Toán 11 Chương 3 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài toán:

Gọi \(P\left( n \right)\) là một mệnh đề chứa biến \(n\left( {n \in {N^*}} \right)\). Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \in {N^*}\).

Phương pháp quy nạp toán học:

• Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = 1\).
• Bước 2:  Với \(k\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k \ge 1\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\).

Đối với bài toán chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với mọi \(n \ge p\) với \(p\) là số tự nhiên cho trước thì:

• Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = p\).
• Bước 2: Với \(k \ge p\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\).

Chứng minh \({n^7} - n\) chia hết cho \(7\) với mọi \(n \in {N^*}\).

Hướng dẫn giải

Đặt \(P\left( n \right) = {n^7} - n\).

- Với \(n = 1\) thì \(P\left( 1 \right) = {1^7} - 1 = 0 \vdots 7\) nên \(P\left( 1 \right)\) đúng.

- Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \in {N^*}\), tức là \(P\left( k \right) = \left( {{k^7} - k} \right) \vdots 7\).

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là: \(P\left( {k + 1} \right) = {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 7\)

Ta có: \({\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right)\) \(= C_7^0.{k^7} + C_7^1.{k^6} + C_7^2.{k^5} + C_7^3.{k^4}\) \(+ C_7^4.{k^3} + C_7^5.{k^2} + C_7^6.k + C_7^7 - \left( {k + 1} \right)\)

\(= {k^7} + 7{k^6} + 21{k^5} + 35{k^4} + 35{k^3}\) \(+ 21{k^2} + 7k + 1 - k - 1 \) \(= \left( {{k^7} - k} \right) + 7\left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right)\)

Do \(({k^7} - k) \vdots 7\) và \(7\left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right) \vdots 7\) nên \(P\left( {k + 1} \right) = {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 7\).

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

Chứng minh rằng với n ∈ N* thì

\(\displaystyle 1 + 2 + 3 + … + n = {{n(n + 1)} \over 2}\)

Hướng dẫn giải

- Khi \(n = 1, VT = 1\)

\(\displaystyle VP = {{1(1 + 1)} \over 2} = 1\)

- Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 1\), nghĩa là:

\(\displaystyle{S_k} = 1 + 2 + 3 + ... + k = {{k(k + 1)} \over 2}\)

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là:

\(\displaystyle {S_{k + 1}} = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1)\) \(\displaystyle  = {{(k + 1)(k + 2)} \over 2}\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

\(\displaystyle{S_{k + 1}} = {S_k} + (k + 1) \) \(\displaystyle = {{k(k + 1)} \over 2} + (k + 1)\)

\(\displaystyle = {{k(k + 1) + 2(k + 1)} \over 2}\) \(\displaystyle ={{(k + 1)(k + 2)} \over 2}\)

Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

Chứng minh rằng với \(n \in {\mathbb N}^*\), ta có đẳng thức:

\( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{n}}=\dfrac{2^{n}-1}{2^{n}}\)

Hướng dẫn giải

Với \(n = 1\), vế trái bằng \( \dfrac{1}{2}\), vế phải bằng \( \dfrac{1}{2}\), do đó hệ thức đúng với \(n=1\).

Đặt vế trái bằng \(S_n\).

Giả sử hệ thức b) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là

\( S_{k}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}\) \(=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}\)

Ta phải chứng minh \( S_{k+1}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\).

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

\( S_{k+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}} \)

\(=S_{k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\)

\(=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\) \( = \dfrac{{2\left( {{2^k} - 1} \right) + 1}}{{{2^{k + 1}}}}\) \(= \dfrac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\)

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)

Câu 1: Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n \in N*\) )

a) \(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2};\)

b) \(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right).\)

Câu 2: Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n \in N*\) )

a) \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \dfrac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3};\)

b) \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}.\)

Câu 3: Chứng minh rằng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*},\) ta có

a) \(2{n^3} - 3{n^2} + n\) chia hết cho \(6\).

b) \({11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\) chia hết cho \(133\).

Câu 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau (\(n \in N*\))

a) \({2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }};\)

b) \({\sin ^{2n}}\alpha  + {\cos ^{2n}}\alpha  \le 1.\)

Câu 1: Biểu thức nào sau đây cho ta tập giá trị của tổng \(S = 1 - 2 + 3 - 4+...-2n + (2n+1)\)

A. 1

B. 0

C. n

D. n + 1

Câu 2: Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho

(a) \(k∈Q\)

(b) \(n∈Q⟹n+1∈Q,∀n≥k.\)

A. Mọi số nguyên dương đều thuộc Q

B. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q

C. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q

D. Mọi số nguyên đều thuộc Q

Câu 3: \(∀n∈N∗\) thì  chia hết cho:

A. 13

B. 6

C. 8

D. 5

Câu 4: Với mọi số nguyên dương n thì \(S_{n}=n^{3}+2n\) chia hết cho 

A. 3

B. 2

C. 4

D. 7

Câu 5: Với mọi số nguyên dương n, tổng \(S_{n}=n^{3}+11n\) chia hết cho:

A. 6

B. 4

C. 9

D. 12

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm rõ các bước của phương pháp quy nạp.
• Sử dụng phương pháp quy nạp thành thạo và biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp hiệu quả.