Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n \in N^*\) )

a) \(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}\);

b) \(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right)\).

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*} \), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt vế trái bằng \( {S_n}\). Kiểm tra với n = 1, hệ thức đúng.

Giả sử đã có \({S_k} = \dfrac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2}\) với \(k \ge 1\). Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}\).

Thật vậy

\( {S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 1 \\= \dfrac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2} + 3k + 2 \\= \dfrac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}\\ = \dfrac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2} {\rm{ }} \\ =\dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}\)

Vậy \(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}\).

b) Đặt \({S_n} = 3 + 9 + 27 + ... + {3^n} \).

Với n = 1 thì \({S_1} = 3 = \dfrac{1}{2}\left( {{3^2} - 3} \right)\) nên đúng.

Giả sử có \({S_k} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right) , k \ge 1 \). Ta chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 2}} - 3} \right) \).

Thật vậy:

\( {S_{k + 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right) + {3^{k + 1}} = \dfrac{3}{2}{.3^{k + 1}} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 2}} - 3} \right) .\)

Vậy \(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right)\).

Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n \in N^* \))

a) \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \dfrac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3}\);

b) \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\).

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt vế trái bằng \({S_n}\).

+) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng \(\dfrac{{1\left( {4.1 - 1} \right)}}{3} = 1\).

+) Giả sử đã có \({S_k} = \dfrac{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3} \) với \(k \ge 1. \)

Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}\)

Thật vậy, ta có

\( {S_{k + 1}} = {S_k} + {\left[ {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right]^2} \\= {S_k} + {\left( {2k + 1} \right)^2} {\rm{ = }}\dfrac{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3} + {\left( {2k + 1} \right)^2} \\= \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k - 1} \right) + 3\left( {2k + 1} \right)} \right]}}{3} {\rm{ = }}\dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 5k + 3} \right)}}{3} \\= \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{3} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}\)

Vậy \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \dfrac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3}\).

b) Đặt vế trái bằng \({A_n}\).

+) Dễ thấy với n = 1, hệ thức đúng.

+) Giả sử đã có \({A_k} = \dfrac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4},\left( {k \ge 1} \right)\).

Ta có:

\({A_{k + 1}} = {A_k} + {\left( {k + 1} \right)^3} \\= \dfrac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4} + {\left( {k + 1} \right)^3} {\rm{ }}\\ =\dfrac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)}}{4} \\ = \dfrac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\)

Vậy \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\).

Chứng minh rằng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta có

a) \(2{n^3} - 3{n^2} + n\) chia hết cho 6.

b) \( {11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}} \) chia hết cho 133.

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*} \), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt \({B_n} = 2{n^3} - 3{n^2} + n\)

+) Với n = 1 ta có: \({B_1} = 0 \ \vdots \ 6\)

+) Giả sử đã có \({B_k} = 2{k^3} - 3{k^2} + k\) chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh \({B_{k + 1}} = 2{\left( {k + 1} \right)^3} - 3{\left( {k + 1} \right)^2} + k + 1\) chia hết cho 6.

Thật vậy,

\(2{\left( {k + 1} \right)^3} - 3{\left( {k + 1} \right)^2} + k \\= 2.\left( {{k^3} + 3{k^2} + 3k + 1} \right) - 3\left( {{k^2} + 2k + 1} \right) + k + 1 \\ = \left( {2{k^3} - 3{k^2} + k} \right) + 6{k^2} \ \vdots \ 3 \)

(do \(2{k^3} - 3{k^2} + k \ \vdots \ 3, 6{k^2} \ \vdots \ 3 \))

Vậy ​\(2{n^3} - 3{n^2} + n\) chia hết cho 6.

​b) Đặt \({A_n} = {11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\). Dễ thấy \({A_1} = 133\), chia hết cho 133.

Giả sử đã có \({A_k} = {11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\) chia hết cho 133.

Ta có 

\({A_{k + 1}} = {11^{k + 2}} + {12^{2k + 1}} \\= {11.11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}{.12^2} \\=11{\rm{.1}}{{\rm{1}}^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\left( {11 + 133} \right) \\= 11.{A_k} + {133.12^{2k - 1}}\)

Vì \({A_k} \ \vdots \ 133\) nên \({A_{k + 1}}\ \ \vdots \ 133\).

Vậy \( {11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}} \) chia hết cho 133.

Chứng minh các bất đẳng thức sau \(( n \in N^* )\)

a) \( {2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }};\)

b) \({\sin ^{2n}}\alpha + {\cos ^{2n}}\alpha \le 1. \)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*} \), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Với n = 1 thì \({2^{1 + 2}} = 8 > 7 = 2.1 + 5\).

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k \ge 1\), tức là \({2^{k + 2}} > 2k + 5{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1, tức là \({2^{k + 3}} > 2\left( {k + 1} \right) + 5\) hay \({2^{k + 3}} > 2k + 7{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

\( {2^{k + 3}} > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3.\)

Vì 2k + 3 > 0 nên \({2^{k + 3}} > 2k + 7\). 

Vậy \( {2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }}.\)

b) Với n = 1 thì \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\), bất đẳng thức đúng.

Giả sử đã có \( {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\) với \(k \ge 1\), ta phải chứng minh \({\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \le 1\)

Thật vậy, ta có

\( {\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \\= {\sin ^{2k}}\alpha .{\sin ^2}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha .{\cos ^2}\alpha \le {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\)

Vậy \({\sin ^{2n}}\alpha + {\cos ^{2n}}\alpha \le 1. \)

Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có

a) \({2^n} > 2n + 1 \);

b) \( {2^n} > {n^2} + 4n + 5 \);

c) \( {3^n} > {2^n} + 7n \)

Phương pháp giải:

Dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \ge a\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = a .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1 .

Hướng dẫn giải:

a) Dùng phép thử với n = 1, 2, 3, 4 ta dự đoán: Với \(n \ge 3\) thì bất đẳng thức đúng.

Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.

+) Với n = 3, hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì \({2^3} = 8 > 2.3 + 1 = 7\).

+) Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là \({2^k} > 2k + 1{\rm{ (1)}}\)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là

\( {2^{k + 1}} > 2k + 3{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được:

\( {2^{k + 1}} > 4k + 2 = 2k + 3 + 2k - 1 > 2k + 3. \)

Vậy với \(n \ge 3\) thì bất đẳng thức đúng.

b) Dùng phép thử với n = 1, 2, 3,..., 7, 8 ta dự đoán: Với \(n \ge 7\) thì bất đẳng thức đúng.

Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.

+) Với n = 7, hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì \( {2^7}=128 > {7^2} + 4.7 + 5 =82\)

+) Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là \( {2^k} > {k^2} + 4k + 5 \) (1)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là

\( {2^{k+1}} > {(k+1)^2} + 4(k+1) + 5 =k^2+6k+10\) (2)

Thậy vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được:;

 \( {2^{k+1}} > 2{k^2} + 8k + 10= k^2+6k+10+k^2+2k>k^2+6k+10\)

Vậy với \(n \ge 7\) thì bất đẳng thức đúng.

c) Với n = 0,1,2,3 thì bất đẳng thức không đúng.

Với n = 4,5,... thì ta thấy bất đẳng thức đúng.

Dự đoán \({3^n} > {2^n} + 7,\forall n \ge 4 \).

Thật vậy, với n = 4 thì \(VT = {3^4} > {2^4} + 7.4 = VP \).

Giả sử bđt đúng với \(n = k \ge 4 \), nghĩa là \({3^k} > {2^k} + 7k\,\,\left( 1 \right) \).

Ta cần chứng minh \({3^{k + 1}} > {2^{k + 1}} + 7\left( {k + 1} \right) \).

Nhân của hai vế của (1) với 3 ta được 

\({3.3^k} > {3.2^k} + 21k \\ \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > {3.2^k} + 21k > {2.2^k} + 7k + 14k > {2.2^k} + 7k + 7 = {2^{k + 1}} + 7\left( {k + 1} \right)\)

Vậy \(n \ge 4\).

Cho tổng \({S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}\).

a) Tính \({S_1},S{_2},{S_3},{S_4}\)

b) Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Phương pháp giải:

a) Thay các giá trị n = 1,2,3,4 tính các số hạng.

b) Ta có thể dự đoán \({S_n} = \dfrac{n}{{4n + 1}}\).

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*} \), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \({S_1} = \dfrac{1}{{1.5}} = \dfrac{1}{5}\)

\( {S_2} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} = \dfrac{2}{9}\)

\( {S_3} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} = \dfrac{3}{{13}}\)

\( {S_4} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + \dfrac{1}{{13.17}} = \dfrac{4}{{17}}\)

Vậy \({S_1} = \dfrac{1}{5},{S_2} = \dfrac{2}{9},{S_3} = \dfrac{3}{{13}},{S_4} = \dfrac{4}{{17}}\).

b) Viết lại \(S_1 = \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{{4.1 + 1}}, {S_2} = \dfrac{2}{9} = \dfrac{2}{{4.2 + 1}}, {S_3} = \dfrac{3}{{4.3 + 1}},{S_4} = \dfrac{4}{{4.4 + 1}}\).

Ta có thể dự đoán \({S_n} = \dfrac{n}{{4n + 1}}\).

Chứng minh :

Với n = 1 thì \({S_1} = \dfrac{1}{5}\) đúng.

Giả sử {S_n} đúng với n = k , nghĩa là {S_k} = \dfrac{k}{{4k + 1}} .

Ta cần chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}\)

Thật vậy

 \({S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4k - 3} \right)\left( {4k + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{\left[ {4\left( {k + 1} \right) - 3} \right].\left[ {4\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}\)

\( = \dfrac{k}{{4k + 1}} + \dfrac{1}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\\ = \dfrac{{k\left( {4k + 5} \right) + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}} \\= \dfrac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\)

\( = \dfrac{{\left( {4k + 5} \right)\left( {k + 1} \right)}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\\ = \dfrac{{k + 1}}{{4k + 5}}\\ = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Xét mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right) :” {10^{n - 1}} < n + 2017 \) với \( n \in {\mathbb{N}^*} ”\). Bằng phép thử ta có \(P\left( 1 \right),P\left( 2 \right),P\left( 3 \right),P\left( 4 \right)\) là đúng. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số chẵn \(n \le 4\)

B. \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số lẻ \(n \le 4\)

C. \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số n

D. \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số \(n \le 4\)

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng đáp án, chỉ ra phản ví dụ cho đáp án sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A, B, D đúng do các phép thử đúng.

Đáp án C sai vì \(P\left( 5 \right)\) là mệnh đề \(“ {10^{5 - 1}} < 5 + 2017 ”.\) Mệnh đề này sai vì \({10^4} = 10000 > 2022 \).

Chọn C.

Đặt \({S_n} = \underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } }_{n\,dấu\,căn} \). Giả sử hệ thức \({S_n} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}\) là đúng với \(n = k \ge 1 \).

Để chứng minh hệ thức trên cũng đúng với n = k + 1 , ta phải chứng minh \({S_{k + 1}}\) bằng:

A. \({S_n} = \underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } }_{k + 1\,dấu\,căn}\)

B. \(2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 2}}}}\)

C. \(2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}\)

D. \(\sqrt {2 + {S_k}}\)

Phương pháp giải:

Thay n bởi k + 1 trong công thức \({S_n} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{n + 1}}}} \).

Hướng dẫn giải:

Khi n = k + 1 ta cần chứng minh \({S_{k + 1}} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 1 + 1}}}} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 2}}}} \).

Chọn B.