Toán 11 Chương 1 Bài 7: Phép vị tự

- Cho điểm O cố định và một số thực k không đổi, \(k \ne 0\). Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho cho \(\overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \), được gọi là phép vị tự tâm O với tỉ số k.

Kí hiệu: V(O,k) (O được gọi là tâm vị tự).

\({V_{\left( {O,k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \)

\(\left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {OA'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|}} = \frac{6}{3} = 2 \Rightarrow k =  - 2\)

(do \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OA'} \) ngược hướng)

Nhận xét: Trong phép vị tự có một điểm bất động là tâm vị tự.

• Khi k = 1 thì phép vị tự \({V_{\left( {O,k} \right)}}\) là phép đồng nhất.
• Khi k = -1 thì phép vị tự \({V_{\left( {O,k} \right)}}\)  chính là phép đối xứng tâm O (Khi đó tâm vị tự trở thành tâm đối xứng).
• Qua phép vị tự tâm O với tỉ số k biến M thành M’ thì phép vị tự tâm O tỉ số \(\frac{1}{k}\)sẽ biến M’ thành M: \({V_{\left( {O,k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow {V_{\left( {O,\frac{1}{k}} \right)}}\left( {M'} \right) = M.\)

Tính chất 1:

- Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành M’ và N’ thì \(\overrightarrow {M'N'}  = k\overrightarrow {MN} \) và M’N’ = MN.

\(\left\{ \begin{array}{l}{V_{\left( {O,k} \right)}}\left( M \right) = M'\\{V_{\left( {O,k} \right)}}\left( N \right) = N'\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {M'N'}  = k\overrightarrow {MN}  \Rightarrow M'N' = \left| k \right|MN\)

Tính chất 2: Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.

- Hệ quả: Phép vị tự tỉ số k:

• Biến đường thẳng không đi qua tâm vị tự thành đường thẳng song song với nó.

• Biến đường thẳng qua tâm vị tự thành chính nó.

• Biến tia thành tia.

• Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với \(\left| k \right|\).

• Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số số đồng dạng là \(\left| k \right|\).

• Biến góc thành góc bằng nó.

Tính chất 3: Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính \(\left| k \right|\)R.

Chú ý: Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I’;R’) thì: \(\left| k \right| = \frac{{R'}}{R}\) và \(\overrightarrow {OI'}  = k\overrightarrow {OI} \).

• Với hai đường tròn bất kì luôn tồn tại một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm vị tự của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

• Nếu tâm vị tự k > 0 thì tâm vị tự đó được gọi là tâm vị tự ngoài, nếu tâm vị tự k < 0 thì tâm vị tự đó được gọi là tâm vị tự trong.

• Hai đường tròn bán kính bằng nhau và khác tâm thì chỉ có một tâm vị tự trong và đó chính là trung điểm của đoạn nối tâm.

• Hai đường tròn có bán kính khác nhau thì có một tâm vị tự trong và một tâm vị tự ngoài.

• Đường tròn (C) biến thành chính nó khi và chỉ khi đường tròn (C) có tâm là tâm vị tự và có tỉ số vị tự \(k =  \pm \)1.

- Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn:

Tìm tâm vị tự của hai đường tròn \(\left( {I;R} \right)\) và \(\left( {I';R'} \right)\).

Trường hợp 1: I trùng với I’

- Tâm vị tự: Chính là tâm I của hai đường tròn.

- Tỷ số vị tự: \(\left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {IM'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {IM} } \right|}} = \frac{{R'}}{R} \Rightarrow k =  \pm \frac{{R'}}{R}.\)

Trường hợp 2: I khác I’ và \(R \ne R'\)

- Tâm vị tự: Tâm vị tự ngoài là O, tâm vị tự trong là O1 trên hình vẽ.

- Tỷ số vị tự:

• Tâm O: \(\left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {OM'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OM} } \right|}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {I'M'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {IM} } \right|}} = \frac{{R'}}{R} \Rightarrow k = \frac{{R'}}{R}\) (do \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OM'} \) cùng hướng)
• Tâm O₁:

\(\left| {{k_1}} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{O_1}M''} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{O_1}M} } \right|}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {I'M''} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {IM} } \right|}} = \frac{{R'}}{R} \Rightarrow {k_1} =  - \frac{{R'}}{R}\)

(do \(\overrightarrow {{O_1}M} \) và \(\overrightarrow {{O_1}M''} \) ngược hướng)

Trường hợp 3: I khác I’ và \(R = R'\)

- Tâm vị tự: Chính à O1 trên hình vẽ.

- Tỷ số vị tự:

\(\left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{O_1}M''} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{O_1}M} } \right|}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {I'M''} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {IM} } \right|}} = \frac{R}{R} = 1 \Rightarrow k =  - 1\)

(do \(\overrightarrow {{O_1}M} \) và \(\overrightarrow {{O_1}M''} \) ngược hướng)

Câu 1: Cho \(\Delta ABC\). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tìm phép vị tự biến B và C tương ứng thành E và F.

Hướng dẫn giải

Vì BE và CF cắt nhau tại A nên A là tâm vị tự cần tìm.

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{V_{\left( {A,k} \right)}}\left( B \right) = E \Leftrightarrow \overrightarrow {AE}  = k\overrightarrow {AB} \\{V_{\left( {A,k} \right)}}\left( C \right) = F \Leftrightarrow \overrightarrow {AF}  = k\overrightarrow {AC} \end{array} \right.\)

\(\left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AE} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {AF} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{1}{2}\)

 (do \(\overrightarrow {AE} \) và \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AF} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng)

Vậy phép vị tự cần tìm là \({V_{\left( {A,\frac{1}{2}} \right)}}.\)

Câu 2: Cho \(\Delta ABC\) có A’, B’, C’ theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Tìm một phép vị tự biến \(\Delta ABC\) thành \(\Delta A'B'C'\).

Hướng dẫn giải

-Vì AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại G nên G là tâm vị tự cần tìm.

-Ta có: \({V_{\left( {G,k} \right)}}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {GA'}  = k\overrightarrow {GA} \)

\(\left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {GA'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {GA} } \right|}} = \frac{1}{2} \Rightarrow k =  - \frac{1}{2}\)

(do \(\overrightarrow {GA} \) và \(\overrightarrow {GA'} \) ngược hướng)

Vậy phép vị tự cần tìm là \({V_{\left( {G, - \frac{1}{2}} \right)}}.\)

Câu 3: Cho hai đường tròn \(\left( {O;2R} \right)\) và \(\left( {O';R} \right)\) ngoài nhau. Tìm phép vị tự biến \(\left( {O;2R} \right)\) thành \(\left( {O';R} \right)\).

Hướng dẫn giải

Lấy M bất kỳ trên \(\left( {O;2R} \right)\), vẽ đường thẳng qua O’ song song với OM cắt \(\left( {O';R} \right)\) tại M’ và N’. Gọi MM’ cắt OO’ tại I, MN’ cắt OO’ tại J.

I là tâm vị tự ngoài, tỷ số vị tự \(k = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\)

J là tâm vị tự trong, tỷ số vị tự \(k =  - \frac{R}{{2R}} =  - \frac{1}{2}\)

Câu 4:

a) Cho \(A(1; - 3).\) Tìm tọa độ \(A' = {V_{\left( {O; - 2} \right)}}(A).\)

b) Cho \(d:x + 2y + 3 = 0.\) Tìm phương trình \(d' = {V_{\left( {I;2} \right)}}(d)\) biết I(1;2).

Hướng dẫn giải

a) Gọi \({\rm{A' (x';y')}}\)

Ta có 

\(A' = {V_{\left( {O; - 2} \right)}}(A) \\ \Rightarrow \overrightarrow {OA'} = - 2.\overrightarrow {OA}\\ \Rightarrow (x';y') = - 2(1; - 3) \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - 2\\y' = 6\end{array} \right. \\ \Rightarrow A'( - 2;6).\)

b) Chọn \(M( - 3;0) \in d.\)

Gọi \(M' = {V_{(I;k)}}(M)\)

Ta có: \(\overrightarrow {IM}  = \left( { - 4; - 2} \right)\)

\(M' = {V_{(I;2)}}(M) \\ \Rightarrow \overrightarrow {IM'} = 2\overrightarrow {IM} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M}' - 1 = - 8\\{y_M}' - 2 = - 4\end{array} \right. \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M}' = - 7\\{y_M}' = - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M'( - 7; - 2) \in d'\)

Theo tính chất của phép vị tự d’ song song hoặc trùng với d suy ra đường thẳng d’ có một VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right).\)

Vậy phương trình d’ là: \(1(x + 7) + 2(y + 2) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 11 = 0.\)

Câu 5: Tìm ảnh của (C): \({(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} = 5\) qua phép vị tự tâm I(1;2), tỉ số k=-2.

Hướng dẫn giải

Đường tròn \((C):{(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} = 5\) có tâm \(M(3; - 1),\) bán kính \(R = \sqrt 5 .\)

Gọi đường tròn (C’) có tâm M’(x’;y’), bán kính R’ là ảnh của của (C).

Do \(k =  - 2 \Rightarrow R' = 2\sqrt 5 .\)

Ta có: \(\overrightarrow {IM}  = \left( {2; - 3} \right)\)

\({V_{\left( {I; - 2} \right)}}(M) = M' \\ \Rightarrow \overrightarrow {IM'} = - 2\overrightarrow {IM} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - 1 = - 4\\y' - 2 = 6\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - 3\\y' = 8\end{array} \right. \Rightarrow M'( - 3;8).\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \({(x + 3)^2} + {(y - 8)^2} = 20.\)

Câu 1: Cho \(\Delta ABC\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tìm phép vị tự biến A và C tương ứng thành M và N.

Câu 2: Cho hình vuông ABCD có A’, B’, C’. D’ theo thứ tự là trung điểm của AB; BC, CD, DA. Tìm một phép vị tự biến hình vuông ABCD thành hình vuông A’B’C’D’.

Câu 3: Cho hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';3R} \right)\) ngoài nhau. Tìm phép vị tự biến \(\left( {O;R} \right)\) thành \(\left( {O';3R} \right)\).

Câu 4:

a) Cho \(A(2; - 4).\) Tìm tọa độ\(A' = {V_{\left( {O; - 1} \right)}}(A).\)

b) Cho \(d:3x + 5y + 7 = 0.\) Tìm phương trình \(d' = {V_{\left( {I;3} \right)}}(d)\) biết I(1;2).

Câu 5: Tìm ảnh của (C): \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} = 3\)  qua phép vị tự tâm I(2;2), tỉ số k=3.

Câu 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O. gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Phép vị tự tâm G tỉ số -1/2 biến:

A. Điểm A thành điểm G

B. Điểm A thành điểm D

C.  Điểm D thành điểm A 

D. Điểm G thành điểm A

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường (C) có phương trình  x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0. Qua phép vị tự tâm H(1;3) tỉ số k = -2, đường tròn (C) biến thành đường tròn (C’) có phương trình.

A. x² + y² + 2x - 30y + 60 = 0

B. x² + y² - 2x - 30y + 62 = 0

C.  x² + y² + 2x - 30y + 62 = 0

D. x² + y² - 2x - 30y + 60 = 0

Câu 3: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R) (O không trùng với O’). Có bao nhiều phép vị tự biến (O) thành (O’)?

A. Không có phép vị tự nào

B. Có một phép vị tự duy nhất 

C. Có hai phép vị tự 

D. Có vô số phép vị tự

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho I(1;1). Xét phép vị tự V tâm I, tỉ số k=3, tìm ảnh d’ của đường thẳng \(d:x + 2y = 0,\) qua phép vị tự V.

A. \(x + 2y + 2 = 0.\)

B. \(x + 2y + 4 = 0.\)

C. \(x + 2y + 6 = 0.\)

D. \(x + 2y + 8 = 0.\)

Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho I(1;2). Xét phép vị tự V tâm I, tỉ số k=2, tìm ảnh (C’) của đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} = 4\) qua phép vị tự V.

A. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 16.\)

B. \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} = 16.\)

C. \({(x + 2)^2} + {(y + 1)^2} = 16\)

D. \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 16.\)

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Khái niệm và những tính chất quan trọng của Phép vị tự
• Làm được các bài Toán liên quan.