Giải bài tập SBT Toán 11 Ôn tập chương 1: Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác

Tìm tập xác định của các hàm số

a) $y=\dfrac{2-\cos x}{1+\tan {\left({x-\dfrac{\pi}{3}}\right)}}$

b) $y=\dfrac{\tan x+\cot x}{1-\sin 2x}$

Phương pháp giải:

Phân thức xác định khi mẫu số khác 0.

Hướng dẫn giải:

a) $y=\dfrac{2-\cos x}{1+\tan {\left({x-\dfrac{\pi}{3}}\right)}}$

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} \cos {\left({x-\dfrac{\pi}{3}}\right)}\ne0\\\tan {\left({x-\dfrac{\pi}{3}}\right)}\ne -1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-\dfrac{\pi}{3}\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x-\dfrac{\pi}{3}\ne -\dfrac{\pi}{4}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ne\dfrac{5\pi}{6}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x\ne \dfrac{\pi}{12}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash\left[ {\left\{ {\dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\} \cup \left\{ {\dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}} \right]$.

b) $y=\dfrac{\tan x+\cot x}{1-\sin 2x}$

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne0\\\sin x\ne 0\\\sin 2x\ne 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \sin 2x\ne0\\\sin 2x\ne 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 2x\ne k\pi,k\in\mathbb{Z}\\2x\ne \dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\ne k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\\x\ne \dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash\left[ {\left\{ {k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}} \right\} \cup \left\{ {\dfrac{\pi}{4}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}} \right]$.

Xác định tính chẵn lẻ của hàm số

a) $y={\sin}^3 x-\tan x$

b) $y=\dfrac{\cos x+{\cot}^2 x}{\sin x}$

Phương pháp giải:

Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu x ∈ D thì −x ∈ D và f(−x) = f(x).

Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu x ∈ D thì −x ∈ D và f(−x) = −f(x).

- Bước 1: tìm TXĐ D, chứng minh D  là tập đối xứng.

- Bước 2: lấy x ∈ D ⇒ −x ∈ D.

- Bước 3: xét f(−x).

Nếu f(−x) = f(x) hàm số chẵn

Nếu f(−x) = −f(x) hàm số lẻ.

Hướng dẫn giải:

a) $y={\sin}^3 x-\tan x$

ĐKXĐ: $\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$

Tập xác định là: $D=\mathbb{R}\backslash{\left\{{\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}}\right\}}$ là tập đối xứng.

Ta có: $f( - x) ={\sin}^3 (-x)-\tan (-x)$

$=-{\sin}^3 x-(-\tan x)$

$=-({\sin}^3 x-\tan x)$

$=- f(x)$

Vậy y là hàm số lẻ.

b) $y=\dfrac{\cos x+{\cot}^2 x}{\sin x}$

ĐKXĐ: $\sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi,k\in\mathbb{Z}$

Tập xác định là: $D=\mathbb{R}\backslash{\left\{{k\pi,k\in\mathbb{Z}}\right\}}$ là tập đối xứng.

Ta có: $f( - x) =\dfrac{\cos (-x)+{\cot}^2 (-x)}{\sin (-x)}$

$=\dfrac{\cos x+{(-\cot x)}^2}{-\sin x}$

$=\dfrac{\cos x+{\cot}^2 x}{-\sin x}$

$=-\dfrac{\cos x+{\cot}^2 x}{\sin x}$

$=- f(x)$

Vậy y là hàm số lẻ.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) $y=3-4\sin x$

b) $y=2\sqrt{\cos x}$

Phương pháp giải:

a) Hàm số y = sinx có $- 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}$.

b) Hàm số y = cosx có $- 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}$

Hướng dẫn giải:

a) $y=3-4\sin x$

Ta có: $- 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow - 4 \le -4\sin x \le 4$

$\Leftrightarrow 3- 4 \le 3-4\sin x \le 3+4$

$\Leftrightarrow -1 \le y \le 7$

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất là 7 tại sinx = −1 và hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là −1 tại sinx = 1.

b) $y=2\sqrt{\cos x}$

ĐKXĐ: cosx ≥ 0

Ta có: $- 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 0\le\sqrt{\cos x}\le 1$

$\Leftrightarrow -1\le-\sqrt{\cos x}\le 0$

$\Leftrightarrow 2-1\le2-\sqrt{\cos x}\le 2$

$\Leftrightarrow 1\le y\le 2$

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất là 2 tại cosx = 0 và hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 1 tại cosx = 1.

Vẽ đồ thị của các hàm số

a) $y=\sin 2x+1$

b) $y=\cos {\left({x-\dfrac{\pi}{6}}\right)}$

Phương pháp giải:

a) Vẽ đồ thị hàm số y = sin2x

- Hàm số y = sin2x là hàm lẻ tuần hoàn chu kỳ π.

- Tìm các điểm đồ thị hàm số y = sin2x đi qua.

Vẽ đồ thị hàm số y = sin2x + 1 bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin2x song song với trục tung lên phía trên một đơn vị.

b) Vẽ đồ thị hàm số y = cosx

- Hàm số y = cosx là hàm chẵn tuần hoàn chu kỳ 2π.

- Tìm các điểm đồ thị hàm số y = cosx đi qua.

Vẽ đồ thị hàm số $y=\cos {\left({x-\dfrac{\pi}{6}}\right)}$ bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = cosx song song với trục hoành sang bên phải một đoạn $\dfrac{\pi}{6}$.

Hướng dẫn giải:

a) $y=\sin 2x+1$

Xét hàm số y = sin2x

Đồ thị hàm số y = sin2x đi qua các điểm là ${\left({0;0}\right)}$; ${\left({\dfrac{\pi}{4}; 1}\right)}$; ${\left({-\dfrac{\pi}{4}; -1}\right)}$; ${\left({\dfrac{\pi}{2}; 0}\right)}$; ${\left({-\dfrac{\pi}{2}; 0}\right)}$.

Đồ thị hàm số y = sin2x + 1 thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin2x song song với trục tung lên phía trên một đơn vị.

b) $y=\cos {\left({x-\dfrac{\pi}{6}}\right)}$

Xét hàm số y = cosx 

Đồ thị hàm số y = cosx đi qua các điểm là ${\left({0;0}\right)}$; ${\left({\dfrac{\pi}{2}; 0}\right)}$; ${\left({-\dfrac{\pi}{2}; 0}\right)}$.

Đồ thị hàm số $y=\cos {\left({x-\dfrac{\pi}{6}}\right)}$ thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = cosx song song với trục hoành sang bên phải một đoạn $\dfrac{\pi}{6}$.

Giải phương trình sau: ${\sin}^2 x-{\cos}^2 x=\cos 4x$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức nhân đôi  ${\cos}^2 x-{\sin}^2 x=\cos 2x$.

- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích $\cos a + \cos b= 2\cos \left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)\cos \left( {\dfrac{{a - b}}{2}} \right)$.

Hướng dẫn giải:

${\sin}^2 x-{\cos}^2 x=\cos 4x$

$\Leftrightarrow -\cos 2x=\cos 4x$

$\Leftrightarrow 2\cos 3x\cos x=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 3x = 0\\\cos x= 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\\x= \dfrac{\pi}{2}+k\pi,\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\\ x= \dfrac{\pi}{2}+k\pi,\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}$

Giải phương trình sau $\cos 3x-\cos 5x=\sin x$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích $\cos x - \cos y = - 2\sin \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}$ để xuất hiện nhân tử chung.

Hướng dẫn giải:

$\cos 3x-\cos 5x=\sin x$

$\Leftrightarrow \sin x+\cos 5x-\cos 3x=0$

$\Leftrightarrow \sin x-2\sin\dfrac{5x+3x}{2}\sin\dfrac{5x-3x}{2}=0$

$\Leftrightarrow \sin x-2\sin 4x\sin x=0$

$\Leftrightarrow \sin x(1-2\sin 4x)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\\sin 4x= \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi,k\in\mathbb{Z}\\4x= \dfrac{\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\\4x=\pi-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi,k\in\mathbb{Z}\\x= \dfrac{\pi}{24}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{5\pi}{24}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

Giải phương trình sau: $3{\sin}^2 x+4\cos x-2=0$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức sin²x + cos²x = 1 để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai của một hàm lượng giác.

Hướng dẫn giải:

$3{\sin}^2 x+4\cos x-2=0$

$\Leftrightarrow 3(1-{\cos}^2 x)+4\cos x-2=0$

$\Leftrightarrow 3{\cos}^2 x-4\cos x-1=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}\\\cos x=\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}>1\text{(loại)}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x=\pm\arccos{\left({\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}}\right)}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}$

Giải phương trình sau: ${\sin}^2 x+{\sin}^2 2x={\sin}^2 3x$.

Phương pháp giải:

Giải phương trình bằng cách sử dụng

- Công thức hạ bậc ${\sin}^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$.

- Công thức nhân đôi $\cos 2x=1-2{\sin}^2 x$.

- Công thức biến đổi tổng thành tích:

$\cos x - \cos y = - 2\sin \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}$

$\sin x - \sin y = 2\cos \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}$

Hướng dẫn giải:

${\sin}^2 x+{\sin}^2 2x={\sin}^2 3x$

$\Leftrightarrow \dfrac{1-\cos 2x}{2}+\dfrac{1-\cos 4x}{2}=\dfrac{1-\cos 6x}{2}$

$\Leftrightarrow 1-\cos 4x+\cos 6x-\cos 2x=0$

$\Leftrightarrow 2{\sin}^2 2x-2\sin 4x\sin 2x=0 \\ \Leftrightarrow 2\sin 2x(\sin 2x-\sin 4x)=0 \\\Leftrightarrow 2\sin 2x(-2)\cos 3x\sin x=0 \\\Leftrightarrow \sin 2x\cos 3x\sin x=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = 0\\\cos 3x= 0\\\sin x=0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = 0\\\cos 3x= 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = k\pi,k\in\mathbb{Z}\\3x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy nghiệm của phương là $x = k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}$ và $x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}$.

Giải phương trình sau 2tanx + 3cotx = 4.

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Sử dụng công thức $\cot x=\dfrac{1}{\tan x}$ để đưa phương trình về phương trình bậc hai của một hàm lượng giác.

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0

2tanx + 3cotx = 4

$\Leftrightarrow 2\tan x+3\dfrac{1}{\tan x}=4$

$\Leftrightarrow 2{\tan}^2 x+3=4\tan x\text{(vô nghiệm)}$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Giải phương trình sau $2{\cos}^2 x-3\sin 2x+{\sin}^2 x=1$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi sin2x = 2sinxcosx để nhìn thấy rõ đây là phương trình đẳng cấp.

Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với sin và cos:

$a{\sin}^2 x+b\sin x\cos x+c{\cos}^2 x=d$

- Bước 1: Xét cosx = 0 có là nghiệm của phương trình hay không?

- Bước 2: Khi cosx ≠ 0

+ Chia cả 2 vế của phương trình cho cos²x ta được:

$a\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+b\dfrac{\sin x}{\cos x}+c=\dfrac{d}{{\cos}^2 x}$

+ Sử dụng công thức $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$; $\dfrac{1}{{\cos}^2 x}={\tan}^2 x+1$ đưa phương trình về dạng:

$a{\tan}^2 x+b\tan x+c=d(1+{\tan}^2 x) \\\Leftrightarrow (a−d){\tan}^2 x+b\tan x+c−d=0$

+ Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: tanx = tanα $\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi ,\in\mathbb{Z}$ và đối chiếu với điều kiện.

Hướng dẫn giải:

$2{\cos}^2 x-3\sin 2x+{\sin}^2 x=1$

$\Leftrightarrow 2{\cos}^2 x-6\sin x\cos x+{\sin}^2 x=1$

Với cosx = 0 thỏa mãn phương trình nên phương trình có nghiệm là $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$.

Với cosx ≠ 0, chia hai vế phương trình cho cos²x ta được:

$2-6\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}=\dfrac{1}{{\cos}^2 x}$

$\Leftrightarrow 2-6\tan x+{\tan}^2 x={\tan}^2 x+1 \\ \Leftrightarrow \tan x=\dfrac{1}{6} \\\Leftrightarrow x=\arctan\dfrac{1}{6}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$ và $x=\arctan\dfrac{1}{6}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$.

Giải phương trình sau $2{\sin}^2x+\sin x\cos x-{\cos}^2 x=3$.

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với sin và cos:

$a{\sin}^2 x+b\sin x\cos x+c{\cos}^2 x=d$

- Bước 1: Xét cosx = 0 có là nghiệm của phương trình hay không?

- Bước 2: Khi cosx ≠ 0

+ Chia cả 2 vế của phương trình cho cos²x ta được:

$a\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+b\dfrac{\sin x}{\cos x}+c=\dfrac{d}{{\cos}^2 x}$

+ Sử dụng công thức $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$; $\dfrac{1}{{\cos}^2 x}={\tan}^2 x+1$ đưa phương trình về dạng:

$a{\tan}^2 x+b\tan x+c=d(1+{\tan}^2 x) \\\Leftrightarrow (a−d){\tan}^2 x+b\tan x+c−d=0$

+ Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: tanx = tanα $\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi ,\in\mathbb{Z}$ và đối chiếu với điều kiện.

Hướng dẫn giải:

Với cosx = 0 ta thấy VT = 2 ≠ 1 = VP nên không là nghiệm của phương trình.

Với cosx ≠ 0 chia hai vế phương trình cho cos²x ta được:

$2\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+\dfrac{\sin x}{\cos x}-1=\dfrac{3}{{\cos}^2 x}$

$\Leftrightarrow 2{\tan}^2 x+\tan x-1=3({\tan}^2+1)$

$\Leftrightarrow {\tan}^2 x-\tan x+4=0 \text{(vô nghiệm)}$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Giải phương trình sau 3sinx − 4cosx = 1.

Phương pháp giải:

Phương trình dạng asinx + bcosx = c:

- Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}$.

- Biến đổi VT phương trình về dạng $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)$

trong đó $\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

→ Phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Sử dụng công thức $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ để thu gọn phương trình.

- Phương trình sinx = a:

+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

+ Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: $x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và $x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

3sinx − 4cosx = 1

$\Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\sin x-\dfrac{4}{5}\cos x=\dfrac{1}{5}$

Đặt $\cos\alpha=\dfrac{3}{5}$ và $\sin\alpha =\dfrac{4}{5}$ ta được:

$\cos \alpha\sin x-\sin \alpha\cos x=\dfrac{1}{5}$

$\Leftrightarrow \sin (x-\alpha)=\dfrac{1}{5}$

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x-\alpha = \arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x-\alpha=\pi-\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x=\alpha +\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=\alpha+\pi-\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\alpha +\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và $x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}x=\alpha+\pi-\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Giải phương trình sau: 4sin3x + sin5x − 2sinxcos2x = 0.

Phương pháp giải:

Giải phương trình bằng cách sử dụng:

- Công thức biến đổi tích thành tổng: $\sin x\cos y = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin (x - y) + \sin (x + y)} \right]$.

- Công thức biến đổi tổng thành tích: $\sin x + \sin y = 2\sin \dfrac{{x + y}}{2}\cos \dfrac{{x - y}}{2}$.

- Giải phương trình cosx = a:

+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

+ Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là $x=\pm\arccos a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

4sin3x + sin5x − 2sinxcos2x = 0

$\Leftrightarrow 4\sin 3x+\sin 5x-2\dfrac{1}{2}\left[ {\sin (x - 2x) + \sin (x + 2x)} \right]=0$

$\Leftrightarrow 4\sin 3x+\sin 5x-\left[ {\sin (- x) + \sin 3x} \right]=0$

$\Leftrightarrow 3\sin 3x+\sin 5x+\sin x=0$

$\Leftrightarrow 3\sin 3x+2\sin\dfrac{{5x + x}}{2}\cos \dfrac{{5x - x}}{2}=0$

$\Leftrightarrow 3\sin 3x+2\sin 3x\cos 2x=0$

$\Leftrightarrow \sin 3x(3+2\cos 2x)=0$

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} \sin 3x = 0\\\cos 2x=-\dfrac{3}{2}<-1\text{(loại)}\end{array} \right.$

⇔ $\sin 3x=0\Leftrightarrow 3x = k\pi,k\in\mathbb{Z}$

⇔ $x=k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}$.

Giải phương trình sau $\cot x - 1 =\dfrac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \dfrac{1}{2}\sin 2x$.

Phương pháp giải:

Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Sử dụng công thức $\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}$; công thức nhân đôi $\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1$; $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, $\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x$, $\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1$ để đưa phương trình về phương trình của hàm tanx.

Sau đó ta đặt t = tanx để phương trình dễ nhìn hơn.

Sử dụng hằng đẳng thức số ba ${a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)$ để thu gọn phương trình.

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: sinx ≠ 0; cosx ≠ 0 và tanx ≠ −1

Ta có:

$\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}$

$\begin{array}{l}\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\\ = 2\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}} - 1\\ = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}$

$\begin{array}{l}{\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\\ = 1 - \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}} = \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}$

$\begin{array}{l} - \dfrac{1}{2}\sin 2x = - \sin x\cos x\\ = - \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}{\cos ^2}x = - \tan x\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}$

Phương trình $\cot x - 1 =\dfrac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \dfrac{1}{2}\sin 2x$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{\tan x}} - 1=\dfrac{{\dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}}}{{1 + \tan x}} + \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}} - \dfrac{{\mathop{\rm \tan x}\nolimits} }{{{{\tan }^2}x + 1}}$

Đặt $t = \tan x$ ta được

$\dfrac{1}{t} - 1 = \dfrac{{\dfrac{{1 - {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} }} + \dfrac{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}} - \dfrac{{\mathop{\rm t}\nolimits} }{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{t} - 1 = \dfrac{{1 - t}}{{{t^2} + 1}} + \dfrac{{{t^2} - t}}{{{t^2} + 1}} \\\Leftrightarrow \dfrac{{1 - t}}{t} = \dfrac{{1 - t}}{{{t^2} + 1}} + \dfrac{{t(t - 1)}}{{{t^2} + 1}}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - t = 0\\\dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{{{t^2} + 1}} - \dfrac{t}{{{t^2} + 1}}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\{t^2} + 1 = (1 - t)t\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\2{t^2} - t + 1 = 0\text{(vô nghiệm)}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}$.

Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = cos⁶x − sin⁶x tương ứng là

A. 0 và 2

B. $-1$ và $\dfrac{1}{2}$

C. $-1$ và 1

D. 0 và $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Phương pháp giải:

- Hàm số y = sinx có $- 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}$.

- Hàm số y = cosx có $- 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}$.

- Nên ta có $0\le {\sin}^6 x\le 1$ và $0\le {\cos}^6 x\le 1$ sử dụng hai bất đẳng thức này để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $y={\cos}^6 x-{\sin}^6 x\le{\cos}^6 x\le 1$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1 đạt được khi cosx = 1, sinx = 0 $\Leftrightarrow x=k2\pi,k\in\mathbb{Z}$

Hàm số $y={\cos}^6 x-{\sin}^6 x\ge -{\sin}^6 x\ge -1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là −1 đạt được khi $\cos x=0, \sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}$

Vậy chọn đáp án C.

Tập giá trị của hàm số $y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2$ là

A. $\left[{2;5}\right]$

B. $\left[{\dfrac{5}{4};3+\sqrt{3}}\right]$

C. $\left[{\dfrac{4}{3};3+\sqrt{3}}\right]$

D. $\left[{\dfrac{5}{4};4}\right]$

Phương pháp giải:

- Tập giá trị của hàm số được giới hạn bởi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đó nên mục tiêu của bài là tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số $y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2$.

- Sử dụng hàm số y = sinx có $- 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}$.

- Đặt t = sinx khi đó −1 ≤ t ≤ 1.

- Cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số dạng $y=ax^2+bx+c$ là thêm bớt để hàm số có chứa hằng đẳng thức, cụ thể như sau:

$y=ax^2+bx+c$

$=a(x^2+\dfrac{b}{a}x)+c$

$=a\left[{x^2+2.x.\dfrac{b}{2a}+{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2}\right]-a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c$

$=a{\left({x+\dfrac{b}{2a}}\right)}^2-a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c$

Do đó ${\left({x+\dfrac{b}{2a}}\right)}^2 \ge 0$ khi đó $y\ge -a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=ax^2+bx+c$ là $-a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c$ đạt được khi $x=-\dfrac{b}{2a}$.

Hướng dẫn giải:

Vì  y = sinx có $- 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}$

Đặt u = sinx khi đó $-1\le u\le 1$

Hàm số $y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2$

$\Leftrightarrow y=u^2 +\sqrt{3}u+2$

* Tìm giá trị lớn nhất:

Ta có $-1\le u\le 1$ nên $u^2\le 1$ và $u\le1$

Nên khi đó $y=u^2 +\sqrt{3}u+2\le 1+\sqrt{3}.1+2=3+\sqrt{3}$

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất là $3+\sqrt{3}$ tại u = 1 $\Leftrightarrow \sin x=1$

* Tìm giá trị nhỏ nhất:

Hàm số $y=u^2 +\sqrt{3}u+2$

$=\left[{u^2+2u\dfrac{\sqrt{3}}{2}+{\left({\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2}\right]-{\left({\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+2$

$={\left({u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+\dfrac{5}{4}$

Do ${\left({u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2 \ge 0$ khi đó $y\ge \dfrac{5}{4}$

⇒ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\dfrac{5}{4}$ đạt được khi $x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy tập giá trị của hàm số là $\left[{\dfrac{5}{4};3+\sqrt{3}}\right]$.

Vậy chọn đáp án B.

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin2xsin4x + cos6x = 0 là

A. $-\dfrac{\pi}{12}$

B. $-\dfrac{\pi}{4}$

C. $-\dfrac{\pi}{8}$

D. $-\dfrac{\pi}{6}$

Phương pháp giải:

Để giải phương trình ta sử dụng:

- Công thức biến đôi tích thành tổng $\sin x\sin y= \dfrac{1}{2}\left[ {\cos (x - y) - \cos (x + y)} \right]$.

- Công thức biến đổi tổng thành tích $\cos x + \cos y = 2\cos \dfrac{{x + y}}{2}\cos \dfrac{{x - y}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

sin2xsin4x + cos6x = 0

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left[ {\cos (4x – 2x) - \cos (4x+ 2x)} \right] +\cos 6x=0 \\\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}(\cos 2x-\cos 6x)+\cos 6x=0 \\\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}(\cos 2x+\cos 6x)=0 \\\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}2\cos \dfrac{{6x + 2x}}{2}\cos \dfrac{{6x – 2x}}{2}=0 \\\Leftrightarrow \cos 4x\cos 2x=0$

$\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cos 4x=0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\\4x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

Với $x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}$ nghiệm âm lớn nhất là $-\dfrac{\pi}{4}$ tại $k=-1$.

Với $x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{4}$ nghiệm âm lớn nhất là $-\dfrac{\pi}{8}$ tại $k=-1$.

Vậy chọn đáp án C.

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\sqrt{3}\tan x+\sqrt{3}\cot x-4=0$ là

A. $\dfrac{\pi}{6}$

B. $\dfrac{\pi}{3}$

C. $\dfrac{\pi}{4}$

D. $\dfrac{\pi}{5}$

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ cho phương trình.

- Sử dụng công thức $\cot x=\dfrac{1}{\tan x}$, quy đồng và đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với hàm lượng giác tanx.

- Phương trình tanx = tanα có nghiệm là $x=\alpha+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0.

$\sqrt{3}\tan x+\sqrt{3}\cot x-4=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{3}\tan x+\sqrt{3}\dfrac{1}{\tan x}-4=0 \\ \Leftrightarrow \sqrt{3}{\tan}^2 x+\sqrt{3}-4\tan x=0 \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x=\sqrt{3} \text{(thỏa mãn)}\\\tan x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{(thỏa mãn)}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbb{Z} \\ x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

Với $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ nghiệm dương nhỏ nhất là $\dfrac{\pi}{3}$ tại k = 0.

Với $x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ nghiệm dương nhỏ nhất là $\dfrac{\pi}{6}$ tại k = 0.

Vậy chọn đáp án A.

Nghiệm của phương trình 3(cosx − sinx) − sinxcosx = −3 là

A. $\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ và $\pi+k2\pi$, $k\in\mathbb{Z}$

B. $\pi+k2\pi$, $k\in\mathbb{Z}$

C. $\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}$

D. $\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$

Phương pháp giải:

- Đặt $t=\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)$ nên $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$

- Khi đó $t^2={\cos}^2 x-2\cos x\sin x+{\sin}^2 x=1-2\cos x\sin x$ từ đó rút được sinxcosx theo t.

- Giải phương trình dạng asinx + bcosx = c:

+ Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}$.

+ Biến đổi VT phương trình về dạng $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)$

trong đó $\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

→ Phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

Hướng dẫn giải:

Đặt $t=\cos x-\sin x$

$\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)$

Do $-1\le\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)\le 1$ nên $-\sqrt{2}\le\sqrt{2}\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)\le \sqrt{2}$

Khi đó $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$

Ta có: $t^2={\cos}^2 x-2\cos x\sin x+{\sin}^2 x=1-2\cos x\sin x$

Suy ra $\sin x\cos x=\dfrac{1-t^2}{2}$ thay vào phương trình ta được:

$3t-\dfrac{1-t^2}{2}=-3 \\\Leftrightarrow 6t-1+t^2=-6 \\\Leftrightarrow t^2+6t+5=0 \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-5<-\sqrt{2}\text{(loại)}\\ t =-1\end{array} \right.$

Với $t=-1\Leftrightarrow \cos x-\sin x=-1$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}\cos(\dfrac{\pi}{4}+x)=-1$

$\Leftrightarrow \cos(\dfrac{\pi}{4}+x)=\cos\dfrac{3\pi}{4} \\\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{4}+x=\pm\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi,k\in\mathbb{Z} \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\\ x=-\pi+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy chọn đáp án A.

Cho phương trình 8sin⁶x = sin²2x.

Xét các giá trị

$(I) k\pi \\(II) \dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2} \\(III)\dfrac{\pi}{2}+k\pi$

$(k\in\mathbb{Z})$

Trong các giá trị trên, giá trị nào là nghiệm của phương trình đã cho?

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

C. Chỉ (III)

D. (I) và (II)

Phương pháp giải:

- Giải phương trình bằng cách:

+ Sử dụng công thức nhân đôi sin2x = 2sinxcosx.

+ Nhóm nhân tử chung.

- Giải phương trình dạng sinx = a:

+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

+ Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là $x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và $x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

8sin⁶x = sin²2x

$\Leftrightarrow 8{\sin}^6 x=4{\sin}^2 x{\cos}^2 x$

$\Leftrightarrow 4{\sin}^2 x(2{\sin}^4 x+{\sin}^2 x-1)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin}^2 x = 0\\2{\sin}^4 x+{\sin}^2 x-1=0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi,k\in\mathbb{Z}\\{\sin}^2 x=\dfrac{1}{2}\\{\sin}^2 x=-1\le 0\text{(loại)}\end{array} \right.$

Với ${\sin}^2 x=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1-\cos 2x}{2}=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos 2x=0$

$\Leftrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}$

Do đó phương trình có nghiệm là $x=k\pi,k\in\mathbb{Z}$ và $x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}$.

Vậy chọn đáp án D.