Toán 11 Chương 1 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

- Nếu $|a|>1$: Phương trình vô nghiệm.  

- Nếu $|a|\leq 1$:

•  $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

• $\sin x = \sin {\beta ^0} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {\beta ^0} + k{360^0}\\ x = {180^0} - {\beta ^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$

• $\sin x = a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = arc\sin a + k2\pi \\ x = \pi - arc\sin a + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$​

- Tổng quát:

$\sin f\left( x \right) = \sin g\left( x \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right) + k2\pi \\ f\left( x \right) = \pi - g\left( x \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$   

- Các trường hợp đặc biệt:

• $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
• $\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$
• $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$.

- Nếu $|a|>1$: Phương trình vô nghiệm.  

- Nếu $|a|\leq 1$:

• $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$

• $\cos x = \cos {\beta ^0} \Leftrightarrow x = \pm {\beta ^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

• $\cos x = a \Leftrightarrow x = \pm \,arcc{\rm{os}}a + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

- Tổng quát: $\cos f\left( x \right) =\cos g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm g\left( x \right) + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

- Các trường hợp đặc biệt:

$\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$

$\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$

$\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

• $\tan x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}\alpha \Leftrightarrow \,x\,{\rm{ = }}\,\alpha + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$
• $\tan x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}{\beta ^0} \Leftrightarrow \,x{\rm{ = }}{\beta ^0} + k{\rm{18}}{{\rm{0}}^0}\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
• $\tan x = a \Leftrightarrow x{\rm{ = }}\arctan a\, + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$

- Tổng quát: 

$\tan f\left( x \right) = \tan g\left( x \right)$

$\Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

• $\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}\,\alpha \,{\rm{ + }}\,{\rm{k}}\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
• $\cot x = \cot {\beta ^0} \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}\,{\beta ^0}{\rm{ + }}\,{\rm{k18}}{{\rm{0}}^0}\,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$
• $\cot x = a \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}{\mathop{\rm arc}\nolimits} \cot \,a\,{\rm{ + }}\,{\rm{k}}\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$

Tổng quát: 

$\cot f\left( x \right) = \cot g\left( x \right)$

$\Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right)=0$.

b) $\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}}$.

c) $\sin 3x = \frac{1}{2}$.

d) $\sin x = \frac{2}{3}$.

Hướng dẫn giải

a)

 $\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right)=0\\ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi \\ \Leftrightarrow \,\frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi$

$\Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}$, $k \in \mathbb{Z}.$

Vậy phương trình có các nghiệm là: $\,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}$,  $k \in \mathbb{Z}.$

b)

 $\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \pi - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình có các nghiệm là $x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $x = \frac{11\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$ 

c)

 $\sin 3x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \frac{\pi }{6} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\ x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình có các nghiệm là $x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}$ và $x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

d) 

$\sin x = \frac{2}{3} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$

Vậy phương trình có các nghiệm là $x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi,k \in \mathbb{Z}$ và $x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.$

Câu 2: Giải các phương trình sau:

a) $\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2}$.

b) $\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Hướng dẫn giải

a) 

$\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\\ x = - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3} \end{array} \right.{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} k \in \mathbb{Z}.$

Vậy phương trình có các nghiệm là: ${x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}$ và ${x = - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}.$

b) 

$\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\ \Leftrightarrow \cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = c{\rm{os}}{45^0}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + {45^0} = {45^0} + k{360^0}\\ x + {45^0} = - {45^0} + k{360^0} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {45^0} + k{360^0}\\ x = - {90^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Vậy phương trình có các nghiệm là: ${x = {{45}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}$ và ${x = - {{90}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}.$

Câu 3: Giải các phương trình sau:

a) $\tan x = \tan \frac{\pi }{3}$.

b) $\tan (x - {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Hướng dẫn giải

a) 

$\tan x = \tan \frac{\pi }{3} \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).$

b) $\tan (x - {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow$ 

$\tan (x - {15^0}) = \tan {30^0}\Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.$

Câu 4: Giải các phương trình sau:

a) $\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}$.

b) $\cot 4x = - 3.$

c) $\cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Hướng dẫn giải

a) $\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}$ 

$\Leftrightarrow 4x = \frac{{2\pi }}{7}\, + \,k\pi \\ \Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4},\,k \in \mathbb{Z}.$

Vậy các nghiệm của phương trình là: $x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4};\,k \in \mathbb{Z}.$

b) 

$\cot 4x = - 3 \\ \Leftrightarrow 4x = \arctan \left( { - 3} \right) + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Vậy các nghiệm của phương trình là: $x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

c) 

$\cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \\ \Leftrightarrow \cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cot \frac{\pi }{6}$

$\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).$

Vậy các nghiệm của phương trình là: $x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).$

Câu 1: Giải các phương trình sau:

a)  $\sin \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right) = 0$.     

b) $\sin x = \sin \frac{\pi }{5}$ .

c) $\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ .           

d)  $\sin x = \frac{3}{5}$.

Câu 2: Giải các phương trình sau:

a) $\cos \left( {x + {{30}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ .

b) $\cos \left( {x + {{30}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ .

Câu 3: Giải các phương trình sau:

a) $\tan x = \tan \frac{\pi }{4}$ .

b)  $\tan (x - {30^0}) = \sqrt 3$.

Câu 4: Giải các phương trình sau:

a)  $\cot 3x = {\mkern 1mu} \cot \frac{{3\pi }}{8}$.

b) $\cot 5x = - 4.$

c) $\cot \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ .

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Nhận dạng được các loại phương trình lượng giác
• Giải được các phương trình lượng giác cơ bản.