Toán 11 Chương 5 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác
Ở bài 2, các em đã được học quy tắc tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp. Bài 3 Đạo hàm của hàm số lượng giác sẽ tiếp tục giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm của các hàm số lượng giác
Mục lục nội dung
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Đạo hàm của hàm số y = sinx
Hàm số \(y=sin x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x.\)
Nếu \(y=sin u\) và \(u=u(x)\) thì \((sin u)'=u'. \cos u.\)
1.2. Đạo hàm của hàm số y = cosx
Hàm số \(y=\cos x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cos x} \right)' =-\sin x.\)
Nếu \(y=\cos u\) và \(u=u(x)\) thì \((cos u)'=-u'. \sin u.\)
1.3. Đạo hàm của hàm số y = tanx
Hàm số \(y=\tan x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)
Nếu \(y=tan u\) và \(u=u(x)\) thì \(\left( {\tan u} \right)' = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}.\)
1.4. Đạo hàm của hàm số y = cotx
Hàm số \(y=\cot x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cot x} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)
Nếu \(y=\cot u\) và \(u=u(x)\) thì \(\left( {\cot x} \right)' = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\).
2. Bài tập minh họa
2.1. Bài tập 1
Tính đạo hàm của hàm số
a) \(y = \sin ({\pi \over 2} - x)\)
b) \(f(x) = {{\sin \,x} \over {\cos \,x}}\,(x \ne {\pi \over 2} + k\pi ;\,k \in Z)\)
c) y = tan (\({\pi \over 2}\) – x) với x ≠ kπ, k ∈ Z
Hướng dẫn giải
a) y' = (sin(\({\pi \over 2}\) - x) )'
Đặt u = \({\pi \over 2}\) - x thì u' = -1
y' = u' cosu = -1 cos(\({\pi \over 2}\) - x) = -sinx (do cos(\({\pi \over 2}\) - x) = sinx ).
b)
\(\eqalign{
& f'(x) = ({{\sin \,x} \over {\cos \,x}}) '= {{(\sin \,x)'\cos \,x - \sin \,x.(\cos \,x)'} \over {\cos {\,^2}x}} \cr
& = {{\cos {\,^2}x + {{\sin }^2}x} \over {\cos {\,^2}x}} = {1 \over {\cos {\,^2}x}} \cr} \)
c) Đặt u = \({\pi \over 2}\) - x thì u' = -1
\(y' = {{u'} \over {{{\cos }^2}u}} = {{ - 1} \over {{{\cos }^2}u}} = {{ - 1} \over {{{\cos }^2}({\pi \over 2} - x)}} = {{ - 1} \over {{{\sin }^2}x}}\) (do cos(\({\pi \over 2}\)-x) = sinx)
2.2. Bài tập 2
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \dfrac{x-1}{5x-2}\)
b) \(y = \dfrac{2x+3}{7-3x}\)
Hướng dẫn giải
a)
\(\begin{array}{l}\,\,y = \dfrac{{x - 1}}{{5x - 2}}\\ \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)'\left( {5x - 2} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)'}}{{{{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{\left( {5x - 2} \right) - 5\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,y' = \dfrac{{5x - 2 - 5x + 5}}{{{{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,y' = \dfrac{3}{{{{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}\\\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}\,\,y = \dfrac{{2x + 3}}{{7 - 3x}}\\ \Rightarrow y' = \dfrac{{\left( {2x + 3} \right)'\left( {7 - 3x} \right) - \left( {2x + 3} \right)\left( {7 - 3x} \right)'}}{{{{\left( {7 - 3x} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{2\left( {7 - 3x} \right) - \left( {2x + 3} \right)\left( { - 3} \right)}}{{{{\left( {7 - 3x} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{2\left( {7 - 3x} \right) + 3\left( {2x + 3} \right)}}{{{{\left( {7 - 3x} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,y' = \dfrac{{14 - 6x + 6x + 9}}{{{{\left( {7 - 3x} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,y' = \dfrac{{23}}{{{{\left( {7 - 3x} \right)}^2}}}\\\end{array}\)
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\(\begin{array}{l}
a)\,\,y = \left( {9 - 2x} \right)\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right)\\
b)\,\,y = \left( {6\sqrt x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)\left( {7x - 3} \right)\\
c)\,\,y = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \\
d)\,y = {\tan ^2}x - {\cot}{x^2}\\
e)\,\,y = \cos \dfrac{x}{{1 + x}}
\end{array}\)
Câu 2: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
a) \(y = \sqrt {{{\tan }^3}x} .\)
b) \(y = {2 \over {\cos \left( {{\pi \over 6} - 5x} \right)}}.\)
c) \(y = \sqrt x + {1 \over {\sqrt x }} + 0,1{x^{10}}.\)
Câu 3: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
a) \(g\left( \varphi \right) = {{\cos \varphi + \sin \varphi } \over {1 - \cos \varphi }}.\)
b) \(y = {\sin ^2}3x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}.\)
c) \(y = \sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } .\)
Câu 4: Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0,\) biết rằng
a) \(f\left( x \right) = 3x + {{60} \over x} - {{64} \over {{x^3}}} + 5\)
b) \(\displaystyle f\left( x \right) = {{\sin 3x} \over 3} + \cos x\) \(\displaystyle - \sqrt 3 \left( {\sin x + {{\cos 3x} \over 3}} \right).\)
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y=sin(sinx)\)
A. \(y'=cos(sinx)\)
B. \(y'=cos(cosx)\)
C. \(y'=cosx.cos(sinx)\)
D. \(y'=cosx.cos(cosx)\)
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số \(y=cos(tanx)\)
A. \(y'=sin(tanx).\frac{1}{cos^{2}x}\)
B. \(y'=-sin(tanx).\frac{1}{cos^{2}x}\)
C. \(y'=sin(tanx)\)
D. \(y'=-sin(tanx)\)
Câu 3: Đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt{sin^{3}(2x+1)}\) bằng biểu thức nào sau đây?
A. \(\frac{3sin^{2}(2x+1)}{2\sqrt{sin^{3}(2x+1)}}\)
B. \(3\sqrt{sin(2x+1)} cos(2x+1)\)
C. \(\frac{3sin^{2}2(2x+1)}{2\sqrt{sin^{3}(2x+1)}}\)
D. \(3 \sqrt{sin(2x+1)}\)
Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số \(y=-\frac{1}{2}sin(\frac{\pi}{3}-x^{2})\)
A. \(y'=xcos(\frac{\pi}{3}-x^{2})\)
B. \(y'=\frac{1}{2} x^{2}cos(\frac{\pi}{3}-x^{2})\)
C. \(y'=\frac{1}{2} xsin(\frac{\pi}{3}-x^{2})\)
D. \(y'=\frac{1}{2} xcos(\frac{\pi}{3}-x^{2})\)
Câu 5: Đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt{3+2tanx}\) bằng biểu thức nào sau đây?
A. \(\frac{1}{sin^{2}x \sqrt{3+2tanx}}\)
B. \(\frac{-1}{sin^{2}x \sqrt{3+2tanx}}\)
C. \(\frac{1}{cos^{2}x \sqrt{3+2tanx}}\)
D. \(\frac{1}{cosx \sqrt{3+2tanx}}\)
3.3. Trắc nghiệm Online
4. Kết luận
Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:
- Biết vận dụng định nghĩa và các quy tắc đạo hàm để chứng minh đạo hàm của một số hàm phân thức và lượng giác, suy ra các công thức đạo hàm của hàm số hợp trong vài trường hợp đặc biệt thường dùng.
- Nắm vững cách chứng minh các quy tắc đó , nắm vững kết quả giới hạn lượng giác .