Toán 11 Chương 4 Bài 1: Giới hạn của dãy số

 Với bài học này chúng ta cùng tìm hiểu về khái niệm mới của phân môn Giải tích và các phương pháp tìm giới hạn của dãy số. Bài giảng dưới đây sử dụng các bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết giúp các em học sinh dễ dàng ôn tập và vận dụng giải bài tập một cách hiệu quả. Sau đây mời các em cùng tham khảo.

Toán 11 Chương 4 Bài 1: Giới hạn của dãy số

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Giới hạn hữu hạn và vô hạn 

a) Giới hạn hữu hạn

  • \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = 0\) khi và chỉ khi \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
  • \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = a \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim }(u_{n}-a) = 0\).

b) Giới hạn vô cực

  • \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n}= +∞\) khi và chỉ khi \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
  • \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = -∞ \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(-u_{n})= +∞\).

1.2. Các giới hạn đặc biệt

a) \(\lim \frac{1}{n} = 0\)

    \(\lim \frac{1}{n^{k}} = 0\)

    \(\lim n^k= +∞\), với \(k\) nguyên dương.

b) \(\lim q^n= 0\) nếu \(|q| < 1\);

    \(\lim q^n= +∞\) nếu \(q > 1\).

c) \(\lim c = c\) (\(c\) là hằng số).

1.3. Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Nếu \(\lim u_n=a\) và \(\lim v_n= b\), thì:

\(lim\left( {{u_{n}}+{v_n}} \right)= a +b\)

\(lim{\rm{ }}({u_n} - {v_n}){\rm{ }} = {\rm{ }}a - b\)

\(lim{\rm{ }}({u_n}.{v_n}) = ab\)

\(lim{{{u_n}} \over {{v_n}}} = {a \over b}\) (nếu \(b ≠ 0\)).

b) Nếu \(u_n≥ 0\) với mọi \(n\) và \(lim u_n= a\) thì \(a > 0\) và \(lim \sqrt{u_n}= \sqrt a\).

1.4. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.

  • Nếu \(\lim u_n=a\) và \(\lim v_n= ± ∞\) thì \(\lim \frac{u_{n}}{v_{n}}= 0\).
  • Nếu \(\lim u_n=a > 0\), \(\lim v_n= 0\) và \(v_n> 0\) với mọi \(n\) thì \(\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = +∞\)
  • Nếu \(\lim u_n= +∞\) và \(\lim v_n= a > 0\) thì \(\lim (u_n.v_n) = +∞\).

1.5. Cấp số nhân lùi vô hạn

  • Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội \(q\) thỏa mãn \(|q| <1\).
  • Công thức tính tổng \(S\) của cấp số lùi vô hạn \((u_n)\): \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = {{{u_1}} \over {1 - q}}\)

2. Bài tập minh họa

2.1. Bài tập 1

Biết dãy số \((u_n)\) thỏa mãn \(|u_n-1| < \dfrac{1}{n^{3}}\) với mọi \(n\). Chứng minh rằng \(\lim u_n=1\).

Hướng dẫn giải

Vì \(\lim \dfrac{1}{{{n^3}}} = 0\) nên theo định nghĩa 1 thì

\(\dfrac{1}{{{n^3}}}\) luôn nhỏ hơn một số dương \(A\) bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

(\(\dfrac{1}{{{n^3}}} < A \Leftrightarrow {n^3} > \dfrac{1}{A} \Rightarrow n > \sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}\), nghĩa là từ số hạng thứ \(n\) mà \(n > \sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}\) thì \(\dfrac{1}{{{n^3}}}\) luôn nhỏ hơn \(A\))

Mà \(\left| {{u_n} - 1} \right| < \dfrac{1}{{{n^3}}}\) nên \( \left| {{u_n} - 1} \right|\) luôn nhỏ hơn một số dương \(A\) bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi

(số hạng thứ \(n\) mà \(n > \sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}\))

Theo định nghĩa dãy số có giới hạn \(0\) thì \(\lim \left( {{u_n} - 1} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \lim {u_n} = 1\). (đpcm)

2.2. Bài tập 2

Tìm giới hạn sau:

a) \(\lim \dfrac{6n - 1}{3n +2}\)

b) \(\lim\dfrac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\lim \dfrac{{6n - 1}}{{3n + 2}} \) \(= \lim \dfrac{{n\left( {6 - \dfrac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {3 + \dfrac{2}{n}} \right)}}\) \( = \lim \dfrac{{6 - \dfrac{1}{n}}}{{3 + \dfrac{2}{n}}} \) \(= \dfrac{{\lim \left( {6 - \dfrac{1}{n}} \right)}}{{\lim \left( {3 + \dfrac{2}{n}} \right)}}\) \( = \dfrac{{6 - \lim \dfrac{1}{n}}}{{3 + \lim \dfrac{2}{n}}} \) \(= \dfrac{{6 - 0}}{{3 + 0}} = 2\)

b) \(\lim \dfrac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}\) = \(\lim \dfrac{\sqrt{{n^2}\left( {9 - {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} \right)}}{n(4-\dfrac{2}{n})}\)= \(\lim \dfrac{\sqrt{9-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}}}{4-\dfrac{2}{n}}\) =\(\dfrac{\sqrt{9}}{4}\)= \(\dfrac{3}{4}\).

2.3. Bài tập 3

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim{\rm{ }}( - {n^2} + {\rm{ }}5n{\rm{ }}-{\rm{ }}2)\);

b) \(\lim (\sqrt{n^{2}-n}- n)\)

Hướng dẫn giải

a) 

\(\begin{array}{l}
\lim \left( { - {n^2} + 5n - 2} \right) \\= \lim {n^2}\left( { - 1 + \dfrac{5}{n} - \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right)
\end{array}\)

Vì \(\lim {n^2} = + \infty \) và
\(\lim \left( { - 1 + \dfrac{5}{n} - \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right) \)

\( =  - 1 + \lim \dfrac{5}{n} - \lim \dfrac{2}{{{n^2}}}\)

\(=-1<0\)
\(\Rightarrow \lim \left( { - {n^2} + 5n - 2} \right) = - \infty \)

b) \(\lim (\sqrt{n^{2}-n} - n) \) \(= \lim \dfrac{(\sqrt{n^{2}-n}-n)(\sqrt{n^{2}-n}+n)}{\sqrt{n^{2}-n}+n}\) 
\(= \lim \dfrac{n^{2}-n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}-n}+n} \) \(= \lim \dfrac{-n}{\sqrt{{n^2}\left( {1 - {1 \over n}} \right)}+ n} \) \(= \lim \dfrac{-1}{\sqrt{1-\dfrac{1}{n}}+1} = \dfrac{-1}{2}\).

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Biết rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là \(0\). Giải thích vì sao dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \left| {{u_n}} \right|\) cũng có giới hạn là \(0\). Chiều ngược lại có đúng không ?

Câu 2: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi \(\displaystyle n \to  + \infty \)

a) \(\displaystyle {a_n} = {{2n - 3{n^3} + 1} \over {{n^3} + {n^2}}}\)

b) \(\displaystyle {b_n} = {{3{n^3} - 5n + 1} \over {{n^2} + 4}}\)

c) \(\displaystyle {c_n} = {{2n\sqrt n } \over {{n^2} + 2n - 1}}\)

Câu 3: Tính các giới hạn sau

a) \(\lim \left( {{n^2} + 2n - 5} \right)\)

b) \(\lim \left( { - {n^3} - 3{n^2} - 2} \right)\)

c) \(\lim \left[ {{4^n} + {{\left( { - 2} \right)}^n}} \right]\)

Câu 4: Tính giá trị của

a) \(A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} - n + 2}}.\)

b) \(B = \lim \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}.\)

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng 0?

A. \((0,999)^{n}\)

B. \((-1,01)^{n}\)

C. \((1,01)^{n}\)

D. \((-2,001)^{n}\)

Câu 2: \(lim\frac{(-1)^{n}}{n+5}\) bằng:

A. \(\frac{-1}{5}\)

B. \(\frac{-1}{6}\)

C. \(-1\)

D. \(0\)

Câu 3: \(lim\frac{3n^{4}-2n+3}{4n^{4}+2n+1}\) bằng:

A. \(0\)

B. \(+\infty\)

C. \(\frac{3}{4}\)

D. \(\frac{4}{7}\)

Câu 4: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. \(u_{n}=\frac{n^{2}-2n}{5n+5n^{2}}\)

B. \(u_{n}=\frac{1-2n}{5n+5}\)

C. \(u_{n}=\frac{1-2n^{2}}{5n+5}\)

D. \(u_{n}=\frac{1-2n}{5n+5n^{2}}\)

Câu 5: Trong giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng -1?

A. \(lim\frac{2n^{2}-3}{-2n^{3}-4}\)

B. \(lim\frac{2n^{2}-3}{-2n^{2}-1}\)

C. \(lim\frac{2n^{2}-3}{-2n^{3}+2n^{2}}\)

D. \(lim\frac{2n^{3}-3}{-2n^{2}-1}\)

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Giới hạn của dãy số Toán 11 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

  • Nắm được khái niệm giới hạn của dãy số, một số định lí về giới hạn của dãy số
  • Biết cách tính giới hạn của dãy số
  • Nắm được định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn, biết cách tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Ngày:15/08/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM