Toán 11 Chương 5 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\), \(x_0\in (a;b)\). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số \(\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\)  khi \(x → x_0\) được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại  \(x_0\), kí hiệu là \(f'( x_0)\) hay \(y'( x_0)\). Như vậy:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

Nếu đặt \(x - x_0= ∆x\) và \(∆y = f(x_0+∆x) - f(x_0)\) thì ta có

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

Đại lượng \(∆x\) được gọi là số gia của đối số tại \(x_0\) và đại lượng \(∆y\) được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

• Bước 1. Với \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0\) ,tính \(∆y = f(x_0+∆x)- f(x_0)\);
• Bước 2. Lập tỉ số \( \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\);
• Bước 3. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Nhận xét: nếu thay \(x_0\) bởi \(x\) ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(x ∈ (a;b)\).

Định lí: Nếu hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì nó liên tục tại \(x_0\).

Chú ý

• Định lí trên tương đương với khẳng định : Nếu \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x_0\) thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
• Mệnh đề đảo của định lí không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm

 Nếu tồn tại, \(f'(x_0)\) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0;f(x_0))\). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \(M_0(x_0;f(x_0))\) là

\( y - f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)\)

b) Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

\(v(t) = s'(t)\) là vận tốc tức thời của chuyển động \(s = s(t)\) tại thời điểm \(t\).

a) Cho hàm số y = x². Hãy tính y'(xo) bằng định nghĩa.

b) Cho hàm số y = -x² + 3x – 2. Tính y’(2) bằng định nghĩa.

Hướng dẫn giải

a) 

\(\eqalign{
& y'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{{x^2} - {x_0}^2} \over {x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{(x - {x_0})(x + {x_0})} \over {x - {x_0}}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} (x + {x_0}) = 2{x_0} \cr} \)

b) - Giả sử Δx là số gia của đối số tại x_o = 2. Ta có:

Δy = y(2 + Δx) - y(2)

= -(2 + Δx)² + 3(2 + Δx) - 2 - (-2² + 3.2 - 2)

= -(4 + 4Δx + (Δx)² )+ 6 + 3Δx - 2 = - (Δx)² - Δx

\(\eqalign{
& \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{ - {{(\Delta x)}^2} - \Delta x} \over {\Delta x}} = - \Delta x - 1 \cr
& \Rightarrow y'(2) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} ( - \Delta x - 1) = - 1 \cr} \)

a) Vẽ đồ thị của hàm số f(x) = \({{{x^2}} \over 2}\)

b) Tính f’(1).

c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm M(1; \({1 \over 2}\)) và có hệ số góc bằng f’(1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho.

Hướng dẫn giải

a) 

b) - Giả sử Δx là số gia của đối số tại xo = 1. Ta có:

\(\eqalign{
& \Delta y = f(1 + \Delta x) - f(1) \cr &= {{{{(1 + \Delta x)}^2}} \over 2} - {{{1^2}} \over 2} \cr &= {{{{(\Delta x)}^2} + 2\Delta x} \over 2} \cr 
& \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{{{(\Delta x)}^2} + 2\Delta x} \over 2}:\Delta x \cr &= {{\Delta x} \over 2} + 1 \cr 
& \Rightarrow f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta x} \over 2} + 1 = 0 + 1 = 1 \cr} \)

c) - Đường thẳng có hệ số góc bằng f'(1) = 1 có dạng:

y = 1.x + a hay y = x + a

Mà đường thẳng đó đi qua điểm M(1;1/2) nên có: \({1 \over 2}\) = 1 + a ⇒ a = \({1 \over 2}\) - 1 = -\({1 \over 2}\)

⇒ đường thẳng đi qua M và có hệ số góc bằng 1 là: y = x – \({1 \over 2}\)

Ta có đồ thị như trên. Đường thẳng y = x – \({1 \over 2}\) tiếp xúc với đồ thị hàm số f(x) tại M

Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:

a) f(x) = x2 tại điểm x bất kì;

b) g(x) = \({1 \over x}\) tại điểm bất kì x ≠ 0.

Hướng dẫn giải

a) Giả sử Δx là số gia của đối số tại xo bất kỳ. Ta có:

\(\eqalign{
& \Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) \cr 
& = {({x_0} + \Delta x)^2} - {x_0}^2 = 2{x_0}\Delta x + {(\Delta x)^2} \cr 
& \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{2{x_0}\Delta x + {{(\Delta x)}^2}} \over {\Delta x}} = 2{x_0} + \Delta x \cr 
& \Rightarrow y'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (2{x_0} + \Delta x) = 2{x_0} \cr} \)

b) Giả sử Δx là số gia của đối số tại xo bất kỳ. Ta có:

\(\eqalign{
& \Delta y = g({x_0} + \Delta x) - g({x_0}) \cr 
& = {1 \over {{x_0} + \Delta x}} - {1 \over {{x_0}}} = {{ - \Delta x} \over {{x_0}({x_0} + \Delta x)}} \cr 
& \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{ - \Delta x} \over {{x_0}({x_0} + \Delta x)}}:\Delta x = {{ - 1} \over {{x_0}({x_0} + \Delta x)}} \cr 
& y'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} ({{ - 1} \over {{x_0}({x_0} + \Delta x)}}) = {{ - 1} \over {{x_0}^2}} \cr} \)

Câu 1: Tìm số gia của hàm số \(f(x) =  x^3\), biết rằng:

a) \(x_0 = 1; ∆x = 1\)

b) \(x_0= 1; ∆x = -0,1\)

Câu 2: Sử dụng định nghĩa, hãy tìm đạo hàm của các hàm số sau: 

a) \(y = 3x - 5;\)

b) \(y = 4{x^2} - 0,6x + 7;\)

c) \(y = 4x - {x^2};\)

d) \(y = \sqrt {3x + 1} ;\)

Câu 3: Cho \(f\left( x \right) = \root 3 \of {x - 1} .\)  Tính \(f'\left( 0 \right);f'\left( 1 \right).\)

Câu 4: Cho \(\varphi \left( x \right) = {8 \over x}.\) Chứng minh rằng \(\varphi '\left( { - 2} \right) = \varphi '\left( 2 \right).\)

Câu 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau là đúng?

A. Nếu hàm số \(y=f(x)\) không liên tục tại \(x_{0}\) thì nó có đạo hàm tại điểm đó.

B. Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x_{0}\) thì nó không liên tục tại điểm đó.

C. Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x_{0}\) thì nó liên tục tại điểm đó.

D. Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại \(x_{0}\) thì nó có đạo hàm tại điểm đó.

Câu 2: Cho f là hàm số liên tục tại \(x_{0}\). Đạo hàm của f tại \(x_{0}\) là: 

A. \(f(x_{0})\)

B. \(\frac{f(x_{0}+h)-f.(x_{0})}{h}\)

C. \(\underset{h \to 0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\) ( nếu tồn tại giới hạn).

D. \(\underset{h \to 0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{h}\) ( nếu tồn tại giới hạn).

Câu 3: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x_{0}\) là \(f'(x_{0})\). mệnh đề nào sau đây sai?

A. \(f'(x_{0})=\underset{x \to x_{0}}{lim}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\)

B. \(f'(x_{0})=\underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}\)

C. \(f'(x_{0})=\underset{h \to 0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\)

D. \(f'(x_{0})=\underset{x \to x_{0}}{lim}\frac{f(x+x_{0})-f(x_{0})}{x-x_{0}}\)

Câu 4: Cho hàm số \(f(x)=\begin{cases}\frac{3-\sqrt{4-x}}{4} & \text{ khi } x\neq 0 \\ \frac{1}{4} & \text{ khi } x=0 \end{cases}\). Tính \(f'(0)\)

A. \(f'(0)=\frac{1}{4}\)

B. \(f'(0)=\frac{1}{16}\)

C. \(f'(0)=\frac{1}{32}\)

D. Không tồn tại.

Câu 5: \(\begin{cases}\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{x} & \text{ khi } x\neq 0 \\ 0 & \text{ khi } x=0 \end{cases}\). Tính \(f'(0)\)

A. \(f'(0)=0\)

B. \(f'(0)=1\)

C. \(f'(0)=\frac{1}{2}\)

D. Không tồn tại.

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Biết định nghĩa đạo hàm tại một điểm;
• Hiểu rõ rằng đạo hàm của một hàm số tại một điểm là một số xác định;
• Tính được đạo hàm của hàm lũy thừa, hàm đa thức bậc 2 hoặc 3 theo định nghĩa;
• Biết tìm vận tốc tức thời của một chuyển động có phương trình s = f(t)