọn. Lập bảng phân bố xác suất của X.

Phương pháp giải:

- Tìm tập giá trị của X.

- Tính các xác suất để X nhận các giá trị đó.

⇒ Lập bảng phân bố xác suất của X.

Hướng dẫn giải:

Ta có: X = {0, 1, 2, 3}

Xác suất để không có bé gái nào là: \(P\left( {X = 0} \right) = {{C_6^3} \over {C_{10}^3}} = {1 \over 6}\)

Xác suất để có 1 bé gái là: \( P\left( {X = 1} \right) = {{C_4^1C_6^2} \over {C_{10}^3}} = {1 \over 2}\)

Xác suất để có 2 bé gái là: \( P\left( {X = 2} \right) = {{C_4^2C_6^1} \over {C_{10}^3}} = {3 \over {10}}\)

Xác suất để có 3 bé gái là: \( P\left( {X = 3} \right) = {{C_4^3} \over {C_{10}^3}} = {1 \over {30}}\)

Vậy bảng phân bố xác suất là:

Số đơn đặt hàng đến trong một ngày ở một công ty vận tải là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

a) Tính xác suất để số đơn đặt hàng thuộc đoạn [1 ; 4].

b) Tính xác suất để có ít nhất 4 đơn đặt hàng đến công ty đó trong một ngày.

c) Tính số đơn đặt hàng trung bình đến công ty đó trong một ngày.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức P = P₁ +P₂ +P₃ + P₄.

b) Tính \(P\left( {X \ge 4} \right)\).

c) Tính kỳ vọng của X:

\(E(X) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + ... + {x_n}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}} \)

Hướng dẫn giải:

a) Xác suất để số đơn đặt hàng thuộc đoạn [1 ; 4] là:

\(\eqalign{ & P\left( {1 \le X \le 4} \right) \cr&= P\left( {X = 1} \right) + P\left( {X = 2} \right) + P\left( {X = 3} \right) + P\left( {X = 4} \right) \cr & = 0,2 + 0,4 + 0,1 + 0,1 = 0,8 \cr} \)

b) Ta có: 

\(P\left( {X \ge 4} \right) = P\left( {X = 4} \right) + P\left( {X = 5} \right)= 0,1 + 0,1 = 0,2\)

c) Số đơn đặt hàng trung bình đến công ty trong 1 ngày là kỳ vọng của X.

\(E(X) = 0.0,1 + 1.0,2 + 2.0,4 + 3.0,1 + 4.0,1 + 5.0,1 = 2,2\)

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau :

a) Tính P (2 < X < 7).

b) Tính P (X > 5).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: P = P₁ + P₂ + P₃ + ... +P_n 

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\eqalign{ & P\left( {2 < X < 7} \right) \cr&= P\left( {X = 3} \right) + P\left( {X = 4} \right) + P\left( {X = 5} \right) + P\left( {X = 6} \right) \cr & = 0,14 + 0,18 + 0,25 + 0,15 = 0,72 \cr} \)

b) Ta có:

\(\eqalign{ & P\left( {X > 5} \right) \cr&= P\left( {X = 6} \right) + P\left( {X = 7} \right)+ P\left( {X = 8} \right) + P\left( {X = 9} \right) \cr & = 0,15 + 0,07 + 0,04 + 0,01 = 0,27 \cr} \)

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau :

Tính E(X), V(X) và \(σ(X) (tính chính xác đến hàng phần nghìn).

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

\(\begin{array}{l} E(X) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + ... + {x_n}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}} \\ V(X) = {\left( {{x_1} - \mu } \right)^2}{p_1} + {\left( {{x_2} - \mu } \right)^2}{p_2} + ... + {\left( {{x_n} - \mu } \right)^2}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \mu } \right)}^2}{p_i}} \\ \sigma (X) = \sqrt {V(X)} \end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\eqalign{ & E\left( X \right) = 0.{1 \over {28}} + 1.{{15} \over {56}} + 2.{{27} \over {56}} + 3.{3 \over {14}} = 1,875 \cr & V\left( X \right) = {\left( {0 - 1,875} \right)^2}.{1 \over {28}} + {\left( {1 - 1,875} \right)^2}.{{15} \over {56}} \cr&+ {\left( {2 - 1,875} \right)^2}.{{27} \over {56}} + {\left( {3 - 1,875} \right)^2}.{3 \over {14}} \approx 0,609 \cr & \sigma \left( X \right) = \sqrt {V\left( X \right)} \approx 0,781 \cr} \)

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

Tính E(X), V(X) và σ(X) (tính chính xác đến hàng phần nghìn)

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

\(\begin{array}{l} E(X) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + ... + {x_n}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}} \\ V(X) = {\left( {{x_1} - \mu } \right)^2}{p_1} + {\left( {{x_2} - \mu } \right)^2}{p_2} + ... + {\left( {{x_n} - \mu } \right)^2}{p_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \mu } \right)}^2}{p_i}} \\ \sigma (X) = \sqrt {V(X)} \end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\eqalign{ & E\left( X \right) = 15.{3 \over {14}} + 18.{{27} \over {56}} + 21.{{15} \over {56}}+ 24.{1 \over {28}} = 18,375 \cr & V\left( X \right) = {\left( {15 - 18,375} \right)^2}.{3 \over {14}} + {\left( {18 - 18,375} \right)^2}.{{27} \over {56}} \cr & + {\left( {21 - 18,375} \right)^2}.{{15} \over {56}} + {\left( {24 - 18,375} \right)^2}.{1 \over {28}} \approx 5,484 \cr & \sigma \left( X \right) = \sqrt {V\left( X \right)} \approx 2,342 \cr} \)