Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Giải các phương trình sau:

a) $\sin 4x = \sin {\pi \over 5}$

b) $\sin \left( {{{x + \pi } \over 5}} \right) = - {1 \over 2}$

c) $\cos {x \over 2} = \cos \sqrt 2$

d) $\cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = {2 \over 5}.$

Phương pháp giải:

a) Phương trình sin x = sin a có nghiệm là $x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và $x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

b) Phương trình sinx = a

- Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: $x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và $x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

c) Phương trình cos x = cos a có nghiệm là $x=\pm\arccos a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

d) Phương trình cosx = a

- Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: $x=\pm\arccos a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Hướng dẫn giải:

a) $\sin 4x = \sin {\pi \over 5}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = \frac{\pi }{5} + k2\pi \\ 4x = \pi - \frac{\pi }{5} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{20}} + k\frac{\pi }{2}\\ x = \frac{\pi }{5} + k\frac{\pi }{2} \end{array} \right. \end{array}$

b) Vì $- {1 \over 2} =- \sin {\pi \over 6} = \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right)$ nên

$\sin \left( {{{x + \pi } \over 5}} \right) = - {1 \over 2} \\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{x + \pi } \over 5} = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {{{x + \pi } \over 5} = \pi + {\pi \over 6} + k2\pi } \cr} } \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {{11\pi } \over 6} + k10\pi } \cr {x = {{29\pi } \over 6} + k10\pi } \cr} } \right.\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right)$

c) Ta có:

$\cos {x \over 2} = \cos \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {x \over 2} = \pm \sqrt 2 + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt 2 + k4\pi \,\left( {k \in\mathbb Z} \right)$

d) Vì $0 < {2 \over 5} < 1$ nên có số α sao cho $\cos \alpha = {2 \over 5}.$. Do đó:

$\cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = {2 \over 5} \\ \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = \cos \alpha \\ \Leftrightarrow x = \pm \alpha - {\pi \over {18}} + k2\pi ,k \in \mathbb Z$

a) Vẽ đồ thị của hàm số y = sinx rồi chỉ ra trên đồ thị đó các điểm có hoành độ thuộc khoảng (−π; 4π) là nghiệm của mỗi phương trình sau:

1. $\sin x = - {{\sqrt 3 } \over 2}$

2. sin x = 1

b) Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cosx đối với mỗi phương trình sau:

1. $\cos x = {1 \over 2}$

2. cos x = -1

Phương pháp giải:

a) - Vẽ đồ thị hàm số y = sinx trên khoảng (−π; 4π).

- Phương trình sin x = a

+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

+ Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: $x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và $x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

b) - Vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên khoảng (−π; 4π).

- Phương trình cos x = a

+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

+ Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: $x=\pm\arccos a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Hướng dẫn giải:

a) y = sin x

$1.\,\,\sin x = - {{\sqrt 3 } \over 2} \\\Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - {\pi \over 3}} \right) \\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 3} + k2\pi } \cr {x = {{4\pi } \over 3} + k2\pi } \cr} } \right.$

Với $x = - {\pi \over 3} + k2\pi \,\text{ và }\,x \in \left( { - \pi ;4\pi } \right)$ ta có nghiệm:

${x_1} = - {\pi \over 3};\,{x_2} = {{5\pi } \over 3};\,{x_3} = {{11\pi } \over 3}$

Với $x = {{4\pi } \over 3} + k2\pi \,\text{ và }\,x \in \left( { - \pi ;4\pi } \right)$ ta có nghiệm:

${x_4} = - {{2\pi } \over 3};\,{x_5} = {{4\pi } \over 3};\,{x_6} = {{10\pi } \over 3}$

2. $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k2\pi$

Với $x = {\pi \over 2} + k2\pi \,và\,x \in \left( { - \pi ;4\pi } \right)$ ta có nghiệm:

${x_1} = {\pi \over 2};\,{x_2} = {{5\pi } \over 2}.$

b) y = cos x

Nghiệm của phương trình $\cos x=\dfrac12$ thuộc khoảng (−π; 4π) là:

${x_1} = - {\pi \over 3};\,{x_2} = {\pi \over 3};\,{x_3} = {{5\pi } \over 3};\,{x_4} = {{7\pi } \over 3};\,{x_5} = {{11\pi } \over 3}$

Nghiệm của phương trình cosx = −1 thuộc khoảng (−π; 4π) là:

$x_1=-\pi; \ x_2=\pi; \ x_3=3\pi$

Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho:

a) $\sin 2x = - {1 \over 2}\,\text{ với }\,0 < x < \pi$

b) $\cos \left( {x - 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2}\,\text{ với }\, - \pi < x < \pi$

Phương pháp giải:

a) - Phương trình sin x = a

+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

+ Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: $x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và $x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

- Tìm nghiệm thỏa điều kiện 0 < x < π và kết luận.

b) - Phương trình cos x = a

+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

+ Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: $x=\pm\arccos a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

- Tìm nghiệm thỏa điều kiện -π < x < π và kết luận.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\sin 2x = - {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right) \\\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {2x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi } \cr} } \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over {12}} + k\pi } \cr {x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi } \cr} } \right.\,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)$

Với điều kiện 0 < x < π ta có:

$0 < - {\pi \over {12}} + k\pi < \pi \Leftrightarrow {1 \over {12}} < k < {{13} \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z$

Nên k = 1, khi đó ta có nghiệm $x = {{11\pi } \over {12}}$

$0 < {{7\pi } \over {12}} + k\pi < \pi \Leftrightarrow - {7 \over {12}} < k < {5 \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z$

Nên k = 0, khi đó ta có nghiệm $x = {{7\pi } \over {12}}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng (0; π) là:

$x = {{7\pi } \over {12}}\,\text{ và }\,x = {{11\pi } \over {12}}$

b) Ta có:

$\cos \left( {x - 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2} \\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - 5 = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x - 6 = - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr} } \right. \\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr} } \right.$

Ta tìm k để điều kiện –π < x < π được thỏa mãn.

Xét họ nghiệm thứ nhất:

$\eqalign{ & - \pi < {\pi \over 6} + 5 + k2\pi \Leftrightarrow - 7\pi - 30 < 12k\pi < 5\pi - 30 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} \cr & Vì\, - 1,38 < - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < - 0,37\,,\,k \in\mathbb Z\,\text{ nên }\, \cr & \,\,\,\,\, - 1,38 < k < - 0,37 \cr}$

Chỉ có một giá trị k nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là k = −1.

Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là $x = {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{11\pi } \over 6}$

Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai:

$- \pi < - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi < \pi \\ \Leftrightarrow - 5\pi - 30 < 12k\pi < 7\pi - 30.$

Vậy k = −1

Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là $x = - {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{13\pi } \over 6}$

Vậy $x = 5 - {{11\pi } \over 6}\,\text{ và }\,x = 5 - {{13\pi } \over 6}$

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40˚ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

$d\left( t \right) = 3\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12$ với $t \in Z$ và $0 < t \le 365.$

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

Phương pháp giải:

a) Giải phương trình d(t) = 12 và kết luận.

b) Giải phương trình $\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1$ và kết luận.

c) Giải phương trình $\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1$ và kết luận.

Hướng dẫn giải:

Ta giải phương trình d(t) = 12 với $t \in\mathbb Z$ và 0 < t ≤ 365

Ta có d(t) = 12

$\Leftrightarrow 3\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) + 12 = 12 \\ \Leftrightarrow \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0 \\ \Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi \\ \Leftrightarrow t - 80 = 182k \\ \Leftrightarrow t = 182k + 80\,\left( {\,k \in\mathbb Z} \right)$

Ta lại có:

$0 < 182k + 80 \le 365 \\ \Leftrightarrow - {{80} \over {182}} < k \le {{285} \over {182}} \\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{k = 0} \cr {k = 1} \cr} } \right.$

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 (ứng với k = 0 ) và ngày thứ 262 (ứng với k = 1 ) trong năm.

b) Do $\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) \ge - 1 \Rightarrow d\left( t \right) \le 3.\left( { - 1} \right) + 12 = 9$ với mọi x

Vậy thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi:

$\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1 \text{ với } \,t \in \mathbb Z\,\text { và }\,0 < t \le 365$

$\Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = - {\pi \over 2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow t - 80 = 182\left( { - \frac{1}{2} + 2k} \right) \\ \Leftrightarrow t = 364k - 11\,\left( {\,k \in\mathbb Z} \right)$

Mặt khác, $0 < 364k - 11 \le 365 \Leftrightarrow {{11} \over {364}} < k \le {{376} \over {364}} \Leftrightarrow k = 1$ (do k nguyên)

Vậy thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất (9 giờ) khi t = 353, tức là vào ngày thứ 353 trong năm.

c) Vì $\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 1 \Rightarrow d\left( t \right) \le 3.1 + 12 = 15$ 

Nên d(t) đạt GTLN khi $\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) = 1$

Ta phải giải phương trình:

$\eqalign{ & \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1\cr &\text{ với }\,t \in\mathbb Z\,\text{ và }\,0 < t \le 365 \cr & \Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = {\pi \over 2} + k2\pi \cr&\Leftrightarrow t = 364k + 171 \cr & 0 < 364k + 171 \le 365 \cr&\Leftrightarrow - {{171} \over {364}} < k \le {{194} \over {364}} \Leftrightarrow k = 0 \cr}$

Vậy thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ( 15 giờ) vào ngày thứ 171 trong năm.

Giải các phương trình sau:

a) $\tan 3x = \tan {{3\pi } \over 5}$

b) $\tan(x – 15^0) = 5$

c) $\tan \left( {2x - 1} \right) = \sqrt 3$

d) $\cot 2x = \cot \left( { - {1 \over 3}} \right)$

e) $\cot \left( {{x \over 4} + 20^\circ } \right) = - \sqrt 3$

f) $\cot 3x = \tan {{2\pi } \over 5}$

Phương pháp giải:

- Phương trình tanx = tan⁡ α có nghiệm là x = α + kπ, k ∈ Z

- Phương trình tan⁡x = tan⁡ β^o có nghiệm là x= β^o + k180^o,  k ∈ Z

Hướng dẫn giải:

a) $\tan 3x = \tan {{3\pi } \over 5}$

$\\ \Leftrightarrow 3x = {{3\pi } \over 5} + k\pi$

$\Leftrightarrow x = {\pi \over 5} + k{\pi \over 3},k \in\mathbb Z$

b) Ta có:

$\begin{array}{l} \tan \left( {x - {{15}^0}} \right) = 5\\ \Leftrightarrow x - {15^0} = \arctan 5 + k{180^0}\\ \Leftrightarrow x = {15^0} + \arctan 5 + k{180^0},k \in\mathbb Z \end{array}$

c) $\tan \left( {2x - 1} \right) = \sqrt 3$

$\eqalign{ & \tan \left( {2x - 1} \right) = \sqrt 3 \cr&\Leftrightarrow \tan \left( {2x - 1} \right) = \tan {\pi \over 3} \cr & \Leftrightarrow 2x - 1 = {\pi \over 3} + k\pi \cr&\Leftrightarrow x = {\pi \over 6} + {1 \over 2} + k{\pi \over 2};k \in\mathbb Z \cr}$

d) $\cot 2x = \cot \left( { - {1 \over 3}} \right)$

$\cot 2x = \cot \left( { - {1 \over 3}} \right) \\ \Leftrightarrow 2x = - {1 \over 3} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = - {1 \over 6} + k{\pi \over 2},k \in\mathbb Z$

e) $\cot \left( {{x \over 4} + 20^\circ } \right) = - \sqrt 3$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \cot \left( {{x \over 4} + 20^\circ } \right) = \cot \left( { - 30^\circ } \right) \cr & \Leftrightarrow {x \over 4} + 20^\circ = - 30^\circ + k180^\circ \cr&\Leftrightarrow x = - 200^\circ + k720^\circ,k \in\mathbb Z \cr}$

f) $\cot 3x = \tan {{2\pi } \over 5}$

$\Leftrightarrow \cot 3x = \cot \left( {{\pi \over 2} - {{2\pi } \over 5}} \right) = \cot \frac{\pi }{{10}} \\ \Leftrightarrow 3x = {\pi \over {10}} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = {\pi \over {30}} + k.{\pi \over 3},k \in\mathbb Z$

Vẽ đồ thị của hàm số y = tan x rồi chỉ ra trên đồ thị đó có các điểm có hoành độ thuộc khoảng (-π ; π) là nghiệm của mỗi phương trình sau

1. tan x = -1

2. tan x = 0

Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cot x và cho mỗi phương trình sau

1. $\cot x = {{\sqrt 3 } \over 3}$

2. cot x = 1

Phương pháp giải:

a) Vẽ đồ thị hàm số y = tan x trên khoảng (-π ; π) và tìm nghiệm của mỗi phương trình dựa trên đồ thị đó.

b) Vẽ đồ thị hàm số y = cot x trên khoảng (-π ; π) và tìm nghiệm của mỗi phương trình dựa trên đồ thị đó.

Hướng dẫn giải:

a) Đồ thị của hàm số y = tan x

1. Phương trình tan x = -1 có nghiệm thuộc khoảng (-π; π) là:

$x = - {\pi \over 4}\,\text{ và }\,x = {{3\pi } \over 4}$

2. Phương trình tan x = 0 có nghiệm thuộc khoảng (-π; π) là x = 0

b) Đồ thị của hàm số y = cot x

1. Phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-π; π) là:

$x = {\pi \over 3}\,\text{ và }\,x = - {{2\pi } \over 3}$

2. Phương trình cot x = 1 có nghiệm thuộc khoảng (-π; π) là:

$x = {\pi \over 4}\,\text{ và }\,x = - {{3\pi } \over 4}$

Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho:

a) $\tan \left( {2x - {{15}^0}} \right) = 1$ với $- {180^0} < x < {90^0}$

b) $\cot 3x = - {1 \over {\sqrt 3 }}\,\text{ với }\, - {\pi \over 2} < x < 0.$

Phương pháp giải:

a) Phương trình tan x = tan⁡ α có nghiệm là x = α + kπ, k ∈ Z

b) Phương trình tan ⁡x = tan⁡ β^o có nghiệm là x= β^o + k180^o,  k ∈ Z

Hướng dẫn giải:

a) $\tan \left( {2x-{{15}^0}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow 2x - {15^0} = {45^0} + k{180^0} \\ \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }} = {\rm{ }}{15^0} + {\rm{ }}{45^0} + {\rm{ }}k{180^0} \\ \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}{30^0} + {\rm{ }}k{90^0} \\ - {180^0} < {\rm{ }}{30^0} + {\rm{ }}k{90^0} < {\rm{ }}{90^0} \\ \begin{array}{l} \Leftrightarrow - {210^0} < k{90^0} < {60^0}\\ \Leftrightarrow - \frac{7}{3} < k < \frac{2}{3} \end{array}$

$\Leftrightarrow k \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}$ (do k nguyên)

Vậy các nghiệm của phương trình là $x = - {150^0},{\rm{ }}x{\rm{ }} = - {60^0}$ và $x{\rm{ }} = {\rm{ }}{30^0}$

b) $\cot 3x = - {1 \over {\sqrt 3 }}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cot 3x = \cot \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\\ \Leftrightarrow 3x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{9} + \frac{{k\pi }}{3} \end{array}$

Do $- {\pi \over 2} < x < 0$ nên:

$\begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} < - \frac{\pi }{9} + \frac{{k\pi }}{3} < 0\\ \Leftrightarrow - \frac{{11\pi }}{{18}} < \frac{{k\pi }}{3} < \frac{\pi }{9}\\ \Leftrightarrow - \frac{{11}}{6} < k < \frac{1}{3} \end{array}$

Vì k nguyên nên k = -1, k = 0.

Vậy các nghiệm của phương trình là $x = - {{4\pi } \over 9}\,\text{ và }\,x = - {\pi \over 9}.$

Khi giải phương trình $\tan x = - \sqrt 3$; bạn Phương nhận thấy $- \sqrt 3 = \tan \left( { - {\pi \over 3}} \right)$ và viết

$\tan x = - \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( { - {\pi \over 3}} \right) \\ \Leftrightarrow x = - {\pi \over 3} + k\pi.$

Cũng phương trình đó, bạn Quyên lấy $- \sqrt 3 = \tan {{2\pi } \over 3}$ nên giải như sau:

$\tan x = - \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \tan x = \tan {{2\pi } \over 3} \\ \Leftrightarrow x = {{2\pi } \over 3} + k\pi.$

Theo em, ai giải đúng, ai giải sai?

Phương pháp giải:

- Phương trình tan x = tan⁡ α có nghiệm là x = α + kπ, k ∈ Z.

- Kiểm tra cách giải của hai bạn và trả lời câu hỏi.

Hướng dẫn giải:

Cả hai bạn đều giải đúng.

Hai họ nghiệm chỉ khác nhau về hình thức, thực chất chỉ là một.

Họ nghiệm $x = {{2\pi } \over 3} + k\pi$ có thể viết lại là $x = {{2\pi } \over 3} - \pi + \left( {k + 1} \right)\pi$ hay $x = - {\pi \over 3} + \left( {k + 1} \right)\pi$

Tính các góc của tam giác ABC, biết $AB = \sqrt 2 cm, AC =\sqrt 3 cm$ và đường cao AH = 1cm. (Gợi ý: Xét trường hợp B, C nằm khác phía đối với H và trường hợp B, C nằm cùng phía đối với H ).

Phương pháp giải:

Xét hai trường hợp:

+ B, C nằm khác phía đối với H.

+ B, C nằm cùng phía đối với H.

Hướng dẫn giải:

Ta xét hai trường hợp:

a) B và C nằm khác phía đối với H

Trong tam giác vuông ABH ta có:

$\sin B = {{AH} \over {AB}} = {1 \over {\sqrt 2 }}$

Suy ra $\widehat B = 45^\circ$ (chú ý rằng góc B nhọn)

Trong tam giác ACH ta có:

$\sin C = {{AH} \over {AC}} = {1 \over {\sqrt 3 }}$, suy ra $\widehat C \approx 35^\circ 15'52$

Từ đó $\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) \approx 99^\circ 44'8$

b) B và C nằm cùng phía đối với H:

Tương tự như trên ta có:

$\sin \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {ABH} = {45^0}$

$\eqalign{ & \widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {ABH} \cr&= 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \cr } \\ \sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {ACH} = {35^0}15'52''$

Từ đó $\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) \approx 9^\circ 44'8$

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) $y = {{1 - \cos x} \over {2\sin x + \sqrt 2 }}$

b) $y = {{\sin \left( {x - 2} \right)} \over {\cos 2x - \cos x}}$

c) $y = {{\tan x} \over {1 + \tan x}}$

d) $y = {1 \over {\sqrt 3 \cot 2x + 1}}$

Phương pháp giải:

a) b) Phân thức xác định khi mẫu số khác không.

c) - Phân thức xác định khi mẫu số khác không.

- $\tan x$ xác định khi $\cos x \ne 0$

d) - Phân thức xác định khi mẫu số khác không.

- $\cot 2x$ xác định khi $\sin2x \ne 0$

Hướng dẫn giải:

a) $y = {{1 - \cos x} \over {2\sin x + \sqrt 2 }}$ 

Điều kiện xác định: $2\sin x + \sqrt 2 \ne 0$

$\Leftrightarrow \sin x \ne - {{\sqrt 2 } \over 2}$

$\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x \ne - {\pi \over 4} + k2\pi } \cr {x \ne {{5\pi } \over 4} + k2\pi } \cr} } \right.$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là:

$D =\mathbb R \backslash \left( {\left\{ { - {\pi \over 4} + k2\pi,k \in\mathbb Z} \right\} \cup \left\{ {{{5\pi } \over 4} + k2\pi,k \in\mathbb Z} \right\}} \right)$

b) $y = {{\sin \left( {x - 2} \right)} \over {\cos 2x - \cos x}}$ 

Điều kiện xác định: $\cos 2x - \cos x \ne 0$

$\eqalign{& \Leftrightarrow \cos 2x \ne \cos x \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x \ne x + k2\pi } \cr {2x \ne - x + k2\pi } \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x \ne k2\pi } \cr {x \ne k{{2\pi } \over 3}} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow x \ne k{{2\pi } \over 3} \cr}$

Vậy $D =\mathbb R \backslash \left\{ {k{{2\pi } \over 3},k \in\mathbb Z} \right\}$

c) $y = {{\tan x} \over {1 + \tan x}}$

Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\ 1 + \tan x \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\ \tan x \ne - 1 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x \ne {\pi \over 2} + k\pi } \cr {x \ne - {\pi \over 4} + k\pi } \cr} } \right.$

Vậy $D =\mathbb R \backslash \left( {\left\{ {{\pi \over 2} + k\pi,k \in\mathbb Z} \right\} \cup \left\{ { - {\pi \over 4} + k\pi,k \in\mathbb Z} \right\}} \right)$

d) $y = {1 \over {\sqrt 3 \cot 2x + 1}}$

Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{array}{l} 2x \ne k\pi \\ \sqrt 3 \cot 2x + 1 \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{{k\pi }}{2}\\ \cot 2x \ne - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{{k\pi }}{2}\\ 2x \ne - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{{k\pi }}{2}\\ x \ne - \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2} \end{array} \right.$

Vậy $D =\mathbb R \backslash \left( {\left\{ {k{\pi \over 2},k \in\mathbb Z} \right\} \cup \left\{ { - {\pi \over 6} + k{\pi \over 2},k \in\mathbb Z} \right\}} \right)$

Giả sử một con tàu vũ trụ được phóng lên từ mũi Ca-na-vơ-ran (Canaveral) ở Mĩ. Nó chuyển động theo một quỹ đạo được mô tả trên một bản đồ phẳng (quanh đường xích đạo) của mặt đất như hình 1.23: điểm M mô tả cho con tàu, đường thẳng ∆ mô tả cho đường xích đạo.

Khoảng cách h (kilomet) từ M đến ∆ được tính theo công thức h = |d|, trong đó:

$d = 4000\cos \left[ {{\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right)} \right],$

Với t (phút) là thời gian trôi qua kể từ khi con tàu đi vào quỹ đạo, d > 0 nếu M ở phía trên ∆, d < 0 nếu M ở phía dưới ∆.

a) Giả thiết rằng con tàu đi vào quỹ đạo ngay từ khi phóng lên tại mũi Ca-na-vơ-ran (tức là ứng với t = 0 ). Hãy tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng ∆, trong đó C là điểm trên bản đồ biểu diễn cho mũi Ca-na-vơ-ran.

b) Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = 2000.

c) Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = -1236.

(Tính chính xác các kết quả đến hàng phần nghìn).

Phương pháp giải:

a) Thay t = 0 vào $d = 4000\cos \left[ {{\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right)} \right]$ để tính d.

b) Thay d = 2000 vào $d = 4000\cos \left[ {{\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right)} \right]$ để tính t.

c) - Thay d = -1236 vào $d = 4000\cos \left[ {{\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right)} \right]$ để tính t.

- Chọn t bé nhất và kết luận.

Hướng dẫn giải:

a) Vì t = 0 nên $d = 4000\cos \left( { - {{10\pi } \over {45}}} \right) = 4000\cos {{2\pi } \over 9}.$

Do đó:

 h = |d| ≈ 3064,178 (km)

b) Ta có:

$\eqalign{& d = 2000 \cr&\Leftrightarrow 4000\cos \left[ {{\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right)} \right] = 2000\cr&\Leftrightarrow \cos \left[ {{\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right)} \right] = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow {\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right) = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \cr&\Leftrightarrow t = 10 \pm 15 + 90k \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 25 + 90k} \cr {t = - 5 + 90k} \cr} } \right. \cr}$

Chú ý rằng t > 0 ta thấy ngay giá trị nhỏ nhất của t là t = 25.

Vậy d = 2000 (km) xảy ra lần đầu tiên sau khi phóng con tàu vào quỹ đạo được 25 phút.

c) Ta có:

$\eqalign{ & d = - 1236\cr& \Leftrightarrow 4000\cos \left[ {{\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right)} \right] = - 1236 \cr&\Leftrightarrow \cos \left[ {{\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right)} \right] = - 0,309 \cr & \Leftrightarrow {\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right) = \pm \alpha + k2\pi \cr&\left( {\text{ với }\,k \in \mathbb Z\,\text{ và }\,\cos \alpha = - 0,309} \right) \cr & \Leftrightarrow t = \pm {{45} \over \pi }\alpha + 10 + 90k \cr}$

Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta có thể chọn α ≈ 1,885. Khi đó ta có:

 t ≈ ± 27000 + 10 + 90k, tức là t ≈ - 17000 + 90k hoặc t ≈ 37000 + 90k

Dễ thấy giá trị dương nhỏ nhất của t là 37000.

Vậy d = -1236 (km) xảy ra lần đầu tiên là 37000 phút sau khi con tàu được phóng vào quỹ đạo. 

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m; trục của nó đặt cách mặt nước 2m (h.1.24). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) từ một chiếc gầu gắntại điểm A của guồng đến mặt nước được tính theo công thức h = |y|, trong đó $y = 2 + 2,5\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right]$

Với x là thời gian quay guồng ( x ≥ 0 ), tính bằng phút ; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở bên trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới nước (xem bài đọc thêm về dao động điều hòa trang 15). Hỏi:

a) Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất?

b) Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất?

c) Chiếc gầu cách mặt nước 2m lần đầu tiên khi nào?

Phương pháp giải:

a) Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất khi $\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = - 1$

⇒ Giải phương trình tìm x và kết luận.

b) Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi $\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = 1$.

⇒ Giải phương trình tìm x và kết luận.

c) - Thay y = 2 vào $y = 2 + 2,5\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right]$

- Tìm x vfa kết luận giá trị x bé nhất.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] \ge - 1 \Rightarrow y \ge 2 + 2,5.\left( { - 1} \right) = - 0,5$

Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất khi $\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = - 1$.

Ta có:

$\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = - 1 \\ \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right) = - {\pi \over 2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x - \frac{1}{4} = - \frac{1}{4} + k \\ \Leftrightarrow x = k\,\left( {\,k \in\mathbb Z} \right)$

Điều đó chứng tỏ rằng chiếc gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0 phút; 1 phút; 2 phút; 3 phút…

b) Ta có:

$\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] \le 1 \Rightarrow y \le 2 + 2,5.1 = 4,5$

Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi $\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = 1$.

Ta có:

$\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = 1 \\ \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right) = {\pi \over 2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + k \\ \Leftrightarrow x = {1 \over 2} + k\,\left( {\,k \in N} \right)$

Điều đó chứng tỏ chiếc gàu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0,5 phút; 1,5 phút ; 2,5 phút ; 3,5 phút …

c) Chiếc gàu cách mặt nước 2 mét khi:

$\begin{array}{l} 2 + 2,5\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] = 2\\ \Leftrightarrow 2,5\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = k\pi \\ \Leftrightarrow x - \frac{1}{4} = \frac{k}{2}\\ \Leftrightarrow x = \frac{k}{2} + \frac{1}{4} \end{array}$

Nghĩa là tại các thời điểm $x = {1 \over 4} + {1 \over 2}k$ (phút) thì chiếc gầu cách mặt nước 2m;

Do đó lần đầu tiên nó cách mặt nước 2 mét khi quay được ${1 \over 4}$ phút (ứng với k = 0 ). 

Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, giải các phương trình sau:

a) $\cos 3x = \sin 2x$

b) $\sin (x – 120˚) – \cos 2x = 0$

Phương pháp giải:

a) Biến đổi phương trình phương trình bằng cách áp dụng công thức: $\sin \alpha = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)$.

b) Biến đổi phương trình phương trình bằng cách áp dụng công thức: $\sin \alpha = \cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right)$

Hướng dẫn giải:

a) $\cos 3x = \sin 2x$

$\eqalign{& \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\cr&\Leftrightarrow \cos 3x - \cos \left( {{\pi \over 2} - 2x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow - 2\sin \left( {\frac{{3x + \frac{\pi }{2} - 2x}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{3x - \frac{\pi }{2} + 2x}}{2}} \right) = 0\cr&\Leftrightarrow - 2\sin \left( {{x \over 2} + {\pi \over 4}} \right)\sin \left( {{{5x} \over 2} - {\pi \over 4}} \right) = 0 \cr}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\ \sin \left( {\frac{{5x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{x \over 2} + {\pi \over 4} = k\pi } \\ {{{5x} \over 2} - {\pi \over 4} = k\pi } \cr} } \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 2} + k2\pi } \\ {x = {\pi \over {10}} + k{{2\pi } \over 5}} } } \right.,k\in Z$

b) $\sin (x – 120˚) – \cos 2x = 0$

$\eqalign{& \Leftrightarrow \cos \left( {{{90}^0} - x + {{120}^0}} \right) - \cos 2x = 0\cr&\Leftrightarrow \cos \left( {210^\circ - x} \right) - \cos 2x = 0 \cr & \Leftrightarrow - 2\sin \left( {\frac{{{{210}^0} - x + 2x}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{{{210}^0} - x - 2x}}{2}} \right) = 0\cr&\Leftrightarrow - 2\sin \left( {{x \over 2} + 105^\circ } \right)\sin \left( {105^\circ - {{3x} \over 2}} \right) = 0 \cr}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin \left( {\frac{x}{2} + {{105}^0}} \right) = 0\\ \sin \left( {{{105}^0} - \frac{{3x}}{2}} \right) = 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{x \over 2} + 105^\circ = k180^\circ } \\ {105^\circ - {{3x} \over 2} = k180^\circ } \cr} } \right. \\\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - 210^\circ + k360^\circ } \\ {x = 70^\circ - k120^\circ } \cr} } \right.,k\in Z$