Toán 11 Chương 5 Bài 4: Vi phân

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $(a;b)$ và có đạo hàm tại $x ∈ (a;b)$. Giả sử $∆x$ là số gia của $x$ sao cho $x + ∆x ∈ (a;b)$.

Tích $f'(x)∆x$ (hay $y'.∆x$) được gọi là vi phân của hàm số $y = f(x)$ tại $x$ ứng với số gia $∆x$, kí hiệu là $df(x)$ hay $dy$.

Chú ý: Vì $dx = ∆x$ nên $dy = df(x) = f'(x)dx$

Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)$.

+ Nếu hàm số $f'\left( x \right)$ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số $f\left( x \right)$, kí hiệu là $f''\left( x \right)$.

a) Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số y=f(x)

Phương pháp:

• Tính đạo hàm f'(x).
• Vi phân của hàm số y=f(x) tại x là $df(x) = f'(x)dx.$
• Vi phân của hàm số y=f(x) tại $x_0$ là $df(x_0) = f'(x_0)dx.$

b) Dạng 2: Tìm giá trị gần đúng của một biểu thức

Phương pháp:

• Lập hàm số $y=f(x)$ và chọn $x_0, \Delta x$ một cách thích hợp.
• Tính đạo hàm $f'(x), f'(x_0)$ và $f(x_0).$
• Giá trị gần đúng của biểu thức $P = f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.$

Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) $y = {1 \over {{x^2}}}.$

b) $y = {{x + 2} \over {x - 1}}.$

c) $y = {\sin ^2}x.$

Hướng dẫn giải

a) 

$\begin{array}{l} y' = \dfrac{{ - \left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}} = \dfrac{{ - 2x}}{{{x^4}}} = - \dfrac{2}{{{x^3}}}\\ \Rightarrow dy = y'dx = - \dfrac{2}{{{x^3}}}dx \end{array}$

b) 

$\begin{array}{l} y'= \dfrac{{\left( {x + 2} \right)'\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{x - 1 - x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow dy = y'dx = - \dfrac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx \end{array}$

c) 

$\begin{array}{l} y' = 2\sin x\left( {\sin x} \right)'\\ = 2\sin x\cos x\\ = \sin 2x\\ \Rightarrow dy = y'dx = \sin 2xdx \end{array}$

Tìm $dy$, biết: $y =  \dfrac{\cos x}{1-x^{2}}$

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} \,\,dy = d\left( {\dfrac{{\cos x}}{{1 - {x^2}}}} \right)\\ \Rightarrow dy = \left( {\dfrac{{\cos x}}{{1 - {x^2}}}} \right)'dx\\dy = \dfrac{{\left( {\cos x} \right)'\left( {1 - {x^2}} \right) - \cos x\left( {1 - {x^2}} \right)'}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}dx\\ dy = \dfrac{{ - \sin x\left( {1 - {x^2}} \right) + 2x\cos x}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}dx \end{array}$

Tính gần đúng các giá trị sau:

a) $\sqrt {4,01}$.

b) $\sin {29^0}$.

Hướng dẫn giải

a) Đặt $f(x) = \sqrt x .$

Chọn $x_0=4$ và $\Delta x=0,01$ thì $4,01=4+0,01=x_0+\Delta x.$

$f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt x}\Rightarrow f'(4)=\frac{1}{2 \sqrt 4}=\frac{1}{4}.$

$f(4)=2.$

Vậy: $\sqrt {4,01} = f(4 + 0,01) \approx f(4) + f'(4).0,01 = 2,0025.$

b) Đặt $f(x)=sin x,$ chọn $x_0=30^0$ và $\Delta x=-1^0=-\frac{-\pi}{180}.$

Ta có: $29^0=30^0-1^0=x_0+\Delta x.$

$f'(x)=cos x,f'(30^0)=cos (30^0)=\frac{\sqrt 3}{2};f(30^0)=sin 30^0=\frac{1}{2}.$

Vậy: $sin 29^0 = f(30^0-1^0) \approx f(30^0)+f'(30^0).\left (- \frac{\pi}{180} \right )\approx 0,4849.$

Câu 1: Tìm ${{d\left( {\tan x} \right)} \over {d\left( {\cot x} \right)}}.$

Câu 2: Chứng minh rằng vi phân dy và số gia $\Delta y$ của hàm số $y = ax + b$ trùng nhau.

Câu 3: Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) $f(x) = \sin x - x\cos x$.

b) $f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}$.

c) $f(x) = x{\mathop{\rm cosx}\nolimits}$ tại $x=\frac{\pi}{2}.$

Câu 4: Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x+3}{1-2x}$

b) $y=x^{3}-9x^{2}+12x-5$

c) $y=\frac{2x+3}{2x-1}$

Câu 1: Cho hàm số $f(x)=x^{2}-x-2$. Tính $\Delta f(1)$ và $df(1)$ nếu $\Delta x=0,1$

A. $\Delta f(1)=0,11;df(1)=0,2$

B. $\Delta f(1)=0,11;df(1)=0,1$

C. $\Delta f(1)=0,2;df(1)=0,11$

D. $\Delta f(1)=0,2;df(1)=0,1$

Câu 2: Tìm vi phân của hàm số $y=tan \frac{2x-1}{3x+2}$

A. $dy=\frac{1}{cos^{2}\frac{2x-1}{3x+2}}dx$

B. $dy=\frac{1}{(3x+2)^{2}cos^{2}\frac{2x-1}{3x+2}}dx$

C. $dy=\frac{7}{(3x+2)^{2}cos^{2}\frac{2x-1}{3x+2}}dx$

D. $dy=\frac{-7}{(3x+2)^{2}cos^{2}\frac{2x-1}{3x+2}}dx$

Câu 3: Tính vi phân của hàm số $f(x)=3x^{2}-x$ tại điểm $x=2$ ứng với $\Delta =0,1$

A. $df(2)=-0,07$

B. $df(2)=10$

C. $df(2)=1,1$

D. $f(2)=-0,4$

Câu 4: Tính vi phân của hàm số $f(x)=\frac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{x}$ tại điểm $x=4$ ứng với $\Delta x=0,002$

A. $df(4)=\frac{1}{8}$

B. $df(4)=\frac{1}{8000}$

C. $df(4)=\frac{1}{400}$

D. $df(4)=\frac{1}{1600}$

Câu 5: Tính vi phân của hàm số $f(x)=sin2x$ tại điểm $x=\frac{\pi}{3}$ ứng với $\Delta x=0,001$

A. $df(\frac{\pi}{3})=-1$

B. $df(\frac{\pi}{3})=-0,1$

C. $df(\frac{\pi}{3})=0,001$

D. $df(\frac{\pi}{3})=-0,001$

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm vững định nghĩa vi phân của một hàm số và nắm được công thức tính gần đúng.
• Biết áp dụng định nghĩa để tính vi phân của hàm số và biết áp dụng công thức tính gần đúng dựa vào vi phân.