Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số
Mời quý thầy cô giáo và các em học sinh cùng tham khảo nội dung giải bài tập SGK bài Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số Toán 11 Nâng cao dưới đây. Tài liệu gồm các bài tập có hướng dẫn giải và đáp án chi tiết sẽ giúp các em vừa ôn tập kiến thức vừa nâng cao kĩ năng giải bài tập đồng thời có kế hoạch học tập cụ thể. Chúc các em học tập thật tốt!
Mục lục nội dung
1. Giải bài 21 trang 151 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} - 3x - 4} \over {x + 1}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {1 \over {\sqrt {5 - x} }}\)
Phương pháp giải:
a) - Rút gọn hàm số đã cho.
- Áp dụng: Nếu \(\lim\, x_n = x_0\), ta có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) =L\)
b) - Tìm TXĐ của hàm số.
- Áp dụng: Nếu \(\lim\, x_n = x_0\), ta có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) =L\)
Hướng dẫn giải:
Với x ≠ -1 ta có \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x - 4} \over {x + 1}} = {{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)} \over {x + 1}} = x - 4\)
Với mọi dãy số (xn) trong khoảng \(\mathbb R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) (tức \(x_n≠ -1, ∀n\)) mà \(\lim\, x_n = -1\) ta có:
\(\lim f\left( x_n \right) = \lim \left( {{x_n} - 4} \right) = - 1 - 4 = - 5\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} - 3x - 4} \over {x + 1}} = - 5\)
b) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {5 - x} }}\) là \(D = (-∞ ; 5)\)
Với mọi dãy (xn) trong khoảng \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}5} \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\) sao cho \(\lim\, x_n = 1\), ta có:
\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim {1 \over {\sqrt {5 - {x_n}} }} = {1 \over 2}\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {1 \over {\sqrt {5 - x} }} = {1 \over 2}\)
2. Giải bài 22 trang 151 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Cho hàm số\(f\left( x \right) = \cos {1 \over x}\) và hai dãy số \(\left( {x{'_n}} \right),\left( {x{"_n}} \right)\) với
\(x_n' = {1 \over {2n\pi }},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x''_n= {1 \over {\left( {2n + 1} \right){\pi \over 2}}}\)
a) Tìm giới hạn của các dãy số \(\left( {x_n'} \right),\left( {x_n"} \right),\left( {f\left( {x_n'} \right)} \right)\) và \(\left( {f\left( {x_n"} \right)} \right)\)
b) Tồn tại hay không \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over x}?\)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính giới hạn:
Với mọi số nguyên dương k, ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0\)
b) So sánh \(\lim f\left( {x{'_n}} \right) \) và \( \lim f\left( {x''{_n}} \right)\) và kết luận.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\eqalign{ & \lim x_n' = \lim {1 \over {2n\pi }} = 0 \cr & \lim x''_n = \lim {1 \over {\left( {2n + 1} \right){\pi \over 2}}} = 0 \cr & \lim f\left( {x{'_n}} \right) = \lim \cos 2n\pi = 1 \cr & \lim f\left( {x{"_n}} \right) = \lim \cos \left( {2n + 1} \right){\pi \over 2} = 0 \cr} \)
b) Do hai dãy \((x'_n)\) và \((x''_n)\) đều tiến đến 0 nhưng \(\lim f\left( {x{'_n}} \right) \ne \lim f\left( {x''{_n}} \right)\) nên theo định nghĩa giới hạn hàm số tại một điểm, không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over x}\).
3. Giải bài 23 trang 152 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2} + 7x + 11} \right)\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - {x^3}} \over {\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left( {1 - {1 \over x}} \right)\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {{\sqrt x - 3} \over {9x - {x^2}}}\)
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right|\)
f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{{{x^4} + 3x - 1} \over {2{x^2} - 1}}} \)
Phương pháp giải:
- Thay x vào hàm số suy ra giới hạn.
- Phân tích mẫu thức thành nhân tử, khử dạng vô định và tính giới hạn (câu d).
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2} + 7x + 11} \right) \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 3{x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 7x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 11 \cr & = {3.2^2} + 7.2 + 11 = 37 \cr} \)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - {x^3}} \over {\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}} \)
\( = \frac{{1 - {1^3}}}{{\left( {2.1 - 1} \right)\left( {{1^4} - 3} \right)}}\) \(= {0 \over { - 2}} = 0\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left( {1 - {1 \over x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 1} \right) = - 1\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {{\sqrt x - 3} \over {9x - {x^2}}} \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {{\sqrt x - 3} \over { - x\left( {x - 9} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{\sqrt x - 3}}{{ - x\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\) \( = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {1 \over {x\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \) \( = - \frac{1}{{9\left( {\sqrt 9 + 3} \right)}}= - {1 \over {54}}\)
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right| \)
\(= \left| {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 4} \right| = \left| { - 1} \right|\) \(= 1\)
f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{{{x^4} + 3x - 1} \over {2{x^2} - 1}}} = \sqrt {{{{2^4} + 3.2 - 1} \over {{{22}^2} - 1}}} = \sqrt 3 \)
4. Giải bài 24 trang 152 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{3{x^2} - x + 7} \over {2{x^3} - 1}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2{x^4} + 7{x^3} - 15} \over {{x^4} + 1}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} - 1}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} - 1}}\)
Phương pháp giải:
- Chia cả tử và mẫu của phân thức cho lũy thừa bậc cao nhất của x.
- Đưa \(x^6\) ra ngoài dấu căn, chú ý \(x \to - \infty \Rightarrow x < 0.\)
Hướng dẫn giải:
\(\eqalign{ &a) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{3{x^2} - x + 7} \over {2{x^3} - 1}}\cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^3}\left( {{3 \over x} - {1 \over {{x^2}}} + {7 \over {{x^3}}}} \right)} \over {{x^3}\left( {2 - {1 \over {{x^3}}}} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{3 \over x} - {1 \over {{x^2}}} + {7 \over {{x^3}}}} \over {2 - {1 \over {{x^3}}}}}\cr & = \frac{{0 - 0 + 0}}{{2 - 0}} = {0 \over 2} = 0 \cr} \)
\(\eqalign{ &b) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2{x^4} + 7{x^3} - 15} \over {{x^4} + 1}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^4}\left( {2 + {7 \over x} - {{15} \over {{x^4}}}} \right)} \over {{x^4}\left( {1 + {1 \over {{x^4}}}} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2 + {7 \over x} - {{15} \over {{x^4}}}} \over {1 + {1 \over {{x^4}}}}} \cr &= \frac{{2 + 0 - 0}}{{1 + 0}}= 2 \cr} \)
\(\eqalign{ &c) \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} - 1}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3}\sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {{x^3}\left( {3 - {1 \over {{x^3}}}} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3 - {1 \over {{x^3}}}}} \cr & = \frac{{\sqrt {1 + 0} }}{{3 - 0}}= {1 \over 3} \cr} \)
d) Với mọi x < 0, ta có:
\({{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} - 1}} \)\(= {{\left| x^3 \right|\sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3{x^3} - 1}} \) \(= {{ - {x^3}\sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3{x^3} - 1}} \) \(= {{ - \sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3 - {1 \over {{x^3}}}}}\)
Do đó :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - \sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3 - {1 \over {{x^3}}}}} = - {1 \over 3}\)
5. Giải bài 25 trang 152 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \root 3 \of {{{{x^2} + 2x} \over {8{x^2} - x + 3}}} \)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt x } \over {{x^2} - x + 2}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho lũy thừa bậc cao nhất của x.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \root 3 \of {{{{x^2} + 2x} \over {8{x^2} - x + 3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \root 3 \of {{{1 + {2 \over x}} \over {8 - {1 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}}} \) \( = \sqrt[3]{{\frac{{1 + 0}}{{8 - 0 + 0}}}}\) \(= {1 \over 2}\)
b) Ta có:
\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt x } \over {{x^2} - x + 2}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt x } \over {{x^2}\left( {1 - {1 \over x} + {2 \over {{x^2}}}} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt x }}{{x.{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}\left( {1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt x \left( {1 - {1 \over x} + {2 \over {{x^2}}}} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{\sqrt x }}.\frac{1}{{1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}}}} \right)= 0 \cr & \text{vì}\;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt x }} = 0\cr &\text{và}\;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {1 - {1 \over x} + {2 \over {{x^2}}}}} = 1 \cr} \)
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 1: Dãy số có giới hạn 0
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 3: Dãy số có giới hạn vô cực
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 5: Giới hạn một bên
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 6: Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 7: Các dạng vô định
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 8: Hàm số liên tục
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Ôn tập chương 4: Giới hạn