Toán 11 Chương 5 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

\((c)' = 0\)       ( \(c\) là hằng số);

\((x^n)' = nx^{n-1}\) (\(n\in {\mathbb N}^*, x ∈\mathbb R\));

\((\sqrt x)' =  \frac{1}{2\sqrt{x}}\) (\(x > 0\)).

\((u + v)' = u' + v' \)

\((u - v)' = u' - v'\)

\((uv)' = u'v + uv'\)

\((ku)' = ku'\) (\(k\) là hằng số)

\( \left ( \frac{u}{v} \right )^{^{'}}\) = \( \frac{u'v - uv'}{v^{2}}\) , ( \(v = v(x) ≠ 0\));

\( \left ( \frac{1}{v} \right )^{'}\) = \( \frac{-v'}{v^{2}}\) , ( \(v = v(x) ≠ 0\)).

\(y_x' = y_u'.u_x'\)

Hệ quả

• \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'\); 
• \((\sqrt u)' =  \frac{u'}{2\sqrt{u}}\).

Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 7 + x - x^2\) tại \(x_0 = 1\)

b) \(y =  x^3- 2x + 1\) tại \(x_0= 2\)

Hướng dẫn giải

a) Giả sử  \(∆x\)  là số gia của đối số tại \(x_0= 1\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\\Delta y = 7 + \left( {1 + \Delta x} \right) - {\left( {1 + \Delta x} \right)^2} - 7\\\Delta y = 1 + \Delta x - 1 - 2\Delta x - {\left( {\Delta x} \right)^2} \\\Delta y = -{\left( {\Delta x} \right)^2}  - \Delta x\\\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = -\Delta x - 1\\\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( -{\Delta x - 1} \right) = - 1\end{array}\)

Vậy \(f'(1) = -1\).

b) Giả sử  \(∆x\)  là số gia của số đối tại \(x_0= 2\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right)\\
\Delta y = {\left( {2 + \Delta x} \right)^3} - 2\left( {2 + \Delta x} \right) + 1 - 5\\
\Delta y = 8 + 12\Delta x + 6{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3} - 4 - 2\Delta x - 4\\
\Delta y = {\left( {\Delta x} \right)^3} + 6{\left( {\Delta x} \right)^2} + 10\Delta x\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 6\Delta x + 10\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {{\left( {\Delta x} \right)^2} + 6\Delta x + 10} \right) = 10
\end{array}\)

Vậy \(f'(2) = 10\).

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = x^5- 4 x^3+ 2x - 3\)

b) \(y =  \dfrac{1}{4} -  \dfrac{1}{3}x  + x^2 - 0,5x^4\)

Hướng dẫn giải

a) 

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {{x^5} - 4{x^3} + 2x - 3} \right)'\\
= \left( {{x^5}} \right)' - \left( {4{x^3}} \right)' + \left( {2x} \right)' - \left( 3 \right)'\\
= \left( {{x^5}} \right)' - 4.\left( {{x^3}} \right)' + 2.\left( x \right)' - 0\\
= 5{x^4} - 4.3{x^2} + 2\\
= 5{x^4} - 12{x^2} + 2
\end{array}\)

b) 

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3}x + {x^2} - 0,5{x^4}} \right)'\\
= \left( {\dfrac{1}{4}} \right)' - \left( {\dfrac{1}{3}x} \right)' + \left( {{x^2}} \right)' - \left( {0,5{x^4}} \right)'\\
= 0 - \dfrac{1}{3}\left( x \right)' + \left( {{x^2}} \right)' - 0,5\left( {{x^4}} \right)'\\
= - \dfrac{1}{3} + 2x - 0,5.4{x^3}\\
= - \dfrac{1}{3} + 2x - 2{x^3}
\end{array}\)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y =  \dfrac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\) ( \(a\) là hằng số)

b) \(y =  \dfrac{1+x}{\sqrt{1-x}}\)

Hướng dẫn giải

a)

\(\begin{array}{l}
y = \dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\,\,\left( {a = const} \right)\\y' = \dfrac{{\left( {{x^3}} \right)'\sqrt {{a^2} - {x^2}}  - {x^3}\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{3{x^2}\sqrt {{a^2} - {x^2}}  - {x^3}.\dfrac{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\\
y' = \dfrac{{3{x^2}\sqrt {{a^2} - {x^2}} - {x^3}.\dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{a^2} - {x^2}}}\\
y' = \dfrac{{3{x^2}\left( {{a^2} - {x^2}} \right) + {x^4}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^3}}}\\
y' = \dfrac{{3{x^2}{a^2} - 2{x^4}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^3}}}\\
\end{array}\)

b) Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x\) ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1}  - \sqrt {3x + 1} \\ = \dfrac{{3\left( {x + \Delta x} \right) + 1 - \left( {3x + 1} \right)}}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{{3\Delta x}}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + 0} \right) + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }}\end{array}\)

Câu 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: \(\displaystyle y = {2 \over x} - {4 \over {{x^2}}} + {5 \over {{x^3}}} - {6 \over {7{x^4}}}.\)

Câu 2: Tìm đạo hàm của hàm số sau:

a) \(y = \left( {9 - 2x} \right)\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right).\)

b) \(y = {{5 - 3x - {x^2}} \over {x - 2}}.\)

Câu 3: Tìm đạo hàm của hàm số sau:

\(y = \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3}.\)

Câu 4: Rút gọn: 

\(f\left( x \right) = \left( {{{x - 1} \over {2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + 1} \right).{2 \over {\sqrt x  + 1}}\) \(:{\left( {{{\sqrt {x - 2} } \over {\sqrt {x + 2}  + \sqrt {x - 2} }} + {{x - 2} \over {\sqrt {{x^2} - 4}  - x + 2}}} \right)^2}\) và tìm f'(x)

Câu 1: Cho hàm số \(f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-2\sqrt{2}x^{2}+8x-1\), có đao hàm là \(f'(x)\). Tập hợp những giá trị của x để \(f'(x)=0\) là:

A. \(\left \{ -2\sqrt{2} \right \}\)

B. \(\left \{ 2;\sqrt{2} \right \}\)

C. \(\left \{ -4\sqrt{2} \right \}\)

D. \(\left \{ 2\sqrt{2} \right \}\)

Câu 2: Cho hàm số \(y=3x^{3}+x^{2}+1\), có đạo hàm \(y'\). Để \(y'\leq 0\) thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

A. \([-\frac{2}{9};0]\)

B. \([-\frac{9}{2};0]\)

C. \(\left ( -\infty ;-\frac{9}{2} \right ]\cup \left [ 0;+\infty  \right )\)

D. \(\left ( -\infty ;-\frac{2}{9} \right ]\cup \left [ 0;+\infty  \right )\)

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số \(f(x)=-x^{4}+4x^{3}-3x^{2}+2x+1\) tại điểm \(x=-1\)

A. \(f'(-1)=4\)

B. \('(-1)=14\)

C. \(f'(-1)=15\)

D. \(f'(-1)=24\) 

Câu 4: Cho hàm số \(\frac{1}{3}x^{3}-(2m+1)x^{2}-mx-4\), có đạo hàm \(y'\). Tìm tất cả các giá trị của m \(y'\geq 0\) với \(\forall x\in \mathbb{R}\)

A. \(m\in (-1;-\frac{1}{4})\)

B. \(m\in [-1;-\frac{1}{4}]\)

C. \(m\in \left ( -\infty ;-1 \right ]\cup \left [ \frac{-1}{4};+\infty  \right )\)

D. \(m\in [-1;\frac{1}{4}]\)

Câu 5: Cho hàm số \(y=-\frac{1}{3}mx^{3}+(m-1)x^{2}-mx+3\), có đạo hàm là \(y'\). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_{1},x_{2}\) thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=6\).

A. \(m=-1+\sqrt{2};m=-1-\sqrt{2}\)

B. \(m=-1-\sqrt{2}\)

C. \(m=1+\sqrt{2};m=1-\sqrt{2}\)

D. \(m=-1+\sqrt{2}\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm vững công thức tính đạo hàm của 1 số hàm số thường gặp, các phép toán đạo hàm: tổng, hiệu, tích, thương và nắm được khái niệm hàm số hợp, công thức tính đạo hàm của hàm số hợp.
• Biết vận dụng các công thức về: đạo hàm của 1 số hàm số thường gặp , các phép toán đạo hàm: tổng, hiệu, tích, thương và công thức tính đạo hàm của hàm số hợp.