Toán 11 Chương 3 Bài 4: Cấp số nhân

Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n}.q}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\)  gọi là cấp số nhân; \(q\) gọi là công bội.

• Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\).
• Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi \(u_{k + 1}^2 = {u_k}.{u_{k + 2}}\).
• Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức: \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

Cho cấp số nhân (un) với u1 = -2 và \(\displaystyle q = {{ - 1} \over 2}\)

a) Viết năm số hạng đầu của nó

b) So sánh \(u_2^2\) với tích u1.u3 và \(u_3^2\) với tích u2.u4

Nêu nhận xét tổng quát từ kết quả trên.

Hướng dẫn giải

a)

 \(\eqalign{
& \cr 
& {u_1} = - 2 \cr 
& {u_2} = {u_1}.q = - 2.{{ - 1} \over 2} = 1 \cr 
& {u_3} = {u_2}.q = 1.{{ - 1} \over 2} = {{ - 1} \over 2} \cr 
& {u_4} = {u_3}.q = {{ - 1} \over 2}.{{ - 1} \over 2} = {1 \over 4} \cr 
& {u_5} = {u_4}.q = {1 \over 4}.{{ - 1} \over 2} = {{ - 1} \over 8} \cr} \)

b)

 \(\eqalign{
& {u_2}^2 = 1^2=1 \cr 
& {u_1}.{u_3} = {u_1}.q = - 2.{{ - 1} \over 2} = 1 \cr 
& \Rightarrow {u_2}^2 = {u_1}.{u_3} \cr 
& {u_3}^2 = {\left( {{{ - 1} \over 2}} \right)^2} = {1 \over 4} \cr 
& {u_2}.{u_4} = 1.{1 \over 4} = {1 \over 4} \cr 
& \Rightarrow {u_3}^2 = {u_2}.{u_4} \cr 
& \text{Do đó }:\,{u_k}^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}};\,k \ge 2 \cr} \)

Tính tổng: 

\(\displaystyle S = 1 + {1 \over 3} + {1 \over {{3^2}}} + ... + {1 \over {{3^n}}}\)

Hướng dẫn giải

Cấp số nhân có: \({u_1}=1 \), \(\displaystyle q = {1 \over 3}\)

\( \displaystyle \Rightarrow S = {{{u_1}(1 - {q^n})} \over {1 - q}} = {{1.\left[ {1 - {{({1 \over 3})}^n}} \right]} \over {1 - {1 \over 3}}} \) \(\displaystyle = {3 \over 2}\left[ {1 - {{({1 \over 3})}^n}} \right]\)

Chứng minh các dãy số \(( \dfrac{3}{5} . 2^n)\), \( (\dfrac{5}{2^{n}})\), \( ((-\dfrac{1}{2})^{n})\) là các cấp số nhân.

Hướng dẫn giải

+) Ta có: \({u_n} = \dfrac{3}{5}{.2^n} \Rightarrow {u_1} = \dfrac{3}{5}{.2^1} = \dfrac{6}{5}\)

Với mọi \(∀n\in {\mathbb N}^*\), ta có:

\({u_{n + 1}} = \dfrac{3}{5}{.2^{n + 1}} \)

\(\Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{3}{5}{{.2}^{n + 1}}}}{{\dfrac{3}{5}{{.2}^n}}} \) \(= \dfrac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = \dfrac{{{2^n}.2}}{{{2^n}}} = 2\) (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \dfrac{6}{5}\) và \(q = 2\).

+) Ta có: \({u_n} = \dfrac{5}{{{2^n}}} \Rightarrow {u_1} = \dfrac{5}{{{2^1}}} = \dfrac{5}{2}\)

Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\), ta có:

\(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\dfrac{5}{{{2^n}}}}} = \dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}:\dfrac{5}{{{2^n}}}\) \( = \dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{5} = \dfrac{{{2^n}}}{{{2^{n + 1}}}} = \dfrac{{{2^n}}}{{{2^n}.2}} = \dfrac{1}{2} \) (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \dfrac{5}{2}\)  và \(q= \dfrac{1}{2}\)

+) Ta có: \({u_n} = {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^n}\)\( \Rightarrow {u_1} = {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^1} =  - \dfrac{1}{2}\)

Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\), ta có:

\(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}}}\)

\( = \dfrac{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}}{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}}}=  - \dfrac{1}{2} \) (không đổi)

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với \(u_1= \dfrac{-1}{2}\) và \(q= \dfrac{-1}{2}\).

Câu 1: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {\left( { - 3} \right)^{2n - 1}}.\)

Chứng minh dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số

Câu 2: Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)có

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102.\end{array} \right.\)

a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân 

b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng \(3069\) ?

c) Số \(12288\) là số hạng thứ mấy ?

Câu 3: Tìm số các số hạng của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\)biết

a) \(q = 2,{u_n} = 96,{S_n} = 189\)

b) \({u_1} = 2,{u_n} = \dfrac{1}{8},{S_n} = \dfrac{{31}}{8}\)

Câu 4: Bốn số lập thành một cấp số cộng. Lần lượt trừ mỗi số ấy cho \(2,6,7,2\) ta nhận được một cấp số nhân. Tìm các số đó.

Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. \(u_{n}=\frac{n+1}{n-1}\)

B. \(u_{n}=2n\)

C. \(u_{n}=2^{n}\)

D. \(u_{n}=n^{3}+3n\)

Câu 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. \(\left\{\begin{matrix}u_{0}=1\\ u_{n}=2u_{n-1}\end{matrix}\right.\forall n\geq 1\)

B. \(\left\{\begin{matrix}u_{0}=1\\ u_{n}=u_{n}+u_{n-1}\end{matrix}\right.\forall n\geq 1\)

C. \(\left\{\begin{matrix}u_{0}=1\\ u_{n}=u_{n-1}^{3}\end{matrix}\right.\forall n\geq 1\)

D. \(\left\{\begin{matrix}u_{0}=1\\ u_{n}=u_{n-1}+1\end{matrix}\right.\forall n\geq 1\)

Câu 3: Số hạng đầu tiên của cấp số nhân \((u_{n})\) thỏa mãn hệ \(\left\{\begin{matrix}u_{4}-u_{2}=72\\ u_{5}-u_{3}=144\end{matrix}\right.\) là:

A. 2

B. 12

C. 24

D. 0

Câu 4: Công bội nguyên dương của cấp số nhân \((u_{n})\) thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix}u_{1}+u_{2}+u_{3}=14\\ u_{1}u_{2}u_{3}=64\end{matrix}\right.\) là:

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Câu 5: Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

A. 720

B. 81

C. 64

D. 56

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm vững khái niệm cấp số nhân.
• Nắm được 1 tính chất đơn giản về 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số nhân.
• Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát của 1 cấp số nhân.