Toán 11 Chương 3 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Phương pháp quy nạp toán học là một dạng toán hay nhưng để làm quen các em sẽ gặp không ít khó khăn. Vì vậy trong bài học sẽ làm rõ thế nào là chứng minh quy nạp toán học? Việc vận dụng phương pháp pháp quy nạp vào giải toán sẽ được thực hiện như thế nào?

Toán 11 Chương 3 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

1. Tóm tắt  lý thuyết

1.1. Phép chứng minh quy nạp toán học

Bài toán:

Gọi \(P\left( n \right)\) là một mệnh đề chứa biến \(n\left( {n \in {N^*}} \right)\). Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \in {N^*}\).

Phương pháp quy nạp toán học:

  • Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = 1\).
  • Bước 2:  Với \(k\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k \ge 1\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\).

1.2. Chú ý

Đối với bài toán chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với mọi \(n \ge p\) với \(p\) là số tự nhiên cho trước thì:

  • Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = p\).
  • Bước 2: Với \(k \ge p\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\).

2. Bài tập minh họa

2.1. Bài tập 1

Chứng minh \({n^7} - n\) chia hết cho \(7\) với mọi \(n \in {N^*}\).

Hướng dẫn giải

Đặt \(P\left( n \right) = {n^7} - n\).

- Với \(n = 1\) thì \(P\left( 1 \right) = {1^7} - 1 = 0 \vdots 7\) nên \(P\left( 1 \right)\) đúng.

- Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \in {N^*}\), tức là \(P\left( k \right) = \left( {{k^7} - k} \right) \vdots 7\).

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là: \(P\left( {k + 1} \right) = {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 7\)

Ta có: \({\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right)\) \(= C_7^0.{k^7} + C_7^1.{k^6} + C_7^2.{k^5} + C_7^3.{k^4}\) \(+ C_7^4.{k^3} + C_7^5.{k^2} + C_7^6.k + C_7^7 - \left( {k + 1} \right)\)

\(= {k^7} + 7{k^6} + 21{k^5} + 35{k^4} + 35{k^3}\) \(+ 21{k^2} + 7k + 1 - k - 1 \) \(= \left( {{k^7} - k} \right) + 7\left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right)\)

Do \(({k^7} - k) \vdots 7\) và \(7\left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right) \vdots 7\) nên \(P\left( {k + 1} \right) = {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 7\).

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

2.2. Bài tập 2

Chứng minh rằng với n ∈ N* thì

\(\displaystyle 1 + 2 + 3 + … + n = {{n(n + 1)} \over 2}\)

Hướng dẫn giải

- Khi \(n = 1, VT = 1\)

\(\displaystyle VP = {{1(1 + 1)} \over 2} = 1\)

- Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 1\), nghĩa là:

\(\displaystyle{S_k} = 1 + 2 + 3 + ... + k = {{k(k + 1)} \over 2}\)

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là:

\(\displaystyle {S_{k + 1}} = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1)\) \(\displaystyle  = {{(k + 1)(k + 2)} \over 2}\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

\(\displaystyle{S_{k + 1}} = {S_k} + (k + 1) \) \(\displaystyle = {{k(k + 1)} \over 2} + (k + 1)\)

\(\displaystyle = {{k(k + 1) + 2(k + 1)} \over 2}\) \(\displaystyle ={{(k + 1)(k + 2)} \over 2}\)

Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

2.3. Bài tập 3

Chứng minh rằng với \(n \in {\mathbb N}^*\), ta có đẳng thức:

\( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{n}}=\dfrac{2^{n}-1}{2^{n}}\)

Hướng dẫn giải

Với \(n = 1\), vế trái bằng \( \dfrac{1}{2}\), vế phải bằng \( \dfrac{1}{2}\), do đó hệ thức đúng với \(n=1\).

Đặt vế trái bằng \(S_n\).

Giả sử hệ thức b) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là

\( S_{k}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}\) \(=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}\)

Ta phải chứng minh \( S_{k+1}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\).

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

\( S_{k+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}} \)

\(=S_{k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\)

\(=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\) \( = \dfrac{{2\left( {{2^k} - 1} \right) + 1}}{{{2^{k + 1}}}}\) \(= \dfrac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\)

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n \in N*\) )

a) \(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2};\)

b) \(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right).\)

Câu 2: Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n \in N*\) )

a) \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \dfrac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3};\)

b) \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}.\)

Câu 3: Chứng minh rằng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*},\) ta có

a) \(2{n^3} - 3{n^2} + n\) chia hết cho \(6\).

b) \({11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\) chia hết cho \(133\).

Câu 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau (\(n \in N*\))

a) \({2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }};\)

b) \({\sin ^{2n}}\alpha  + {\cos ^{2n}}\alpha  \le 1.\)

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Biểu thức nào sau đây cho ta tập giá trị của tổng \(S = 1 - 2 + 3 - 4+...-2n + (2n+1)\)

A. 1

B. 0

C. n

D. n + 1

Câu 2: Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho

(a) \(k∈Q\)

(b) \(n∈Q⟹n+1∈Q,∀n≥k.\)

A. Mọi số nguyên dương đều thuộc Q

B. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q

C. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q

D. Mọi số nguyên đều thuộc Q

Câu 3: \(∀n∈N∗\) thì  chia hết cho:

A. 13

B. 6

C. 8

D. 5

Câu 4: Với mọi số nguyên dương n thì \(S_{n}=n^{3}+2n\) chia hết cho 

A. 3

B. 2

C. 4

D. 7

Câu 5: Với mọi số nguyên dương n, tổng \(S_{n}=n^{3}+11n\) chia hết cho:

A. 6

B. 4

C. 9

D. 12

4. Kết luận

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

  • Nắm rõ các bước của phương pháp quy nạp.
  • Sử dụng phương pháp quy nạp thành thạo và biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp hiệu quả.
Ngày:15/08/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM