Toán 11 Chương 3 Bài 4: Cấp số nhân

Dãy số (un) được xác định bởi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n}.q}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}$  gọi là cấp số nhân; $q$ gọi là công bội.

• Số hạng thứ n được cho bởi công thức: ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$.
• Ba số hạng ${u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi $u_{k + 1}^2 = {u_k}.{u_{k + 2}}$.
• Tổng $n$ số hạng đầu tiên ${S_n}$ được xác định bởi công thức: ${S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$

Cho cấp số nhân (un) với u1 = -2 và $\displaystyle q = {{ - 1} \over 2}$

a) Viết năm số hạng đầu của nó

b) So sánh $u_2^2$ với tích u1.u3 và $u_3^2$ với tích u2.u4

Nêu nhận xét tổng quát từ kết quả trên.

Hướng dẫn giải

a)

 $\eqalign{ & \cr  & {u_1} = - 2 \cr  & {u_2} = {u_1}.q = - 2.{{ - 1} \over 2} = 1 \cr  & {u_3} = {u_2}.q = 1.{{ - 1} \over 2} = {{ - 1} \over 2} \cr  & {u_4} = {u_3}.q = {{ - 1} \over 2}.{{ - 1} \over 2} = {1 \over 4} \cr  & {u_5} = {u_4}.q = {1 \over 4}.{{ - 1} \over 2} = {{ - 1} \over 8} \cr}$

b)

 $\eqalign{ & {u_2}^2 = 1^2=1 \cr  & {u_1}.{u_3} = {u_1}.q = - 2.{{ - 1} \over 2} = 1 \cr  & \Rightarrow {u_2}^2 = {u_1}.{u_3} \cr  & {u_3}^2 = {\left( {{{ - 1} \over 2}} \right)^2} = {1 \over 4} \cr  & {u_2}.{u_4} = 1.{1 \over 4} = {1 \over 4} \cr  & \Rightarrow {u_3}^2 = {u_2}.{u_4} \cr  & \text{Do đó }:\,{u_k}^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}};\,k \ge 2 \cr}$

Tính tổng: 

$\displaystyle S = 1 + {1 \over 3} + {1 \over {{3^2}}} + ... + {1 \over {{3^n}}}$

Hướng dẫn giải

Cấp số nhân có: ${u_1}=1$, $\displaystyle q = {1 \over 3}$

$\displaystyle \Rightarrow S = {{{u_1}(1 - {q^n})} \over {1 - q}} = {{1.\left[ {1 - {{({1 \over 3})}^n}} \right]} \over {1 - {1 \over 3}}}$ $\displaystyle = {3 \over 2}\left[ {1 - {{({1 \over 3})}^n}} \right]$

Chứng minh các dãy số $( \dfrac{3}{5} . 2^n)$, $(\dfrac{5}{2^{n}})$, $((-\dfrac{1}{2})^{n})$ là các cấp số nhân.

Hướng dẫn giải

+) Ta có: ${u_n} = \dfrac{3}{5}{.2^n} \Rightarrow {u_1} = \dfrac{3}{5}{.2^1} = \dfrac{6}{5}$

Với mọi $∀n\in {\mathbb N}^*$, ta có:

${u_{n + 1}} = \dfrac{3}{5}{.2^{n + 1}}$

$\Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{3}{5}{{.2}^{n + 1}}}}{{\dfrac{3}{5}{{.2}^n}}}$ $= \dfrac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = \dfrac{{{2^n}.2}}{{{2^n}}} = 2$ (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với $u_1= \dfrac{6}{5}$ và $q = 2$.

+) Ta có: ${u_n} = \dfrac{5}{{{2^n}}} \Rightarrow {u_1} = \dfrac{5}{{{2^1}}} = \dfrac{5}{2}$

Với mọi $∀ n\in {\mathbb N}^*$, ta có:

$\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\dfrac{5}{{{2^n}}}}} = \dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}:\dfrac{5}{{{2^n}}}$ $= \dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{5} = \dfrac{{{2^n}}}{{{2^{n + 1}}}} = \dfrac{{{2^n}}}{{{2^n}.2}} = \dfrac{1}{2}$ (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với $u_1= \dfrac{5}{2}$  và $q= \dfrac{1}{2}$

+) Ta có: ${u_n} = {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^n}$$\Rightarrow {u_1} = {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^1} =  - \dfrac{1}{2}$

Với mọi $∀ n\in {\mathbb N}^*$, ta có:

$\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}}}$

$= \dfrac{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}}{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}}}=  - \dfrac{1}{2}$ (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với $u_1= \dfrac{-1}{2}$ và $q= \dfrac{-1}{2}$.

Câu 1: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {\left( { - 3} \right)^{2n - 1}}.$

Chứng minh dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số

Câu 2: Cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$có

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102.\end{array} \right.$

a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân 

b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng $3069$ ?

c) Số $12288$ là số hạng thứ mấy ?

Câu 3: Tìm số các số hạng của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right),$biết

a) $q = 2,{u_n} = 96,{S_n} = 189$

b) ${u_1} = 2,{u_n} = \dfrac{1}{8},{S_n} = \dfrac{{31}}{8}$

Câu 4: Bốn số lập thành một cấp số cộng. Lần lượt trừ mỗi số ấy cho $2,6,7,2$ ta nhận được một cấp số nhân. Tìm các số đó.

Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. $u_{n}=\frac{n+1}{n-1}$

B. $u_{n}=2n$

C. $u_{n}=2^{n}$

D. $u_{n}=n^{3}+3n$

Câu 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. $\left\{\begin{matrix}u_{0}=1\\ u_{n}=2u_{n-1}\end{matrix}\right.\forall n\geq 1$

B. $\left\{\begin{matrix}u_{0}=1\\ u_{n}=u_{n}+u_{n-1}\end{matrix}\right.\forall n\geq 1$

C. $\left\{\begin{matrix}u_{0}=1\\ u_{n}=u_{n-1}^{3}\end{matrix}\right.\forall n\geq 1$

D. $\left\{\begin{matrix}u_{0}=1\\ u_{n}=u_{n-1}+1\end{matrix}\right.\forall n\geq 1$

Câu 3: Số hạng đầu tiên của cấp số nhân $(u_{n})$ thỏa mãn hệ $\left\{\begin{matrix}u_{4}-u_{2}=72\\ u_{5}-u_{3}=144\end{matrix}\right.$ là:

A. 2

B. 12

C. 24

D. 0

Câu 4: Công bội nguyên dương của cấp số nhân $(u_{n})$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}u_{1}+u_{2}+u_{3}=14\\ u_{1}u_{2}u_{3}=64\end{matrix}\right.$ là:

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Câu 5: Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

A. 720

B. 81

C. 64

D. 56

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm vững khái niệm cấp số nhân.
• Nắm được 1 tính chất đơn giản về 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số nhân.
• Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát của 1 cấp số nhân.