Toán 11 Chương 2 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Công thức nhị thức Niu - Tơn

1.2. Tam giác Pa-xcan

2. Bài tập minh họa

2.1. Bài tập 1

2.2. Bài tập 2

Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

${(a + 2b)^5} = {a^5} + 5{a^4}.2b + 10{a^3}.{(2b)^2} + 10{a^2}{(2b)^3}$

$+ 5a.{(2b)^4} + {(2b)^5}$$={a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}$

$\begin{array}{l} C2:{\left( {a + 2b} \right)^5}  \\ = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}{\left( {2b} \right)^1} + C_5^2{a^3}{\left( {2b} \right)^2}\\ + C_5^3{a^2}{\left( {2b} \right)^3} + C_5^4{a^1}{\left( {2b} \right)^4} + C_5^5{\left( {2b} \right)^5}\\ = {a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5} \end{array}$

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển của biểu thức: ${\left( {x + {2 \over {{x^2}}}} \right)^6}$.

Hướng dẫn giải

Số hạng tổng quát:

$\begin{array}{l} {T_{k + 1}} = C_6^k.{x^{6 - k}}.{\left( {\dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^k}\\ = C_6^k.{x^{6 - k}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{{\left( {{x^2}} \right)}^k}}}\\ = C_6^k.{x^{6 - k}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{x^{2k}}}}\\ = C_6^k{x^{6 - k - 2k}}{.2^k}\\ = C_6^k{.2^k}.{x^{6 - 3k}} \end{array}$

Số hạng chứa $x^3$ ứng với $6 - 3k = 3 \Leftrightarrow k = 1$

Do đó hệ số của $x^3$ trong khai triển của biểu thức đã cho là: $C_6^1.2^1 = 2.6 = 12$

Câu 1: Tìm số hạng thứ năm trong khai triển ${\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)^{10}}$, mà trong khai triển đó số mũ của $x$ giảm dần.

Câu 2: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn: ${\left( {a{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 2 } \right)^6}$

Câu 3: Viết khai triển của ${\left( {1 + x} \right)^6}$

a) Dùng ba số hạng đầu để tính gần đúng $1,{01^6}$.

b) Dùng máy tính để kiểm tra kết quả trên

Câu 4: Trong khai triển ${\left( {1 + ax} \right)^n}$ ta có số hạng đầu là $1$, số hạng thứ hai là $24x$, số hạng thứ ba là $252{x^2}$. Hãy tìm $a$ và $n$.

Câu 1: Tìm hệ số của $x^{4}$ trong khai triển $P(x)=(1-x-3x^{3})^{n}$ với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức $C_{n}^{n-2}+6n+5=A_{n+1}^{2}$

A. 210

B. 840

C. 480

D. 270

Câu 2: Tìm hệ số của $x^{10}$ trong khai triển $(1+x+x^{2}+x^{3})^{5}$

A. 5

B. 50

C. 101

D. 105

Câu 3: Đa thức $P(x)=32x^{5}-80x^{4}+80x^{3}-40x^{2}+10x-1$ là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

A. $(1-2x)^{5}$

B. $(1+2x)^{5}$

C. $(2x-1)^{5}$

D. $(x-1)^{5}$

Câu 4: Số hạng không chứa x trong khai triển của $(x-\frac{1}{x^{3}})^{8}$ là:

A. -28

B. 28 

C. 56

D. -56

Câu 5: Hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển của $(x+\frac{2}{x^{2}})^{10}$ là:

A. 85

B. 108

C. 180

D. 95

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Khai triển thành thạo nhị thức niutơn với n xỏc định.
• Xác định số hạng thứ k trong khai triển của khai triển nhị thức Niu-tơn
• Biết tính tổng nhờ công thức Niutơn.
• Sử dụng thành thạo tam giác Pascal để triển khai nhị thức Niutơn.