Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm

Cho tứ giác ABCE. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm E.

Phương pháp giải:

Dựng ảnh của từng điểm A, B, C qua phép đối xứng tâm E.

Hướng dẫn giải:

Dựng ảnh của từng điểm A, B, C qua phép đối xứng tâm E.

Gọi \(F=Đ_E(A), D=Đ_E(B), G=Đ_E(C)\).

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm I(1;2), M(-2;3), đường thẳng d có phương trình 3x-y+9=0 và đường tròn (C) có phương trình: \(x^2+y^2+2x-6y+6=0\). Hãy xác định tọa độ của điểm M’, phương trình của đường thẳng d’ và đường tròn (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua

a) Phép đối xứng qua gốc tọa độ;

b) Phép đối xứng qua tâm I. 

Phương pháp giải:

Sử dụng biểu thức tọa độ của tâm đối xứng:

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(I=(x_0; y_0)\), gọi M = (x;y) và M’ = (x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_0} - x\\y' = 2{y_0} - y\end{array} \right. \)

- Trong câu a tâm đối xứng là O(0;0) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = - y\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

a) Gọi M’, d’ và (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C)  qua phép đối xứng qua O.

Phép đối xứng qua gốc tọa độ nên \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = - y\end{array} \right.\)

Suy ra: M’ = (2;-3)

Phương trình của d’: \(3(-x)-(-y)+9=0 \Leftrightarrow 3x-y-9=0\)

Phương trình của đường tròn (C’):

\({(-x)}^2+{(-y)}^2+2(-x)-6(-y)+6=0 \Leftrightarrow (C’): x^2+y^2-2x+6y+6=0\)

b) Gọi M’, d’ và C’ theo thứ tự là ảnh của M, d và C  qua phép đối xứng qua I.

Vì I là trung điểm của MM' nên M’ = (4;1)

Vì d’ song song với d nên d’ có phương trình \(3x-y+C=0\).

Lấy N(0;9) thuộc d.

Khi đó ảnh của N qua phép đối xứng qua tâm I là N’(2;-5).

Vì N’ thuộc d nên ta có \(3.2-(-5)+C=0 \Leftrightarrow C=-11\)

Vậy phương trình của d’ là \(3x-y-11=0\).

Ta có: (C) là đường tròn tâm J(-1;3), bán kính bằng 2.

Ảnh của J qua phép đối xứng qua tâm I là J’(3;1).

Do đó (C’) là đường tròn tâm J’ bán kính bằng 2.

Phương trình của (C’) là \({(x-3)}^2+{(y-1)}^2=4\).

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: \(x-2y+2=0\) và đường thẳng d’ có phương trình: \(x-2y-8=0\). Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó.

Phương pháp giải:

- Tìm giao điểm của hai đường thẳng với Ox.

- Tâm đối xứng là trung điểm của hai giao điểm đó.

Hướng dẫn giải:

Giao của d và d’ với Ox lần lượt là A(-2;0) và A’(8;0).

Phép đối xứng qua tâm cần tìm biến A thành A’ nên tâm đối xứng của nó là I = (3;0).

Cho ba điểm không thẳng hàng I, J, K. Hãy dựng tam giác ABC nhận I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tâm đối xứng bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.

Hướng dẫn giải:

Giả sử tam giác ABC đã dựng được.

- Cách dựng điểm C:

+ Lấy điểm M bất kì.

+ Gọi N là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I

+ Gọi P là ảnh của N qua phép đối xứng tâm J

+ Gọi Q là ảnh của P qua phép đối xứng tâm K

Khi đó \(\vec{CM}=-\vec{BN}=\vec{AP}=-\vec{CQ}\).

Do đó C là trung điểm của QM.

- Cách dựng điểm B:

+ Lấy điểm O bất kỳ

+ Gọi \(O_1\) là ảnh của O qua J

+ Gọi \(O_2\) là ảnh của \(O_1\) qua K

+ Gọi \(O_3\) là ảnh của \(O_2\) qua I

⇒ B là trung điểm của \(OO_3\).

- Cách dựng điểm A:

+ Lấy điểm H bất kỳ

+ Gọi \(H_1\) là ảnh của H qua J

+ Gọi \(H_2\) là ảnh của \(H_1\) qua K

+ Gọi \(H_3\) là ảnh của \(H_2\) qua I

⇒ A là trung điểm của \(HH_3\).