Toán 11 Ôn tập chương 5: Đạo hàm

a) Định nghĩa

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\), \(x_0\in (a;b)\). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số \(\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\)  khi \(x → x_0\) được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại  \(x_0\), kí hiệu là \(f'( x_0)\) hay \(y'( x_0)\). Như vậy:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

Nếu đặt \(x - x_0= ∆x\) và \(∆y = f(x_0+∆x) - f(x_0)\) thì ta có

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

Đại lượng \(∆x\) được gọi là số gia của đối số tại \(x_0\) và đại lượng \(∆y\) được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

b) Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

• Bước 1. Với \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0\) ,tính \(∆y = f(x_0+∆x)- f(x_0)\);
• Bước 2. Lập tỉ số \( \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\);
• Bước 3. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Nhận xét: nếu thay \(x_0\) bởi \(x\) ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(x ∈ (a;b)\).

c) Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm

Định lí. Nếu hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì nó liên tục tại \(x_0\).

Chú ý

• Định lí trên tương đương với khẳng định : Nếu \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x_0\) thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
• Mệnh đề đảo của định lí không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

d) Ý nghĩa của đạo hàm

- Ý nghĩa hình học của đạo hàm

 Nếu tồn tại, \(f'(x_0)\) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0;f(x_0))\). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \(M_0(x_0;f(x_0))\) là

\( y - f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)\)

- Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

\(v(t) = s'(t)\) là vận tốc tức thời của chuyển động \(s = s(t)\) tại thời điểm \(t\).

a) Công thức

\((c)' = 0\)       ( \(c\) là hằng số);

\((x^n)' = nx^{n-1}\) (\(n\in {\mathbb N}^*, x ∈\mathbb R\));

\((\sqrt x)' =  \frac{1}{2\sqrt{x}}\) (\(x > 0\)).

b) Phép toán

\((u + v)' = u' + v' \)

\((u - v)' = u' - v'\)

\((uv)' = u'v + uv'\)

\((ku)' = ku'\) (\(k\) là hằng số)

\( \left ( \frac{u}{v} \right )^{^{'}}\) = \( \frac{u'v - uv'}{v^{2}}\) , ( \(v = v(x) ≠ 0\));

\( \left ( \frac{1}{v} \right )^{'}\) = \( \frac{-v'}{v^{2}}\) , ( \(v = v(x) ≠ 0\)).

c) Đạo hàm của hàm hợp

\(y_x' = y_u'.u_x'\)

Hệ quả

• \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\); 
• \((\sqrt u)' =  \frac{u'}{2\sqrt{u}}\).

a) Đạo hàm của hàm số y = sinx

Hàm số \(y=sin x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x.\)

Nếu \(y=sin u\) và \(u=u(x)\) thì \((sin u)'=u'. \cos u.\)

b) Đạo hàm của hàm số y = cosx

Hàm số \(y=\cos x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cos x} \right)' =-\sin x.\)

Nếu \(y=\cos u\) và \(u=u(x)\) thì \((cos u)'=-u'. \sin u.\)

c) Đạo hàm của hàm số y = tanx

Hàm số \(y=\tan x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)

Nếu \(y=tan u\) và \(u=u(x)\) thì \(\left( {\tan u} \right)' = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}.\)

d) Đạo hàm của hàm số y = cotx

Hàm số \(y=\cot x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cot x} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)

Nếu \(y=\cot u\) và \(u=u(x)\) thì \(\left( {\cot x} \right)' = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\).

a) Định nghĩa

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \((a;b)\) và có đạo hàm tại \(x ∈ (a;b)\). Giả sử \(∆x\) là số gia của \(x\) sao cho \(x + ∆x ∈ (a;b)\).

Tích \(f'(x)∆x\) (hay \(y'.∆x\)) được gọi là vi phân của hàm số \(y = f(x)\) tại \(x\) ứng với số gia \(∆x\), kí hiệu là \(df(x)\) hay \(dy\).

Chú ý: Vì \(dx = ∆x\) nên \(dy = df(x) = f'(x)dx\)

b) Đạo hàm cấp cao

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\).

+ Nếu hàm số \(f'\left( x \right)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số \(f\left( x \right)\), kí hiệu là \(f''\left( x \right)\).

c) Các dạng toán

Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số y=f(x)

Phương pháp:

• Tính đạo hàm f'(x).
• Vi phân của hàm số y=f(x) tại x là \(df(x) = f'(x)dx.\)
• Vi phân của hàm số y=f(x) tại \(x_0\) là \(df(x_0) = f'(x_0)dx.\)

Dạng 2: Tìm giá trị gần đúng của một biểu thức

Phương pháp:

• Lập hàm số \(y=f(x)\) và chọn \(x_0, \Delta x\) một cách thích hợp.
• Tính đạo hàm \(f'(x), f'(x_0)\) và \(f(x_0).\)
• Giá trị gần đúng của biểu thức \(P = f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.\)

a) Định nghĩa

Giả sử hàm số \(f(x)\) có đạo hàm  \(f'(x)\). Nếu \(f'(x)\) cũng có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai của \(f(x)\) và kí hiệu \(f"(x)\): \((f'(x))' = f"(x)\) .

Tương tự: \((f''(x))' = f"'(x)\) hoặc \(f^{(3)}(x)\)

...

\(\left({f^{(n-1)}}\left( x \right)\right)' = {f^{(n)}}\left( x \right )\), \(n\in {\mathbb N}^*\), \(n ≥ 4\).

Ở đây kí hiệu \({f^{(0)}}\left( x \right)= f\left( x \right)\); \({f^{(n)}}\left( x \right)\) là đạo hàm cấp \(n\) của hàm số \(f(x)\).

b) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai \(f"(t)\) là gia tốc tức thời của chuyển động \(s = f(t)\) tại thởi điểm \(t\).

Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) \(y = {{{x^3}} \over 3} - {{{x^2}} \over 2} + x - 5\)

b) \(\displaystyle y = {2 \over x} - {4 \over {{x^2}}} + {5 \over {{x^3}}} - {6 \over {7{x^4}}}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\begin{array}{l}
y' = \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)' - \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)' + \left( x \right)' - \left( 5 \right)'\\
= \dfrac{{3{x^2}}}{3} - \dfrac{{2x}}{2} + 1\\
= {x^2} - x + 1
\end{array}\)

b) \(\begin{array}{l}
y' = \left( {\dfrac{2}{x}} \right)' - \left( {\dfrac{4}{{{x^2}}}} \right)' + \left( {\dfrac{5}{{{x^3}}}} \right)' - \left( {\dfrac{6}{{7{x^4}}}} \right)\\ =  - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{{ - 4.\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}} + \dfrac{{ - 5\left( {{x^3}} \right)'}}{{{x^6}}} - \dfrac{{ - 6\left( {{x^4}} \right)'}}{{7{x^8}}}\\ =- \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{{4.2x}}{{{x^4}}} - \dfrac{{5.3{x^2}}}{{{x^6}}} + \dfrac{{6.4{x^3}}}{{7{x^8}}}\\
= - \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{8}{{{x^3}}} - \dfrac{{15}}{{{x^4}}} + \dfrac{{24}}{{7{x^5}}}\\
\end{array}\)

Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) \(y = 2\sqrt x {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  - {{\cos x} \over x}\)

b) \(\displaystyle y = {{3\cos x} \over {2x + 1}}\)

Hướng dẫn giải

a) 

\(y' =\left (2\sqrt x {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  - {{\cos x} \over x}\right)'\)

\(\begin{array}{l}
= 2\left( {\sqrt x \sin x} \right)' - \left( {\dfrac{{\cos x}}{x}} \right)'\\
= 2\left[ {\left( {\sqrt x } \right)'\sin x + \sqrt x .\left( {\sin x} \right)'} \right] - \dfrac{{\left( {\cos x} \right)'.x - x'\cos x}}{{{x^2}}}
\end{array}\)

\(\eqalign{
& = 2{1 \over {2\sqrt x }}\sin x + 2\sqrt x\cos x - {{ - x\sin x - \cos x} \over {{x^2}}} \cr 
& = \dfrac{{\sqrt x \sin x}}{x} + 2\sqrt x \cos x + \frac{{x\sin x + \cos x}}{{{x^2}}}\cr & = {{x\sqrt x \sin x + 2{x^2}\sqrt x\cos x + x\sin x + \cos x} \over {{x^2}}} \cr 
& = {{x(\sqrt x + 1)\sin x + (2{x^2}\sqrt x + 1)cosx} \over {{x^2}}} \cr} \)

b)

 \(\begin{array}{*{20}{l}}
{y'  = \dfrac{{3\left( {\cos x} \right)'\left( {2x + 1} \right) - 3\cos x\left( {2x + 1} \right)'}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\\= \dfrac{{ - 3\sin x\left( {2x + 1} \right) - 2.3\cos x}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}}\\
{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \dfrac{{ - 6x\sin x - 3\sin x - 6\cos x}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}}
\end{array}\)

Cho hàm số \(f(x) = \sqrt {1 + x} \). Tính \(f(3)+(x-3)f’(3)\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\eqalign{
& f(3) = \sqrt {1 + 3} = 2  \cr & f'(x) = \dfrac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{2\sqrt {1 + x} }}= {1 \over {2\sqrt {1 + x} }}\cr & \Rightarrow f'(3) = {1 \over {2\sqrt {1 + 3} }} = {1 \over 4} \cr} \)

Suy ra: \(f(3) + (x - 3)f'(3) = 2 + {{x - 3} \over 4} = {{5 + x} \over 4}\).

Giải phương trình \(\displaystyle f’(x) = 0\), biết rằng:

\(\displaystyle f(x) = 3x + {{60} \over x} -{ 64\over{x^{  3}}} + 5\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\eqalign{
&  f'(x)  = \left( {3x} \right)' + \left( {\frac{{60}}{x}} \right)' - \left( {\frac{{64}}{{{x^3}}}} \right)' + \left( 5 \right)' \cr&= 3 + \frac{{ - 60.1}}{{{x^2}}} - \frac{{ - 64\left( {{x^3}} \right)'}}{{{x^6}}} \cr&= 3 - \frac{{60}}{{{x^2}}} + \frac{{64.3{x^2}}}{{{x^6}}} \cr&= 3 - {{60} \over {{x^2}}} + {{192} \over {{x^4}}} \cr&= {{3{x^4} - 60{x^2} + 192} \over {{x^4}}} \cr} \)

Vậy:

\(\eqalign{
& f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3{x^4} - 60{x^2} + 192 = 0(x \ne 0) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 16 \hfill \cr
{x^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm 4 \hfill \cr
x = \pm 2 \hfill \cr} \right.\text{ thỏa mãn  } \cr}\)

Câu 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a) \(y = x{\cot ^2}x\) 

b) \(y = {{\sin \sqrt x } \over {\cos 3x}}\)

c) \(y = {\left( {\sin 2x + 8} \right)^3}\)

d) \(y = \left( {2{x^3} - 5} \right)\tan x.\)

Câu 2: Giải phương trình \(f'\left( x \right) = g\left( x \right),\) biết rằng

a) \(f\left( x \right) = {{1 - \cos 3x} \over 3};g\left( x \right) = \left( {\cos 6x - 1} \right)\cot 3x.\)

b) \(f\left( x \right) = {1 \over 2}\cos 2x;g\left( x \right) = 1 - {\left( {\cos 3x + \sin 3x} \right)^2}.\)

Câu 3: Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đã chỉ ra

a) \(f\left( x \right) = {{\sqrt {x + 1} } \over {\sqrt {x + 1}  + 1}},\,\,f'\left( 0 \right) = ?\)

b) \(y = {\left( {4x + 5} \right)^2},\,y'\left( 0 \right) = ?\)

Câu 4: Chứng minh rằng \(f'\left( x \right) > 0\forall x \in R,\) nếu

a) \(f\left( x \right) = {2 \over 3}{x^9} - {x^6} + 2{x^3} - 3{x^2} + 6x - 1\)

b) \(f\left( x \right) = 2x + \sin x.\)

Câu 1: Tính vi phân của hàm số \(f(x)=\frac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{x}\) tại điểm x=4 ứng với \(\Delta x=0,002\)

A. \(df(4)=\frac{1}{8}\)

B. \(df(4)=\frac{1}{8000}\)

C. \(df(4)=\frac{1}{400}\)

D. \(df(4)=\frac{1}{1600}\)

Câu 2: Tính vi phân của hàm số \(f(x)=sin2x\) tại điểm \(x=\frac{\pi}{3}\) ứng với \(\Delta x=0,001\)

A. \(df(\frac{\pi}{3})=-1\)

B. \(df(\frac{\pi}{3})=-0,1\)

C. \(df(\frac{\pi}{3})=0,001\)

D. \(df(\frac{\pi}{3})=-0,001\)

Câu 3: Tính vi phân của hàm số \(y=\frac{x+3}{1-2x}\) tại điểm x= -3

A. \(dy=\frac{1}{7}dx\)

B. \(dy=7dx\)

C. \(dy=\frac{-1}{7}dx\)

D. \(dy=-7dx\)

Câu 4: Cho hàm số  \(f(x)=\sqrt{1+cos^{2}2x}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(df(x)=\frac{-sin4x}{2\sqrt{1+cos^{2}2x}}dx\)

B. \(df(x)=\frac{-sin4x}{\sqrt{1+cos^{2}2x}}dx\)

C. \(df(x)=\frac{cos2x}{\sqrt{1+cos^{2}2x}}dx\)

D. \(\frac{-sin2x}{2\sqrt{1+cos^{2}2x}}dx\)

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số \(y=tan^{3}+cot2x\)

A. \(y'=3tan^{2}cotx+2tan2x\)

B. \(y'=-\frac{3tan^{2}x}{cos^{2}x}+\frac{2}{sin^{2}2x}\)

C. \(y'=3tan^{2}x-\frac{1}{sin^{2}2x}\)

D. \(y'=\frac{3tan^{2}x}{cos^{2}x}+\frac{2}{sin^{2}2x}\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm tại một điểm, phương trình tiếp tuyến và định nghĩa đạo hàm trên một khoảng.
• Công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm số hợp. Công thức tính đạo hàm các hàm số lượng giác.
• Tính thành thạo đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, căn bậc hai và các hàm số lượng giác.
• Nhớ và biết cách áp dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp để giải bài tập.