Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 5: Giới hạn một bên

 Áp dụng định nghĩa giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số, tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \left( {\sqrt {5 - x} + 2x} \right)$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {1 \over {x - 3}}$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {1 \over {x - 3}}$

Phương pháp giải:

- Giới hạn phải:

Giả sử hàm số f xác định định trên khoảng $\left( {{x_o};b} \right)$. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x tiến về $x_0$ nếu mọi dãy $\left( {{x_n}} \right)$ trong khoảng $\left( {{x_o};b} \right)$ mà $\lim{\rm{ }}{x_n} = {x_o}$ ta đều có $\lim{\rm{ (f(}}{x_n})) = L$.

Khi đó, ta viết: $\mathop {\lim}\limits_{x \to x_o^ + } {\rm{f}}\left( x \right) = L$ hoặc ${\rm{f}}\left( x \right) \to L$ khi $x \to x_o^ +$.

- Giới hạn trái

Giả sử hàm số f xác định định trên khoảng $\left( {a;{x_o}} \right)$. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên trái là số thực L khi x tiến về $x_0$ nếu mọi dãy $\left( {{x_n}} \right)$ trong khoảng $\left( {a;{x_o}} \right)$ mà $\lim{\rm{ }}{x_n} = {x_o}$ ta đều có $\lim{\rm{ (f(}}{x_n})) = L$.

Khi đó, ta viết: $\mathop {\lim}\limits_{x \to x_o^ - } {\rm{f}}\left( x \right) = L$ hoặc ${\rm{f}}\left( x \right) \to L$ khi $x \to x_o^ -$.

Hướng dẫn giải:

a) TXĐ: $D = \left[ {1; + \infty } \right)$

Với mỗi dãy $\left( {{x_n}} \right) \subset \left( {1; + \infty } \right)$ mà $\lim {x_n} = 1$ ta có:

$\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \sqrt {{x_n} - 1} = \sqrt {1 - 1} = 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 0.$

b) TXĐ: $D = \left( { - \infty ;5} \right]$

Với mỗi dãy $\left( {{x_n}} \right) \subset \left( { - \infty ;5} \right)$ mà $\lim {x_n} = 5$ ta có:

$\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {\sqrt {5 - {x_n}} + 2{x_n}} \right)= \sqrt {5 - 5} + 2.5 = 10$

Nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right) = 10$.

c) TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$

Với mỗi dãy $\left( {{x_n}} \right) \subset \left( {3; + \infty } \right)$ mà $\lim {x_n} = 3$ ta có:

$\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \dfrac{1}{{{x_n} - 3}} = + \infty$

Vì $\lim 1 = 1 > 0$ và $\left\{ \begin{array}{l}\lim \left( {{x_n} - 3} \right) = 0\\{x_n} > 3 \Rightarrow {x_n} - 3 > 0\end{array} \right.$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{1}{{x - 3}} = + \infty$

d) TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$

Với mỗi dãy $\left( {{x_n}} \right) \subset \left( { - \infty ;3} \right)$ mà $\lim {x_n} = 3$ ta có:

$\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \dfrac{1}{{{x_n} - 3}} = - \infty$

Vì $\lim 1 = 1 > 0$ và $\left\{ \begin{array}{l}\lim \left( {{x_n} - 3} \right) = 0\\{x_n} < 3 \Rightarrow {x_n} - 3 < 0\end{array} \right.$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{1}{{x - 3}} = - \infty$

Tìm các giới hạn sau (nếu có):

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}$

Phương pháp giải:

a) b) Phá dấu giá trị tuyệt đối dựa vào điều kiện của x.

$\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} x\,\,\,\,nếu\,x \ge 0\\ - x\,nếu\,x < 0 \end{array} \right.$

$x \to x_0^ +$ nghĩa là $x \to x_0$ và $x > x_0$.

$x \to x_0^ -$ nghĩa là $x \to x_0$ và $x < x_0$.

c) Điều kiện tồn tại giới hạn:

Hàm số y = f(x) tồn tại giới hạn hữu hạn L tại $x_0$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)=L$

Hướng dẫn giải:

Với mọi x > 2, ta có x - 2 > 0 nên $\left| {x - 2} \right| = x - 2.$ Do đó:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{x - 2} \over {x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 1 = 1$

b) Với mọi x < 2, ta có x - 2 < 0 nên $|x – 2| = 2 – x$. Do đó :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{2 - x} \over {x - 2}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} - 1 = - 1$

c) Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}$

Nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{x + 2\sqrt x } \over {x - \sqrt x }}$

b) $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{4 - {x^2}} \over {\sqrt {2 - x} }}$

c) $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{{x^2} + 3x + 2} \over {\sqrt {{x^5} + {x^4}} }}$

d) $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{\sqrt {{x^2} - 7x + 12} } \over {\sqrt {9 - {x^2}} }}$

Phương pháp giải:

Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử, rút gọn khử dạng vô định và tính giới hạn.

Hướng dẫn giải:

a) Với x > 0, ta có: 

$\displaystyle {{x + 2\sqrt x } \over {x - \sqrt x }} \\= {{\sqrt x \left( \sqrt x + 2 \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} \\= {{\sqrt x + 2} \over {\sqrt x - 1}}$

Do đó:

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{x + 2\sqrt x } \over {x - \sqrt x }} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt x + 2} \over {\sqrt x - 1}}$ $\displaystyle = {2 \over { - 1}} = - 2$

b) Với x < 2, ta có:

$\displaystyle {{4 - {x^2}} \over {\sqrt {2 - x} }} \\= {{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)} \over {\sqrt {2 - x} }}$ $\displaystyle = \left( {x + 2} \right)\sqrt {2 - x}$

Do đó

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{4 - {x^2}} \over {\sqrt {2 - x} }}$ $\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 2} \right)\sqrt {2 - x} = 0$

c) Với mọi $\displaystyle x > -1$, ta có:

$\displaystyle {{{x^2} + 3x + 2} \over {\sqrt {{x^5} + {x^4}} }} \\= {{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {{x^2}\sqrt {x + 1} }}$ $\displaystyle = {{\sqrt {x + 1} \left( {x + 2} \right)} \over {{x^2}}}$

Do đó

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{{x^2} + 3x + 2} \over {\sqrt {{x^5} + {x^4}} }}$ $\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{\sqrt {x + 1} \left( {x + 2} \right)} \over {{x^2}}} = 0$

d) Với $\displaystyle -3 < x < 3$, ta có:

$\displaystyle {{\sqrt {{x^2} - 7x + 12} } \over {\sqrt {9 - {x^2}} }} \\ = {{\sqrt {\left( {3 - x} \right)\left( {4 - x} \right)} } \over {\sqrt {\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)} }}$ $\displaystyle = {{\sqrt {4 - x} } \over {\sqrt {3 + x} }}$

Do đó $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{\sqrt {{x^2} - 7x + 12} } \over {\sqrt {9 - {x^2}} }} = {1 \over {\sqrt 6 }} = {{\sqrt 6 } \over 6}$

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{2\left| x \right| - 1\,\text{ với }\,x \le - 2,} \cr {\sqrt {2{x^2} + 1} \,\text{ với }\,x > - 2.} \cr} } \right.$

Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right)\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right)$ (nếu có).

Phương pháp giải:

Tìm hàm số ứng với điều kiện của x, từ đó tính giới hạn.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right)= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \left( {2\left| x \right| - 1} \right) \cr &= 2\left| { - 2} \right| - 1 = 3 \cr & \mathop {\lim f(x)}\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \sqrt {2{x^2} + 1} = 3 \cr & \text{Vì }\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right)=3\cr &\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = 3. \cr}$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 8} \right|$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^2} + x + 1} \over {{x^2} + 2x}}$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \sqrt {{{{x^3}} \over {{x^2} - 3}}}$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \root 3 \of {{{2x\left( {x + 1} \right)} \over {{x^2} - 6}}}$

e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{\sqrt {1 - {x^3}} - 3x} \over {2{x^2} + x - 3}}$

f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{2\left| {x + 1} \right| - 5\sqrt {{x^2} - 3} } \over {2x + 3}}$

Phương pháp giải:

Thay giá trị của x vào các hàm số suy ra giới hạn.

Hướng dẫn giải:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 8} \right| = \left| {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 8} \right| = 5$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^2} + x + 1} \over {{x^2} + 2x}} = {{{2^2} + 2 + 1} \over {{2^2} + 2.2}} = {7 \over 8}$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \sqrt {{{{x^3}} \over {{x^2} - 3}}} =\sqrt {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - 3}}} = \sqrt {{1 \over 2}} = {{\sqrt 2 } \over 2}$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \root 3 \of {{{2x\left( {x + 1} \right)} \over {{x^2} - 6}}} = \sqrt[3]{{\frac{{2.3\left( {3 + 1} \right)}}{{{3^2} - 6}}}}= \root 3 \of {{{24} \over 3}} = 2$

e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{\sqrt {1 - {x^3}} - 3x} \over {2{x^2} + x - 3}}$

$= \frac{{\sqrt {1 - {{\left( { - 2} \right)}^3}} - 3.\left( { - 2} \right)}}{{2.{{\left( { - 2} \right)}^2} + \left( { - 2} \right) - 3}}$ $= {{3 + 6} \over {8 - 5}} = 3$

f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{2\left| {x + 1} \right| - 5\sqrt {{x^2} - 3} } \over {2x + 3}}$ 

$= \frac{{2\left| { - 2 + 1} \right| - 5\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 3} }}{{2.\left( { - 2} \right) + 3}}$ $= {{2 - 5} \over { - 4 + 3}} = 3$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 2 } {{{x^3} + 2\sqrt 2 } \over {{x^2} - 2}}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{{x^4} - 27x} \over {2{x^2} - 3x - 9}}$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^4} - 16} \over {{x^2} + 6x + 8}}$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\sqrt {1 - x} + x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - {x^3}} }}$

Phương pháp giải:

Phân tích tử và mẫu của phân thức thành nhân tử, khử dạng vô định và tính giới hạn.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 2 } = {{{x^3} + 2\sqrt 2 } \over {{x^2} - 2}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 2 } {{{x^3} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}} \over {{x^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 2 } {{\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {{x^2} - x\sqrt 2 + 2} \right)} \over {\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 2 } {{{x^2} - x\sqrt 2 + 2} \over {x - \sqrt 2 }} \cr & = \frac{{{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} - \left( { - \sqrt 2 } \right).\sqrt 2 + 2}}{{ - \sqrt 2 - \sqrt 2 }}\cr &= {{ - 3\sqrt 2 } \over 2} \cr}$

$\eqalign{ &b) \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{{x^4} - 27x} \over {2{x^2} - 3x - 9}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x\left( {{x^3} - 27} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{x\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{x\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)} \over {2x + 3}} \cr & = \frac{{3\left( {{3^2} + 3.3 + 9} \right)}}{{2.3 + 3}}= 9 \cr}$

$\eqalign{c) & \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^4} - 16} \over {{x^2} + 6x + 8}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 4} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)} \over {x + 4}} \cr & = \frac{{\left( { - 2 - 2} \right)\left( {{{\left( { - 2} \right)}^2} + 4} \right)}}{{ - 2 + 4}}= - 16 \cr}$

$\eqalign{d) & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\sqrt {1 - x} + x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - {x^3}} }} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\sqrt {1 - x} - \left( {1 - x} \right)} \over {{\sqrt {{x^2}\left( {1 - x} \right)} } }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {1 - x} \left( {1 - \sqrt {1 - x} } \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {1 - x} }}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{1 - \sqrt {1 - x} } \over {\left| x \right|}} \cr & = \frac{{1 - \sqrt {1 - 1} }}{{\left| 1 \right|}}= 1 \cr}$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2{x^5} + {x^3} - 1} \over {\left( {2{x^2} - 1} \right)\left( {{x^3} + x} \right)}}}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\sqrt {{x^2} + x + 5} }}$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}}$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1} \right)\sqrt {{x \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}}$

Phương pháp giải:

a) b) c) Chia cả tử và mẫu của phân thức cho lũy thừa bậc cao nhất của x.

d) Đưa thừa số vào trong dấu căn, chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.

Hướng dẫn giải:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2{x^5} + {x^3} - 1} \over {\left( {2{x^2} - 1} \right)\left( {{x^3} + x} \right)}}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt[3]{{\frac{{\frac{{2{x^5} + {x^3} - 1}}{{{x^5}}}}}{{\frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2}}}.\frac{{{x^3} + x}}{{{x^3}}}}}}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2 + {1 \over {{x^2}}} - {1 \over {{x^5}}}} \over {\left( {2 - {1 \over {{x^2}}}} \right)\left( {1 + {1 \over {{x^2}}}} \right)}}} \\=\sqrt[3]{{\frac{{2 + 0 - 0}}{{\left( {2 - 0} \right)\left( {1 + 0} \right)}}}}= 1$

$\eqalign{b) & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\sqrt {{x^2} + x + 5} }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2\left| x \right| + 3}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)} }}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 2x + 3} \over { - x\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }}\cr & =\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2 - {3 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }}= 2 \cr}$

c) ${x^2} + x \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 1\,\text{ hoặc }\,x \ge 0$

Với mọi $x ≤ -1, x \ne - {3 \over 2}$

${{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}} \\ = \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right) + 2x} }}{{2x + 3}} \\= {{\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x}} + 2x} \over {2x + 3}} \\= {{ - x\sqrt {1+ {1 \over x}} + 2x} \over {2x + 3}} \\= {{ - \sqrt {1 + {1 \over x}} + 2} \over {2 + {3 \over x}}}$

Do đó 

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}}$ $=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }{{ - \sqrt {1 + {1 \over x}} + 2} \over {2 + {3 \over x}}}$ $= \frac{{ - 1 + 2}}{{2 + 0}}= {1 \over 2}$

d) 

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1} \right)\sqrt {{x \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{\frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{{x^4}}}}}{{\frac{{2{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^4}}}}}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{{1 \over x} + {2 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}} \over {2 + {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^4}}}}}} \cr & = \sqrt {\frac{{0 + 0 + 0}}{{2 + 0 + 0}}} = 0 \cr}$

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{x^2} - 2x + 3\,\text{ với }\,x \le 2.} \cr {4x - 3\,\text{ với }\,x > 2} \cr} } \right.$

Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\,\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$ (nếu có).

Phương pháp giải:

- Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)$: Thay giá trị của x vào các hàm số suy ra giới hạn.

- So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)$ và đưa kết luận $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {4x - 3} \right) =4.2-3= 5 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - 2x + 3} \right) =2^2-2.2+3= 3 \cr}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$.